Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,674

Исаев Ю.М.

Наблюдения  показывают,  что  одной  из  причин  повреждения  зерна  в  пружинном  транспортере  оказывается  дробление  его  между  кожухом  и  пружиной  при  поперечных  колебаниях  последней.  Особенную опасность представляют  резонансные  колебания  пружины,  которые  могут  возникнуть  при  определенных критических скоростях ее вращения. В связи с этим  возникла необходимость расчета   жесткости пружины, так как характеристики жесткости входят в дифференциальные  уравнения  колебательного движения.

Для  расчета  колебаний пружины можно  воспользоваться  основным  дифференциальным  уравнением  движения  в  поперечном  направлении. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний  пружины получим из рассмотрения условий динамического равновесия элемента dx выделенного из произвольно закрепленной пружины. Проектируя все силы, действующие на рассматриваемый элемент (включая в соответствии с принципом Даламбера силы инерции) на вертикальную ось y , будем иметь  f откуда   

f(1)

где Q - поперечная сила; q1 - интенсивность сил инерции массы  

f ,           (2)

( F- площадь поперечного сечения; ρ - плотность материала; y - поперечное перемещение; t - время).

Подставив (2) в (1). найдем уравнение поступательного движения элемента колеблющегося стержня:

f.                (3).

Простейшим периодическим решением уравнения (4) является так называемое главное колебание, в котором функция прогиба колеблющегося стержня изменяется с течением времени по гармоническому закону

            f                      (4)

Функция φ(x) , устанавливающая закон распределения максимальных отклонений точек оси стержня, называется формой главного колебания или собственной формой.

Для получения уравнений собственных форм получим  

       f   ,  где         f

Общее решение уравнения  имеет вид      

f,                             (5)

Здесь А, В, С, D (постоянные интегрирования, определяемые из условий закрепления стержня. Так, например, для   шарнирно-закрепленного стержня (рис. 2.68) условия на концах будут:

при   f 

при     f

Из полученного частотного уравнения находим:        f

Из равенства   fопределим собственную круговую частоту:  f   

период f и частоту  колебаний, гц,  f

Общее решение дифференциального  уравнения (2.160) применительно к рассматриваемой балке на двух опорах  может быть записано в виде    

f,                 (6)

где a1 и b1 должны быть подобраны из начальных условий (при t=0).

Решение этого уравнения применительно  к  пружине,  свободно  лежащей  на  двух  опорах  с  расстоянием, L  -  между  ними,  дает   значения  критической  частоты  ω  и  критической  скорости  вращения  Nkp.

Значение  момента  инерции J  ,  входящее  в  приведенные  формулы  может  быть  найдено  по  методу  Тимошенко,  исходя  из  энергии,  накапливаемой  в  витках  при  их  изгибе  в  продольной  плоскости  (данный  метод  был  разработан  для  определения  жесткости  на  поперечный  изгиб  витых  пружин).

При  анализе  изгиба  такого  тела  рассматривают  отдельно  энергию  от  составляющей  момента  в  плоскости  витка  и  в  нормальной  к  ней  плоскости.  Суммарная  энергия  упругой  деформации  витков  пружины  составляет:

f

где  M -  изгибающий  момент; n -  число  шагов  витков  пружины  в  пределах  изучаемого  участка;  α -  угол  наклона  винтовой  линии; b - толщина  витка; d -  его  ширина;  R -  средний  радиус  пружины;  G   -  модуль  сдвига; ρk -  средний  радиус  кривизны  витка,  определяемый  как  f ; ε -  смешение  нейтральной  оси  при  изгибе  витка  шнека,  определяемое  из  уравнения f, где ρ i  и ρ 0  -  соответственно  внутренний  и  наружный  радиусы  транспортера.

От  величины  накопленной  энергии  можно  перейти  к  характеристике  жесткости,  приравняв:  

f,       ( ρ c -  радиус  кривизны  в  плоскости  изгиба).

Отсюда  приведенная  характеристика  жесткости  витков  пружины  оказывается  равной:

f                                              (7)

Входящий  в  уравнение  коэффициент k отражает  связь  витков  пружины  с  ее  корпусом.  При  малой  связи,  как  в нашем случае    с  большим  шагом,  этот  коэффициент  может  быть  принят  равным  единице,  с  увеличением  связи  коэффициент  увеличивается.

Программа расчета  характеристик   транспортеров  для  выбранных  значений параметров и  зависимость  критической  скорости  вращения  от длины  пружины   приводится  на  рисунке  1.

p

Рис. 1.  Зависимость  критической  скорости  вращения  от длины  пружины.

Расчет  характеристик  по параметрам реальных транспортеров  зернопогрузчиков  показывает,  что  колебания в транспортере  определяются  в  основном  жесткостью  его  пружины.  Аналогичные   результаты  получены  исследованиями  распределения  напряжений  в  различных  точках  транспортера,  проведенные  с  применением  фотоупругих  моделей  для  шнека.

 Диапазон  значений  частот  колебания  транспортеров  в  зависимости  от  их  длины  представляет  некоторую  область,  в  центре  которой  лежит  кривая  расчетных  значений  согласно  приведенному  уравнению.  С  увеличением  длины  транспортера  критическая скорость  вращения, отвечающая  резонансным  колебаниям,  резко  уменьшается.  Критическая  скорость  уменьшается  с  увеличением  угла  наклона  транспортера.  При  величине  угла  наклона  менее  30°  критическая  скорость  изменяется  мало  и  соответствует  расчетной  формуле,  с  превышением  этого  угла  критическая  скорость  возрастает  по  затухающей  криволинейной  зависимости. 

Колебания  транспортера  в  известной  мере  гасятся  сыпучей  массой,  находящейся  внутри  его  кожуха.  Чем  больше  коэффициент  заполнения  шнека,  тем  меньше  критическая  скорость  его  вращения.  Влияние  коэффициента  заполнения  проявляется  в  одинаковой  мере  при  всех  значениях  угла  наклона  транспортера.