Если под действием силы F материальная точка прошла бесконечно малый путь dS, то работу можно определить как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения
(1)
где Fs ─ проекция силы F на направление перемещения частицы dS.
Из такого определения работы следует, что сила, направленная перпендикулярно пути, не производит работы. В частности, при равномерном движении материальной точки по окружности работа сил равна нулю. Покажем, что эти два утверждения ошибочны.
В соответствии с законом инерции Галилея всякое тело оказывает сопротивление при попытках привести его в движение или изменить модуль или НАПРАВЛЕНИЕ ЕГО ДВИЖЕНИЯ. Это свойство тел называется инертностью. Чтобы преодолеть сопротивление, необходимо приложить усилие, т.е. совершить работу. Определим работу, которую надо затратить, чтобы изменить направление движения тела, т.е. повернуть вектор скорости V0 (или вектор импульса 
) на некоторый угол α. Изменение направления движения производится за счет действия импульса силы I2. Из треугольника импульсов по теореме косинусов находим 
. Работа поворота тела массы m при постоянной скорости V0 будет равна
; 
(2)
Обозначим 
- кинетическая энергия тела, тогда работа поворота на 90о будет равна 
, на 180о - 
, на 360о - 
. Таким образом, работа поворота на 360о или работа одного оборота при равномерном движении тела по окружности равна 
. Эту работу совершает центростремительная сила, хотя в соответствии с формулой (1) эта работа должна быть равна нулю. Причина более столетнего заблуждения по поводу работы, совершаемой центростремительными силами, состоит в том, что скалярное произведение (1) надо дополнить другим выражением: 
, где 
- проекция перемещения dS на направление действия силы F. Именно это выражение надо использовать при криволинейном движении, когда вектор силы F перпендикулярен dS.
Поле сил называется потенциальным, если работа при перемещении в этом поле зависит лишь от начальной и конечной точек пути и не зависит от траектории. Другим эквивалентным определением потенциальности является требование равенства работы нулю при перемещении по любому замкнутому контуру.
Покажем, что эти оба утверждения тоже ошибочны. От вида пути не зависит изменение потенциальной энергии, а работа и изменение потенциальной энергии не всегда эквивалентны. Рассмотрим это на примере движения тела в однородном поле тяжести. При движении тела вниз от верхней потенциальной поверхности h1 до нижней потенциальной поверхности h2 на тело действует только одна сила 
и движение происходит по вертикали, т.е. вдоль линии напряженности поля. Сила тяжести совершает работу
; 
(3)
Чтобы остановить тело на уровне h2, необходимо затратить работу торможения, равную кинетической энергии тела 
. Суммарная работа будет равна 
.
При движении тела вертикально вверх под действием постоянной силы тяги FT уравнение движения (II закон Ньютона) имеет вид
(4)
Если 
, то правая часть тождественно равна нулю, и движения тела вверх не происходит, но в этом случае сила давления тела на опору равна нулю, поскольку сила тяги нейтрализует «тяжелую» массу, и тело находится в состоянии левитации. Обозначим силу тяги, равную mg, значком «штрих»: 
. Если сила тяги 
больше mg на величину ΔF, то уравнение (4) запишется в виде
(5)
Таким образом, часть силы тяги не принимает участия в работе по подъему тела вверх. Тело будет подниматься вверх только благодаря действию силы ΔF с ускорением 
. За время t высота подъема 
. Работа подъема 
. Точно такую же работу надо затратить на торможение тела на верхнем уровне h1. Таким образом, в общем случае работы не подъема тела и его спуска не совпадают, но можно подобрать такую ΔF, что эти работы совпадут.
Что же делает часть силы тяги ? Она удерживает тело от свободного падения в поле гравитации. Её работу A´ можно определить выражением, аналогичным A21, т.е. 
. Вместо силы ΔF подъем тела можно производить с постоянной скоростью 
, для чего телу надо сообщить импульс силы 
, тогда работа подъема будет равна 
. Можно искусственно выбрать такой, что работы A12 и A21 совпадут. Но при этом останется еще работа A´.
Если траектории движения тел отличаются от вертикальных прямых линий, совпадая с данной прямой только в верхней и нижней точках, то значит, на тело действовали еще и другие (горизонтальные) силы, а не только вертикальные силы данного потенциального поля. Короче говоря, совершается дополнительная работа на повороты вектора скорости, т.е. работа зависит от формы траектории, а работа подъема всегда больше работы спуска.