Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

О РАСЧЁТЕ КОЭФФИЦИЕНТА УВЕЛИЧЕНИЯ ПЛАНАРНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ СПИРАЛЬНОГО ТИПА

Сапогин В.Г. 1 Прокопенко Н.Н. 2 Манжула В.Г. 3
1 Таганрогский технологический институт Южного федерального университета
2 Институт сферы обслуживания и предпринимательства (филиал) Донского государственного технического университета
3 НОУ ВПО «Институт коммуникативных технологий»
Уменьшение геометрических размеров элементов интегральных микросхем породило фундаментальную проблему создания планарной индуктивности, которая бы в малых размерах имела приемлемые значения. Оценки индуктивностей в микрометровом диапазоне размеров по известным формулам иногда приводят к абсурду. Это потребовало создания физико-математических моделей расчёта индуктивности, которые были бы ориентированы на планарную технологию. Предложен оценочный метод расчёта планарной индуктивности спирального вида. Метод основан на трёх положениях: 1) по заданному значению тока в кольце рассчитывается значение индукции магнитного поля в центре кольца; 2) по закону Био‒Савара‒Лапласа рассчитывается новое значение индукции, которое создаёт в центре ограниченная планарная спираль, вписанная в исходное кольцо; 3) вычисляется коэффициент увеличения индукции магнитного поля, который в принятых приближениях совпадает с коэффициентом увеличения индуктивности спирального типа. Проведена сравнительная оценка значений спиральной индуктивности для спиралей Архимеда и обобщённых спиралей. Показано, что применение спиралей с количеством витков N = 10 может увеличивать значение их индуктивности по сравнению с кольцевой от 40 до 1500 раз.
индуктивность
спиральная индуктивность
индукция
индуктивность кольца
поток магнитного поля
1. Калантаров П.Л., Цейтлин Л.А. Расчёт индуктивностей: справочная книга. - Л.: Энергоатомиздат, 1986. - 488 с.
2. Манжула В.Г. Исключение структурной, функциональной и схемотехнической избыточности при синтезе аналоговых систем в корпусе // Научно-технический вестник Поволжья. – 2011. – № 2. – С. 123–127.
3. Манжула В.Г. Функционально интегрированная микроэлектронная система защиты на основе быстродействующего датчика температуры // Датчики и системы. – 2012. – № 7. – С. 18–22.
4. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. – М.: Высшая школа. 1983. – 463 с.
5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. Для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980. – 976 с.

Уменьшение геометрических размеров элементов интегральных микросхем породило в микро-системотехнике фундаментальную проблему создания планарной индуктивности, которая бы в малых размерах имела приемлемые значения для построения сложных функциональных блоков и IP-модулей, работающих на Гигагерцах [2,3].

Оценки индуктивностей с использованием известных математических методов расчёта, разработанных Калантаровым П.Л. и Цейтлиным А.А. [1] в 70-х годах прошлого века, в микрометровом диапазоне геометрических размеров могут приводить к отрицательным значениям индуктивности.

Обнаруженный недостаток геометрической теории потребовал создания принципиально новых физико-математических моделей, которые были бы ориентированы на потребности планарной технологии.

Ниже предлагается оригинальная методика расчётов спиральной индуктивности L высокой симметрии, исходящая из физического определения этого понятия как коэффициента пропорциональности между потоком Ф и током i, создающим этот поток [4]

Ф = Li. (1)

В связи с этим предлагаемая последовательность расчёта индуктивности плоской токовой спирали заключается в следующем:

1) по заданному значению тока в кольце радиусом R рассчитывается значение магнитного поля B* в центре кольца;

2) в это кольцо помещается спираль с заданным законом зависимости r = r(φ) в полярных координатах, который ограничен по числу витков N двумя переменными: начальным значением угла φ1 и радиусом r1 и конечным значением угла φ2 и радиусом r2 = R, совпадающим с радиусом кольца;

3) по закону Био‒Савара‒Лапласа рассчитывается новое значение индукции магнитного поля B, которое создаёт ограниченная планарная спираль в центре кольца;

4) вычисляется коэффициент увеличения индукции магнитного поля a = B/B* и находится связь значения индуктивности, формируемого спиралью, с коэффициентом увеличения индукции a.

Физико-математическая модель расчёта

Одним из мощных методов расчета магнитостатических полей по праву считается закон Био‒Савара‒Лапласа [4]. Он позволяет выяснить физические закономерности распределения магнитных полей, создаваемых простейшими токовыми системами. В современных математических обозначениях он записывается в виде

Eqn18.wmf (2)

где dB – элементарная магнитная индукция поля, создаваемая элементом проводника с током Idl, μ0 = 4π∙10–7 Гн/м – магнитная постоянная; dl – элементарный вектор длины, совпадающий по направлению с током (элемент проводника); I – сила тока; r – радиус-вектор, проведенный от элемента проводника к точке наблюдения A, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитное поле тока в центре спирали Архимеда

Расчёт магнитного поля в центре спирали будем проводить, используя закон (2). На рисунке представлено расположение векторов задачи. Направление векторов и сами векторы отмечены стрелками. На рисунке представлены декартовая и полярная системы координат. Жирная кривая выделяет фрагмент спирали, которая начинается в точке (0,0). Вектор dl направлен по касательной к выделенной кривой и совпадает с направлением тока. Он имеет две компоненты dlII и dl^. Вектор dl составляет угол a с направлением радус-вектора r. Вектор dl составляет угол α1 с направлением другого вектора r1. Векторы r и r1 – противоположны друг другу, но равны по модулю.

pic_32.tif

Направление основных векторов задачи

На плоскости, представленной на рисунке, закон (2) можно записать в скалярном виде

Eqn19.wmf (3)

Затем в (3) следует замена

Eqn20.wmf (4)

Она указывает на то, что поперечная составляющая вектора dl^ вносит вклад в формирование индукции магнитного поля в начале координат, а продольная составляющая dlII – не вносит. Тогда формула для расчёта элементарной индукции магнитного поля в центре спирали имеет вид

Eqn21.wmf (5)

Из (5) следует общая формула для расчёта индукции в начале координат для любых спиралей, имеющих закон, представленный в полярных координатах r = r(φ),

Eqn22.wmf (6)

Рассчитаем коэффициент увеличения индукции в центре спирали Архимеда. Уравнение спирали Архимеда имеет вид [5]

r = aφ, (7)

где a – постоянная. Как известно, спираль Архимеда описывает движение точки, которая имеет две компоненты скорости – постоянную радиальную скорость движения υr и постоянную угловую скорость w. Постоянная a связана с этими переменными соотношением a = υr/ω.

Предположим, что начальное положение спирали Архимеда находится в точке r = r1 и имеет угол φ1 = p/2. Это позволяет устранить особенность, возникающую в начале координат. Тогда начальный и конечный радиусы и начальный и конечный угол спирали связаны соотношением

Eqn23.wmf (8)

где N – целое количество витков спирали.

Интегрируя в этих пределах выражение (6), получим выражение для коэффициента увеличения индукции поля a, который зависит только от числа витков N

Eqn24.wmf (9)

где Eqn25.wmf (10)

– масштаб индукции, создаваемый в центре кольца тем же током.

В табл. 1 представлена зависимость коэффициента увеличения индукции a и отношения конечного радиуса к начальному R/r1 от числа витков спирали Архимеда.

Таблица 1

Зависимость коэффициента увеличения индукции от числа витков спирали Архимеда

N

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

α

4,94

8,33

12,04

15,98

20,12

24,41

28,85

33,40

38,06

89

R/r1

9

13

17

21

25

29

33

37

41

81

Из табл. 1 видно, что увеличение числа витков от 2 до 20 позволяет увеличить индукцию магнитного поля в центре спирали Архимеда от 5 до 90 раз.

Магнитное поле тока в центре обобщённой спирали

Для обобщённых спиралей вида

r = aφn, (11)

где n – любое число, кроме единицы, возможны следующие классы спиралей. Класс спиралей отрицательных порядков n < 0 (класс закручивающихся спиралей), класс дробных положительных порядков 0 < n < 1 и класс спиралей положительных порядков 1 < n < ∞. Последние два класса относятся к классу раскручивающихся спиралей.

Подставляя (11) в интеграл (6), для коэффициента увеличения индукции поля получим соотношение

Eqn26.wmf (12)

Связь начальных и конечных переменных получается в виде

Eqn27.wmf (13)

В табл. 2 представлены зависимости коэффициента увеличения индукции, a в центре обобщённой спирали для разных индексов n. Первые две строки рассчитаны для n = 1/2, Вторые две строки рассчитаны для n = 3/2, а последние две строки рассчитаны для n = 2.

Таблица 2

Зависимость коэффициента увеличения индукции от числа витков обобщённых спиралей для разных n

N

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

a(n1)

3,0

4,7

6,5

8,2

10,0

11,8

13,6

15,5

17,3

36.0

R/r1

3,0

3,6

4,1

4,6

5,0

5,4

5,7

6,1

9,0

27,0

a(n2)

9,0

16,9

26,5

37,6

50,0

63,6

78,3

94,0

110

324

R/r1

27

46,9

70,0

96,2

125

156

190

225

262

729

a(n3)

18

39

68

105

150

203

264

333

410

1620

R/r1

81

169

289

441

625

841

1089

1369

1681

6561

Из табл. 2 видно, что наиболее перспективными являются раскручивающиеся спирали с показателем n > 1. Для рассчитанных значений полученные коэффициенты увеличения индукции для одного и того же количества витков N всегда больше, чем у спирали Архимеда. Но, с другой стороны, большие коэффициенты a можно получить только путём увеличения эффективной площади, занимаемой обобщённой спиралью.

Считая, что среднее значение потоков индукции в кольце и спирали можно рассчитывать по значениям индукции в центре, получим оценочное соотношение для коэффициента увеличения индуктивности, который совпадает с коэффициентом увеличения индукции

L = αL*, (14)

где L* = μ0πR/2 (15)

– масштаб индуктивности.

Проведём оценку для N = 10 витков спиральной индуктивности, начальный радиус, которой 10 мкм. Для спирали Архимеда конечный радиус 410 мкм (см. табл. 1), масштаб индуктивности 0,81 нГн, а увеличение индуктивности происходит почти в 40 раз до значений 30,8 нГн. Для спирали того же начального радиуса с n = 2 получим конечный радиус 16,8 мм, (см. табл. 2 и соотношение (13)), масштаб индуктивности 33,2 нГн, а увеличение индуктивности происходит почти в 1680 раз до значений 55,8 мкГн.

Выводы

  • Предложен оценочный метод расчёта планарной индуктивности спирального вида.
  • Метод базируется на законе Био‒Савара‒Лапласа, который позволяет в полярных координатах рассчитывать индукцию в центре для любых видов спиралей.
  • Проведена сравнительная оценка значений спиральной индуктивности для спиралей Архимеда и обобщённых спиралей.
  • Показано, что применение спиралей с количеством витков N = 10 может увеличивать значение их индуктивности по сравнению с кольцевой от 40 до 1500 раз.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 12-08-00654/12 (2012-2013 гг.).

Рецензенты:

Бубнов В.А., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой естественнонаучных дисциплин, ГБОУ ВПО «Московский городской педагогический университет», г. Москва;

Крутчинский С.Г., д.т.н., профессор кафедры систем автоматического управления, ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет», г. Ростов-на-Дону.

Работа поступила в редакцию 25.12.2013.


Библиографическая ссылка

Сапогин В.Г., Прокопенко Н.Н., Манжула В.Г. О РАСЧЁТЕ КОЭФФИЦИЕНТА УВЕЛИЧЕНИЯ ПЛАНАРНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ СПИРАЛЬНОГО ТИПА // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 11-6. – С. 1150-1153;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=33266 (дата обращения: 23.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074