Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОЛУКОЛЬЦА С НЕКОММУТАТИВНЫМ СЛОЖЕНИЕМ

Орлова (Лубягина) И.В. 1
1 Вятский государственный университет
Бесконечные циклические полукольца имеют левое или правое сложение. Выведено правило сложения в конечных циклических полуполях. Цикл конечного циклического полукольца с некоммутативным сложением является циклическим полуполем. Конечное циклическое полукольцо с идемпотентным некоммутативным сложением и поглощающим элементом имеет либо левое, либо правое сложение. Конечное циклическое полукольцо с идемпотентным некоммутативным сложением сводится к конечному циклическому полукольцу с идемпотентным коммутативным сложением и поглощающим элементом и конечному циклическому полуполю. Приведены условия, при которых конечное циклическое полукольцо с неидемпотентным некоммутативным сложением сводится к подобному полукольцу с поглощающим элементом и циклическому полуполю. Доказаны необходимые условия для сложения в конечных циклических полукольцах с неидемпотентным некоммутативным сложением и коротким хвостом. С помощью программы, написанной на языке Си, получены такие полукольца небольшого порядка. Имеется достаточное условие на сложение в мультипликативной циклической полугруппе, превращающее её в циклическое полукольцо с неидемпотентным некоммутативным сложением. Приводится критерий для определения того, является ли конечная мультипликативная циклическая полугруппа с коротким хвостом и заданным на ней сложением полукольцом.
циклическое полукольцо
циклическое полуполе
некоммутативность
1. Бестужев А.С. О строении конечных циклических полуколец // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. – 2010. – Вып.6. – С. 143–148.
2. Вечтомов Е.М. Введение в полукольца: пособие для студентов и аспирантов. – Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000. – 44 с.
3. Clay J.R. The near-rings on a finite cycle group // The American Mathematical Monthly. – 1964. – Vol. 71. – № 1. – P. 47–50.
4. Maurer I.Gy. and Vincze J. Despre Inele Ciclice // Studia Universitatis Babes-Bolyai. Series Mathematica-Physica. – 1964. – Vol. 9. – № 1. – P. 25–27.
5. Vandiver H.S. Note on a simple type of algebra in which the cancellation law of addition does not hold // Bull. Amer. Math. Soc. – 1934. – Vol. 40. – № 12. – P. 914–920.
6. Vechtomov E.M., Lubyagina I.V. Cyclic semirings with idempotent noncommutative addition // Journal of Mathematical Sciences. – 2012. – Vol. 185. – Issue 3. – P. 367–380.
7. Weinert H. J. Zur Theorie der HalbFastkőrper // Stud. Sci. Math. Hung. – 1981. – Vol. 16. – P. 201–218.

Абстрактное понятие полукольца появилось в 30-е годы XX века и в последние десятилетия теория полуколец в связи с широким её применением активно развивается. В самом общем понимании под полукольцом S подразумевают две полугруппы (аддитивную и мультипликативную), связанные законом дистрибутивности умножения относительно сложения с обеих сторон. Именно такое определение полукольца (или ассоциативной алгебры) было дано Вандивером [5] в 1934 году. В той же работе [5] Вандивер упомянул о возможности рассмотрения полуколец с некоммутативным сложением. Мы будем рассматривать полукольца только с некоммутативным сложением. Под циклическим полукольцом будем понимать полукольцо с циклической мультипликативной полугруппой.

Циклическое полукольцо является неизученной алгебраической структурой. Наиболее известными циклическими объектами, близкими к циклическим полукольцам, являются циклические или моногенные полугруппы, циклические группы, циклические кольца [4] (аддитивная группа кольца является циклической), циклические почтикольца [3] (аддитивная группа почтикольца является циклической).

Пусть S = (a) – циклическое полукольцо типа (k, n) с некоммутативным сложением и циклом C. В силу предложений 1 и 2 [6] будем изучать циклические полукольца с единицей, но без нуля.

Строение бесконечных циклических полуколец с коммутативным сложением известно [2]. Конечные циклические полукольца с коммутативным сложением изучает Бестужев А.C. [1].

Теорема 1. Бесконечные циклические полукольца с некоммутативным сложением имеют левое или правое сложение.

Конечные полутела изучены Вейнертом [7]. Вейнерт установил, что конечное полутело изоморфно прямому произведению двух подполутел, одно из которых с левым сложением, а другое с правым сложением. Используя теорему Вейнерта, получено правило сложения в конечных циклических полуполях:

Предложение 1. Пусть C = (c) – циклическое полуполе порядка n, |C + 1| = m, |1 + C| = h. Тогда сложение в C выполняется по формуле (для любых i1, j1, i2, j2∈ N0):

Eqn136.wmf

Теорема 2. Цикл C конечного циклического полукольца S = (a) типа (k, n) с некоммутативным сложением является циклическим полуполем с образующим элементом a(nl + 1) и единицей anl для некоторого l ∈ N0 такого, что nl ≥ k > n(l – 1).

Циклические полукольца с некоммутативным сложением могут иметь идемпотентное и неидемпотентное сложение. Рассмотрим сначала полукольца с идемпотентным сложением.

Теорема 3. Всякое конечное циклическое полукольцо S = (a) типа (k, n) с идемпотентным некоммутативным сложением и с поглощающим элементом ak имеет либо левое сложение, либо правое сложение.

Бинарное отношение ~, заданное на полукольце S формулой x ~ y ⟺x, y ∈ C или x = y, является конгруэнцией. Факторполукольцо S/~ является циклическим полукольцом с поглощающим элементом [ak]~.

Любое конечное циклическое полукольцо с идемпотентным некоммутативным сложением сводится к подобному полукольцу с поглощающим элементом и конечному циклическому полуполю:

Теорема 4. Пусть в конечном циклическом полукольце S = (a) типа (k, n), k ≥ 1, n ≥ 2, сложение не коммутативно, не левое и не правое. Тогда:

1) 1 + anl = anl + 1 = anl, где anl – единица цикла C полукольца S для такого натурального l, что n(l – 1) < k ≤ nl;

2) множество T = {1, an, a2n, …, anl}, является циклическим подполукольцом в полукольце S, имеющим коммутативное сложение и поглощающий элемент anl.

3) для любых r, s ∈ N0, где r – s ≢ 0(mod n), выполняется:

ar + as = a(r + nl) + a(s + nl).

В следующей теореме показываются существование и единственность полукольца со структурой, описанной в теореме 4.

Теорема 5. Пусть даны натуральные числа k, n, l такие, что n ≥ 2 и n(l – 1) < k ≤ nl, произвольное циклическое полукольцо T = {1, b, b2, …, bl} с идемпотентным коммутативным сложением и с поглощающим элементом bl с условием 1 + bl = bl, и некоторое циклическое полуполе C = {1, c, c2, …, c(n – 1)} . Тогда существует единственное с точностью до изоморфизма конечное циклическое полукольцо S = (a) типа (k, n) с идемпотентным некоммутативным сложением, не левым и не правым такое, что его подполукольцо {1, an, a2n, …, aln} изморфно T, а его цикл {ak, a(k + 1), …, a(k + n – 1)} изоморфен C.

Пусть теперь S = (a) – циклическое полукольцо типа (k, n) с неидемпотентным некоммутативным сложением и циклом C. Обозначим m = |C + e|, h = |e + C|.

Конечное циклическое полукольцо с неидемпотентным некоммутативным сложением сводится к подобному полукольцу с поглощающим элементом и конечному циклическому полуполю при некоторых условиях.

Пусть произвольные натуральные числа r и s имеют разложения r = hi1 + mj1, s = hi2 + mj2, для некоторых целых чисел i1, j1, i2, j2.

Теорема 6. Пусть даны произвольные натуральные числа k и n, произвольное циклическое полукольцо S′ = {1, a, a2, …, ak} с неидемпотентным некоммутативным сложением и поглощающим элементом ak, некоторое циклическое полуполе C’ = {e = cn, c, c2, …, c(n – 1)} порядка n, где |C’ + e| = m, |e + C’| = h. Циклическое полукольцо S = (a) типа (k, n), факторполукольцо которого по конгруэнции ~ совпадает с полукольцом S′, то есть S/~ = S′, а цикл C полукольца S изоморфен полуполю C′, то есть ⟨C, + ,∙⟩ ≅ ⟨C′, + ,⟩, существует тогда и только тогда, когда в S′ для любых r, s ∈ N0 выполняется условие:

ar + as = at,

где t ≡ hi1 + mj2(mod n); t > max{r, s}.

Предложение 2. Хвост T полукольца S из теоремы 6 совпадает с S′\{ak}, то есть ⟨T, + ,∙⟩ = ⟨S′\{ak}, + ,∙⟩, только в случае |C′| = 1.

Рассмотрим циклическое полукольцо S = (a) типа (k, n) с неидемпотентным некоммутативным сложением и коротким хвостом (k ≤ n).

Пусть натуральное число z такое, что 0 ≤ z ≤ k + n – 1 имеет разложения:

z = hi1 + mj1, (1)

где 1 ≤ mj1 ≤ n;

z = hi2 + mj2, (2)

где 1 ≤ hi2 ≤ n.

Теорема 7. Если полукольцо S = (a) типа (k, n), где k ≤ n, имеет некоммутативное сложение, цикл C изоморфен прямому произведению подполутел C + e и e + C порядков m и h соответственно, то выполняются равенства:

(a) Eqn137.wmf

где z удовлетворяет (1).

(б) Eqn138.wmf

где z удовлетворяет (2).

Количество полуколец типа (k, n) с неидемпотентным некоммутативным сложением при k ≤ n

(k, n)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

0

2

2

2

2

4

2

2

2

4

2

4

2

 

2

2

2

2

4

2

2

2

4

2

4

3

   

2

2

2

4

2

2

2

4

2

4

4

     

2

2

6

2

2

2

4

2

4

5

       

2

10

2

2

2

4

2

6

6

         

6

2

2

2

10

2

6

7

           

2

2

2

18

2

10

8

             

2

2

10

2

6

9

               

2

18

2

18

10

                 

10

2

50

11

                   

2

34

12

                     

18

С помощью программы, написанной на языке Си, в которой учтены необходимые условия, сформулированные в теореме 7, по заданным числам m, h и k можно находить полукольца S = (a) типа (k, n) с неидемпотентным некоммутативным сложением, где n = m∙h, |C + e| = m, |e + C| = h. В таблице приведено количество полуколец типа (k, n) с неидемпотентным некоммутативным сложением для n ≤ 12.

Найденные полукольца показывают, что теорема 7 дает лишь необходимые условия существования циклических полуколец с неидемпотентным некоммутативным сложением и коротким хвостом.

Следующая теорема дает достаточное условие на сложение в мультипликативной циклической полугруппе, превращающее ее в циклическое полукольцо с неидемпотентным некоммутативным сложением:

Теорема 8. Пусть дана циклическая полугруппа S = (a) типа (k, n), n ≥ 2. Тогда для любых натуральных чисел m, h и l, таких, что m∙h = n, (m, h) = 1 и nl ≥ k > n(l – 1), на S существует неидемпотентное некоммутативное сложение, определяемое равенствами:

(a) Eqn139.wmf

где z удовлетворяет (1),

(б) Eqn140.wmf

где z удовлетворяет (2), превращающее S в циклическое полукольцо.

Теорема 9. В циклическом полукольце S = (a) типа (k, n), где k ≤ n, с неидемпотентным некоммутативным сложением сумма любых трех элементов лежит в цикле C.

Теорема 10. Пусть S = (a) – циклическая полугруппа типа (k, n), где k ≤ n, со сложением, заданным правилами (a) и (б) из теоремы 7 и удовлетворяющим закону дистрибутивности. Тогда для того, чтобы S было полукольцом, необходимо и достаточно выполнение следующих условий (для любых r, s ∈ N0):

(a) Eqn141.wmf

(б) Eqn142.wmf

(в) Eqn143.wmf

(г) Eqn144.wmf

(д) Eqn145.wmf

(е) Eqn146.wmf

Для полного описания циклических полуколец с некоммутативным сложением осталось описать такие полукольца с неидемпотентным сложением и поглощающим элементом.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору Е.М. Вечтомову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Рецензенты:

Вечтомов Е.М., д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой алгебры и дискретной математики, Вятский государственный гуманитарный университет, г. Киров;

Чермных В.В., д.ф.-м.н., профессор, доцент кафедры алгебры и дискретной математики, Вятский государственный гуманитарный университет, г. Киров.

Работа поступила в редакцию 15.01.2013.


Библиографическая ссылка

Орлова (Лубягина) И.В. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОЛУКОЛЬЦА С НЕКОММУТАТИВНЫМ СЛОЖЕНИЕМ // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 4-1. – С. 81-84;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=31102 (дата обращения: 05.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074