Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПРЯМОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Ляпцев С.А. 1
1 Уральский государственный горный университет
В статье предложен метод, позволяющий получить решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями по единой методике, не зависящей от вида неоднородности, которую они содержат. Метод прост в использовании и может применяться как для непрерывной, так и для разрывной функции, представляющей неоднородность. Для применения предлагаемого метода достаточно вычислить два интеграла специального вида и по выражениям этих интегралов записать общее решение. Все возможные варианты решений продемонстрированы на конкретных примерах: решение линейного однородного уравнения, непрерывная функция в качестве неоднородности, резонанс, кусочно-линейная правая часть уравнения. На тех же примерах показано, что стандартным общепринятым методом решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений и методом прямого интегрирования получаются одинаковые результаты.
линейное дифференциальное уравнение
неоднородность
начальные условия
интегрирование
общее решение
колебания
1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. – СПб.: Лань, 2006. – 731 с.
2. Демидович Б.П., Моденов В.П. Дифференциальные уравнения: учебное пособие. – 3-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2008. – 288 с.
3. Косенко Е.А. Обоснование параметров привода вибротранспортных машин: автореф. дис. ... канд. техн. наук. – Екатеринбург: УГГУ, 2012. – 20 с.
4. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Ц.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями. – 4-е изд. испр. – М.: Едиториал, 2002. – С. 188–191.
5. Мокрушин Н.В., Ляпцев С.А. Сопротивление материалов: конспект лекций: учебное пособие. – Екатеринбург: УГГУ, 2014. – С. 80–84.

Существует довольно много методов решения линейных дифференциальных уравнений (см., например, [2]). Наиболее распространенным методом является поиск общего решения в виде суммы общего решения однородной части данного линейного уравнения и частного решения, подбираемого по виду неоднородности [4]. Каждый вид неоднородности предполагает собственный вид частного решения, которое, как правило, ищется методом неопределенных коэффициентов. Поскольку вид частного решения зависит от вида неоднородности и не всегда может быть выражен в общем виде, его поиск часто представляет собой самостоятельную задачу и может потребовать специальных ухищрений. Однако существует метод, позволяющий найти общее решение линейного дифференциального уравнения непосредственным интегрированием без разложения уравнения на однородную и неоднородную части, применение которого наиболее удобно при решении задач теории колебаний [1]. Решение ищется специальным приемом, сочетающим метод неопределенных коэффициентов с интегрированием. Модифицируя метод, изложенный в [1], будем искать общее решение неоднородного уравнения так:

lyapzev01.wmf (1)

где k = const; F(t) – произвольная функция времени t, в виде

x = Acos kt, (2)

здесь A – искомая переменная функция.

Продифференцировав по времени выражение (2), получим

lyapzev03.wmf (3)

Подставив в уравнение (3) начальные условия x = x0, lyapzev04.wmf при t = 0, запишем соответствующие начальные условия для новой переменной A(t) следующим образом:

lyapzev05.wmf (4)

Дифференцируем далее равенство (3) и подставляем полученное выражение в исходное дифференциальное уравнение

lyapzev06.wmf. (5)

Если умножить обе части уравнения (5) на cos kt, то можно заметить, что в полученном уравнении

lyapzev07.wmf(6)

левая часть представляет собой полную производную

lyapzev08.wmf (7)

Таким образом, уравнение (6) можно проинтегрировать методом разделения переменных [1], умножив обе его части на dt,

lyapzev09.wmf (8)

Следовательно,

lyapzev10.wmf (9)

Учитывая второе начальное условие (4), получим

lyapzev11.wmf (10)

откуда

lyapzev12.wmf (11)

После интегрирования с учетом первого начального условия (4) находим значение искомой функции

lyapzev13.wmf (12)

и общее решение уравнения (1) при заданных начальных условиях как

lyapzev14.wmf (13)

Приведем некоторые ПРИМЕРЫ, демонстрирующие универсальность применяемого метода.

1. При F(t) = 0 уравнение (1) – обычное уравнение свободных гармонических колебаний ‒ имеет вид

lyapzev15.wmf, (14)

решение которого известно

lyapzev16.wmf. (15)

Очевидно, оно является частным случаем выражения (13).

2. При F(t) = t стандартное решение неоднородного уравнения

lyapzev17.wmf (16)

следует искать как сумму общего решения однородного и частного решения, подбираемого по виду правой части

lyapzev18.wmf, (17)

где C1, C2 – произвольные постоянные;

lyapzev19.wmf, (18)

здесь a – константа, подлежащая определению.

После подстановки частного решения (18) в уравнение (16) получим

k2at = t, (19)

откуда a = 1/k2.

После определения частного решения находим значения произвольных постоянных C1, C2 по заданным начальным условиям. Для этого подставляем их в общее суммарное решение

lyapzev20.wmf (20)

и его производную

lyapzev21.wmf (21)

Подставляя t = 0, x = x0, lyapzev22.wmf в уравнения (20) и (21), получим

lyapzev23.wmf (22)

Таким образом,

lyapzev24.wmf (23)

Покажем, что представленное стандартное решение полностью соответствует решению (13). Для этого следует вычислить всего два интеграла

1) lyapzev25.wmf (24)

2) lyapzev26.wmf (25)

Подставив полученные выражения в (13), убеждаемся, что решение полностью совпадает с соотношением (23).

3. Резонанс.

Вынужденные колебания для случая резонанса рассмотрим на примере уравнения

lyapzev27.wmf (26)

с нулевыми начальными условиями

x =0, V0 = 0. (27)

Для получения частного решения с заданными начальными условиями вычисляем указанные выше два интеграла

1) lyapzev28.wmf (28)

2) lyapzev29.wmf (29)

Таким образом,

lyapzev30.wmf (30)

Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что решение (30) удовлетворяет уравнению (26) и нулевым начальным условиям.

Разработанный метод легко распространить на случаи различных законов изменения неоднородности на разных участках. В работе [3] решение уравнения колебаний определялось на каждом участке отдельно и стыковалось граничными условиями: конечные условия предыдущего участка являлись начальными для следующего. Метод прямого интегрирования позволяет объединить все решения в одно.

4. Уравнение с кусочно-непрерывной неоднородностью. Если на разных участках изменения независимой переменной неоднородность представлена разными выражениями, то решение следует проводить аналогично составлению универсального уравнения упругой линии балки в сопротивлении материалов [5]: функцию, заданную на ограниченном участке, следует продолжить до конца промежутка интегрирования, приложив с противоположной стороны симметричную относительно оси абсцисс функцию.

В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение

lyapzev31.wmf (31)

На I участке, где 0 ≤ t < π/3 FI(t) = 1. На II участок, где t ≥ π/3, продлеваем функцию FI(t) = 1, компенсируя ее действие симметричной относительно оси абсцисс функцией –FI(t) = –1. Складывая на участке II –FI(t) и заданное выражение, получим для второго участка FII(t) = –2. Таким образом, неоднородность в уравнении (31), начиная с I участка и до конца промежутка интегрирования представлена функцией FI(t) = 1. Начиная со II участка и до конца промежутка интегрирования F(t) = FI(t) + FII(t) = –2 (от участка к участку количество слагаемых увеличивается). Решаемое дифференциальное уравнение можно записать в виде

lyapzev32.wmf (32)

Далее применяем метод прямого интегрирования

lyapzev33.wmf (33)

lyapzev34.wmf (34)

Для t < π/3 решение записываем только по выражению на I-м участке

lyapzev35.wmf (35)

Для t ≥ π/3 общее решение уравнения (31) представляется суммой

lyapzev36.wmf (36)

Таким образом, на каждом участке решение получено независимо от остальных.

Рецензенты:

Красовский А.Н., д.ф.-м.н., профессор кафедры графики и деталей машин Уральского государственного аграрного университета, г. Екатеринбург;

Мальцев В.А., д.т.н., профессор, директор института материаловедения и металлургии Уральского федерального университета, г. Екатеринбург.

Работа поступила в редакцию 11.04.2014.


Библиографическая ссылка

Ляпцев С.А. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПРЯМОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 6-3. – С. 476-479;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=34183 (дата обращения: 05.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074