Первым вопросом в этих исследованиях является вопрос о том, отвечает ли рассматриваемое распределение нормальному закону, ибо все иные проверки опираются на то, что распределение подчиняется нормальному закону.
Поясним это на примере. Пусть в процессе констатирующего эксперимента в контрольной группе из 25 человек успеваемость распределилась следующим образом: оценку «отлично» (5) получили 4 человека, оценку «хорошо» (4) - 8 человек, оценку «удовлетворительно» - 10 человек и оценку «неудовлетворительно» (2) - 3 человека. Требуется, используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05, проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением выборки.
Решение. ni: 3 10 8 4 , хi: 2 3 4 5
, 
,
.
Вычислим теоретические частоты, учитывая, что n=25, h=1, s=0,904, по формуле
Функция 
находится из таблицы приложения 1 [1],
Составим расчетную таблицу 1:
Таблица 1.
|
i |
xi |
|
|
|
|
|
1 2 3 4 |
2 3 4 5 |
-1,68 -0,57 0,53 1,64 |
0,0973 0,3391 0,3467 0,1057 |
2,7 9,4 9,6 2,9 |
0,03 0,04 0,27 0,42 |
Здесь 
, 
Из таблицы 1 находим 
= 0,76.
Функцию 
находим из таблицы приложения 5 [1] по уровню значимости a=0,05 и числу степеней свободы k=s-3=4-3=1:
.
Так как 
- гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.
Следующий вопрос, который требует решения для установления адекватности исследований: сравнение «средних показателей успеваемости».
Рассмотрим отвлечённый пример. По двум независимым малым выборкам (пусть это будут контрольная группа, которую мы уже оценивали, и экспериментальная группа, распределение успеваемости в которой также подчиняется нормальному закону) оцениваются результаты испытаний. Объемы групп n=25 и m=25, извлечены из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние: 
и исправленные дисперсии:
.
Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H0: M(X)=M(Y) при конкурирующей гипотезе H1: M(X)¹M(Y).
Решение. Исправленные дисперсии различны, поэтому предварительно проверим гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, используя критерий Фишера - Сенедекора. Найдем отношение большей дисперсии к меньшей:
. Дисперсия 
значительно больше дисперсии 
, поэтому в качестве конкурирующей примем гипотезу H1: D(X)>D(Y). В этом случае критическая область - правосторонняя. По таблице приложения 7 [1], по уровню значимости a=0,05 и числам степеней свободы k1=n-1=25-1=24 и k2=m-1=25-1=24 находим критическую точку Fкр(0,05;24;24). В таблице таких значений нет. Предельные значения даны для k1 = 12 и k2 = 17, но из таблицы видно, что при добавлении каждой новой степени свободы искомое значение уменьшается по k1 на 0,03 и по k2 на 0,06. Поэтому найдём Fкр(0,05;24;24)=Fкр(0,05;12;17)-0,03 (24-12)-
-0,06
(24-17)=2,38-0,36-0,42 = 1,6.
Так как Fнаблкр - нет основания отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Предположение о равенстве генеральных дисперсий выполняется, поэтому сравним средние (при нормальном законе распределения и при равенстве генеральных дисперсий).
Вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента:
По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М(Х)¹М(Y), поэтому критическая область - двусторонняя. По уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы K=n+m-2=48 находим по таблице приложения 6 [4] критическую точку tдвуст. кр(0,05; 48) > 43,8. (В таблице такого значения нет, но из неё ясно, что чем больше К, тем больше tдвуст. кр).
Так как Тнаблдвуст. кр, то нулевая гипотеза о равенстве средних принимается.
Итак, исследованы основные закономерности, необходимые для установления достоверности экспериментальных данных: распределения подчиняются нормальному закону, математические ожидания и дисперсии отличаются незначимо. Можно утверждать о чистоте эксперимента и о его адекватности поставленным задачам.
Список литературы
- Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. - Москва: Высшая школа, 1998 г. - 479 с.