В настоящее время значительное число исследований в экономике посвящено рынку труда. Однако достаточно общих математических моделей, описывающих этот рынок, существует немного. Одной из таких математических моделей является математическая модель самоорганизации рынка труда [1–4]. Она позволяет установить балансовые соотношения между числом работников, занятых в различных отраслях, числом потенциальных работников в этих отраслях и скоростями их изменения. В данной работе рассмотрены некоторые задачи, возникающие в рамках этой модели.
Математическая модель самоорганизации рынка труда имеет вид [1–4]:
(1)
i = 1, 2, ..., n; j, k = 1, 2, ..., n; (2)
j = 1, 2, ..., n. (3)
Здесь – общее число работников, занятых в i-й отрасли в момент времени t; – число потенциальных работников, которые могут быть привлечены для работы в i-ю отрасль и которые в момент времени t являются безработными; , – заданные числа; – вероятность того, что безработный i-й отрасли в момент времени t может найти работу в j-й отрасли; – вероятность увольнения работника i-й отрасли в момент времени t.
Соотношения (1) позволяют сформулировать две задачи.
Задача 1. По заданным , , , , , определить , .
Задача 1 представляет собой задачу построения решения линейной системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями (задачу Коши). Эту задачу будем называть прямой задачей в рамках математической модели (1).
Задача 2. По заданным , , , , j = 1, 2, ..., n, для всех t ∈ [0, ∞) определить , , i, j = 1, 2, ..., n.
Задачу 2 будем называть обратной задачей (по отношению к задаче 1) в рамках модели (1).
В прикладных исследованиях, как правило, , , j = 1, 2, ..., n, известны (заданы). Поэтому значительный интерес представляет анализ задачи 2. Её решение позволяет определить в момент t доли (вероятности) , работников соответственно:
а) уволенных из отрасли j;
б) перешедших из i-й отрасли в j-ю.
Цель данной работы – исследовать задачу 2 при t = 0, 1, 2, ... Время t выбирается дискретным в силу того, что измерения значений и возможны, как правило, только в такие моменты.
Конечно-разностный аналог задач (1) имеет вид:
(4)
Систему (4) можно переписать в векторно-матричном виде:
(5)
t = 0, 1, 2, ... (6)
Т – операция транспонирования,
(7)
Очевидно, система (4) (или, что то же самое, (5)) содержит n2 + n неизвестных , , где n – количество отраслей в исследуемой модели, и 2n уравнений, n ≥ 2. Так как при n ≥ 2, n2 + n > 2n, то она всегда является недоопределённой. Доопределим её.
Рассмотрим два случая: n – нечётно, n – чётно.
Пусть n – нечётно. Предположим, что на интервале [t, t + 1] элементы матрицы (7) постоянны, и на этом интервале вместо (4) (т.е. (5)) рассмотрим расширенную систему:
(8)
j = 1, 2, ..., n;
(так как по предположению n – нечётно, n ≥ 2, то – натуральное).
Значения элементов , , , при каждом j = 1, 2, ..., n в правой части (8) находим по значениям , и , , используя формулы интерполирования
(9)
j = 1, 2, ..., n; ;
значения элементов j = 1, 2, ..., n, в левой части (8) находим, используя формулы
(10)
j = 1, 2, ..., n; .
Легко убедиться, что система (8) является полностью определённой: содержит уравнений и неизвестных. Её можно представить в векторно-мат- ричном виде
(11)
где (12)
Поскольку значения , j = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, найдены интерполированием, то они, очевидно, содержат ошибки интерполяции. Поэтому (8) целесообразно решать методом регуляризации Тихонова [5]:
α = const > 0, (13)
где α > 0 – коэффициент невязки, компоненты матрицы P (см. (7)) удовлетворяют условиям (2), (3).
Пусть n – чётно. Тогда (см. (8)) не является натуральным. В этом случае задачу 2 решаем в два этапа:
1. Выбираем одну из данных n отраслей, например, r-ю, r = 1, 2, ..., n, и разбиваем её на две непересекающиеся (то есть не содержащие общих элементов – работников) фиктивные подотрасли r′ и r′ + 1 таким образом, чтобы выполнялись равенства:
i = 1, 2. (14)
Получаем n + 1 отрасль, n + 1 – нечетно. Находим оценки вероятностей , , i, j = 1, 2, ..., n + 1, по описанной выше схеме.
2. Объединяем отрасли r′, r′ + 1 в одну r-ю, воспользовавшись соотношениями (которые можно легко получить с помощью формулы полной вероятности и свойств условных вероятностей):
j = 1, 2, ..., n + 1, j ≠ r′, r′ + 1,
i = 1, 2, ..., n + 1, i ≠ r′, r′ + 1; (15)
Рассмотрим следующий пример. Согласно данным Федеральной службы государственной статистики (http://www.gks.ru) отраслевая экономика России разбивается на 12 отраслей: отрасль № 1 – «Сельское и лесное хозяйство, охота, рыболовство и рыбоводство», № 2 – «Добыча полезных ископаемых», № 3 – «Обрабатывающие производства», № 4 – «Производство и распределение электроэнергии, газа и воды», № 5 – «Строительство», № 6 – «Оптовая и розничная торговля, ремонт автотранспортных средств, мотоциклов, бытовых изделий и предметов личного пользования, гостиницы и рестораны», № 7 – «Транспорт и связь», № 8 – «Финансовая деятельность, операции с недвижимым имуществом, аренда и предоставление услуг», № 9 – «Государственное управление и обеспечение военной безопасности, социальное обеспечение», № 10 – «Образование», № 11 – «Здравоохранение и предоставление социальных услуг», № 12 – «Другие виды экономической деятельности». Распределение населения по отраслям, занятого в производственном процессе в 2010–2011 гг., приведено в табл. 1 [6].
Таблица 1
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2010 |
5384,896 |
1398,674 |
10629,924 |
2307,812 |
5035,227 |
12238,399 |
6503,835 |
5874,431 |
5664,630 |
6573,769 |
5524,763 |
2727,415 |
2011 |
5455,959 |
1417,132 |
10628,492 |
2267,412 |
5101,676 |
12754,190 |
6660,522 |
6164,525 |
5455,959 |
6518,808 |
5597,672 |
2834,265 |
Число безработных, которые могут быть привлечены для работы в каждую из указанных отраслей, оценено с помощью данных об общем числе безработных, данных о потребности организаций в работниках по видам экономической деятельности [6] и представ- лено в табл. 2.
Таблица 2
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2010 |
230,083 |
88,707 |
731,830 |
256,695 |
149,138 |
424,683 |
625,382 |
663,637 |
171,869 |
493,431 |
1474,748 |
233,964 |
2011 |
192,466 |
78,266 |
664,032 |
239,229 |
136,843 |
368,196 |
573,952 |
552,293 |
142,750 |
439,078 |
1325,602 |
209,694 |
Так как число отраслей – чётное (n = 12), разобьём одну из двенадцати отраслей на две фиктивные отрасли. В качестве такой отрасли выберем «Другие виды экономической деятельности» (табл. 3).
Таблица 3
t |
|
|
|
|
2010 |
681,854 |
2045,561 |
58,491 |
175,473 |
2011 |
708,566 |
2125,698 |
52,424 |
157,271 |
Используя (9), (10), вычислим m = 0, 1, 2, ..., 6, j = 1, 2, ..., 13, , и построим систему (8). Решение (8) находим методом регуляризации, используя соотношения (13), (2), (3) и средство «Поиск решений» программного продукта Microsoft Excel.
В результате проведённых расчётов находим вероятности (табл. 4) и вероятности (табл. 5). При этом α = 0,0001, норма выражения (13) равна 37,142 (что указывает на высокую точность полученных результатов – относительная погрешность не превосходит 0,00062).
Таблица 4
j i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12’ |
13’ |
1 |
0,1270 |
0,0000 |
0,0510 |
0,0217 |
0,0093 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0819 |
0,0004 |
0,0405 |
0,0594 |
0,0000 |
0,0000 |
2 |
0,0000 |
0,3775 |
0,0110 |
0,0018 |
0,0000 |
0,0730 |
0,0807 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0139 |
0,0000 |
0,0000 |
3 |
0,0000 |
0,0000 |
0,2623 |
0,0036 |
0,0037 |
0,0150 |
0,0096 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0182 |
0,0000 |
0,0000 |
4 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,3923 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
5 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0331 |
0,0159 |
0,1471 |
0,1016 |
0,1028 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0364 |
0,0000 |
0,0000 |
6 |
0,0000 |
0,0000 |
0,1091 |
0,0589 |
0,0181 |
0,0928 |
0,0955 |
0,2918 |
0,0000 |
0,0315 |
0,1433 |
0,0000 |
0,0000 |
7 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0027 |
0,0000 |
0,0000 |
0,1787 |
0,0497 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0012 |
0,0000 |
0,0000 |
8 |
0,0377 |
0,0003 |
0,0615 |
0,0031 |
0,0035 |
0,0436 |
0,0000 |
0,0441 |
0,0050 |
0,0914 |
0,0926 |
0,0000 |
0,0000 |
9 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,4074 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
10 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,3161 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
11 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0198 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0632 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,1133 |
0,0000 |
0,0000 |
12’ |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,7144 |
0,0000 |
13’ |
0,0000 |
0,0000 |
0,0778 |
0,0304 |
0,0037 |
0,0770 |
0,0254 |
0,0214 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0499 |
0,0000 |
0,0000 |
Таблица 5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0,00002887 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,00752771 |
0 |
0 |
0,000002 |
0,000001 |
Используя данные табл. 4, 5, по формулам (15) находим вероятности , , , (см. табл. 6), и ве- роятности
Таблица 6
|
0 |
|
0,000001 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0,058372 |
|
0 |
|
0,022792 |
|
0 |
|
0,002749 |
|
0 |
|
0,057779 |
|
0,000021 |
|
0,019053 |
|
0 |
|
0,016035 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0,037453 |
Следовательно (см. табл. 5, 6), с 2011 по 2012 год вероятность увольнения из отраслей № 1, № 2, № 3, № 5, № 6, № 7, № 8, № 10, № 11 равна 0, что фактически означает отсутствие уволенных работников из данных отраслей. Значения вероятностей увольнения из других отраслей за данный промежуток времени достаточно малы – не превышают 0,01 (т.е. 1 %).
Вероятности – того, что безработный, уволенный из i-й отрасли, найдёт работу в j-й отрасли, максимальны в случае i = j (см. табл. 4). Это означает, что безработный, уволенный с работы в одной из отраслей в течение 2010–2011 гг. снова, как правило, был принят на работу в этой же отрасли.
Малые значения вероятностей увольнения работников из каждой отрасли и вероятностей перехода безработных из одной отрасли в другую указывают на стабильное состояние рынка труда в России в 2010–2011 гг., отсюда следует вывод о стабильности состояния экономики в эти годы: не наблюдалось ни «отмирания», ни доминирования одних отраслей над другими.
Рецензенты:
Лебедев К.А., д.ф.-м.н., профессор кафедры вычислительной математики и информатики, ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар;
Луценко Е.В., д.э.н., профессор кафедры компьютерных технологий и систем ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный аграрный университет», г. Краснодар.
Работа поступила в редакцию 30.04.2014.
Библиографическая ссылка
Семенчин Е.А., Невечеря А.П. ОБ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ САМООРГАНИЗАЦИИ РЫНКА ТРУДА // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 6-6. – С. 1184-1190;URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=34310 (дата обращения: 12.12.2024).