Scientific journal

Fundamental research

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

Рассматриваются процедуры получения уравнения потенциальных изменений  параметров процессов из балансного уравнения и построения на его основе  дифференциального уравнения, описывающего динамику процесса, начиная с момента начала изменения воздействующих параметров, кончая в момент прекращения изменения и установления постоянного значения регулируемой переменной.

Формализация физических и различных технологических процессов очень часто сводится к построению дифференциальных уравнений, описывающих изменение какого-либо, например, выходного параметра (параметров) процесса при изменении других (воздействующих на него) параметров. При этом первичные уравнения подвергаются таким значительным преобразованиям с целью приведения их к линейным и обыкновенным, что полученные дифференциальные уравнения не удовлетворяют требованиям, предъявляемым к описывающим функциям управляемых объектов. Они описывают изменение выходного параметра в интервале времени только от момента окончания изменения и установления постоянных значений воздействующих (возмущающих и управляющих) параметров до момента достижения постоянного значения управляемого (зависимого) параметра. В них переменными являются отношения малых изменений параметров объекта к их принимаемым постоянным и начальным значениям, отсутствуют функции чувствительности управляемого параметра по воздействующим и скорости изменения воздействующих параметров. Такой подход возможен и рационален в тех случаях, когда τ₂ >> τ₁ где τ₂ = t₂ - t₀,τ₁ = t₁ - t₀, t₀, t₁ - моменты начала и окончания изменений воздействующих параметров; t₀ , t₂ - моменты начала и окончания изменения управляемого параметра соответственно. Однако реальные технологические процессы в промышленном производстве характеризуются непрерывным изменением воздействующих параметров и состояния. Как динамические они представляют собой бесконечную последовательность переходных процессов, при которых нет постоянных начальных значений. Каждое предыдущее значение параметров и состояния является начальным для последующего их изменения. При этом продолжительности исходных процессов соизмеримы (τ₂ → τ₁), управляемый параметр следует рассматривать как сложную функцию от функций, зависящих от одного независимого аргумента - времени.

В данной работе на примере процесса идеального смешения в аппарате, приведенном на рис.1, приводятся процедуры получения уравнения динамического баланса, описывающего изменение управляемого параметра при изменении воздействующих параметров                                                              

Рис. 1. Графики изменения выходного параметра x(t) (1, 3) при изменении воздействующего u(t) (2, 4).

Для непрерывного процесса смешения двух потоков u и f [6^{- 1}×10^{- 4} м³/сек] с плотностями ρ и ν [10⁶ г/м³] одного и того же вещества уравнение баланса записывается: для t = t₀ в виде

                                   u_j0 - ρ_ξ0 + f_i0 × ν_η0 = (u_j0 + f_i0) x_k0 ,                                   (1)

для t = t₂ , где t₂ - момент установления равновесия в системе после изменения воздействующих параметров, -

(u_j0+u_0β)(ρ_ξ0+ρ_0b)+ (f_i0 + f_0α)(γ_η0 + γ_0s) =

                                                               = [(u_j0 + u_0β) + (f_i0+ f_0α)](x_k0 + x_0γ),                                      (2)

где u_j0, ρ_ξ0, f_i0, γ_η0, x_k0, j-ое, i-ое, η-ое, k-ое и ξ-ое начальные значения переменных; u_0β, ρ_0p, ƒ_0α, ν_0s, x_0γ - β-ое, p-ое, α-ое, s-ое, γ-ое изменения переменных.  Подставляя (1) в (2), получим для  t → t₂

               (3)            

Левая часть выражения (3) отражает потенциальное изменение управляемого параметра при мгновенном или опережающем изменении воздействующих параметров. Его можно назвать уравнением потенциального изменения, то есть уравнение (1) написано для t ≤ t₀, а уравнение (2) - для t ≤ t₂. На основании уравнения (3) и учитывая, что x_0g(t) = x_0g[ u_0β(t), f_0a(t), ρ_0p(t), ν_0s(t), t] для t₀ < t< t₂ можно записать                                                                 

                    (4)

Уравнение (4) отражает динамический баланс обобщенных сил воздействия и сопротивления, изменяющихся от начальных до новых установившихся значений. В тот момент, когда при  t = t₁. изменение воздействующих параметров заканчивается, они принимают постоянные значения,

и из (4) для t ≥ t₁, получаем x

.  (5)

Для случаев постоянства концентраций в потоках ρ_ξp = ρ_ξ0, ν_ηs = ν_η0 (4) и (5) можно записать в виде

               (6)

         (7)

В общем случае в (7)

x_0g = x_0g [ u_0β(t), f_0a(t), ρ_0p(t), ν_0s(t), t].            (8)  

Дифференцируя (8), получим

=    (9)

Подставляя (9) в левую часть (7), получаем уравнение (4). Это означает, что обыкновенные дифференциальные уравнения (5) и (7) являются частными случаями дифферен-циального уравнения (4), представляющего обобщенное уравнение для описания динамики многих физических и технологических процессов в промежутке времени от момента начала изменения воздействующих параметров до момента установления постоянного значения управляемого параметра. Уравнения (4) и (6) удовлетворяют и условиям непрерывности изменения воздействующих и управляемых параметров.

Как видно, уравнение (4) получается путем замены левой части уравнения (3)

     выражением

Приведенный метод достаточно закономерен, поскольку уравнение статики описывает равновесие в объекте до и после переходного процесса и полностью подтверждается положением в теоретической механике, что «Введя при решении задач динамики силу инерции, мы согласно принципу Даламбера получаем уравновешенную систему сил, а потому можем воспользоваться уравнением статики» [1]. Величиной, эквивалентной обобщенной силе инерции, в уравнении (4) является выражение

Уравнение (4) имеет принципиальное отличие. Для его решения требуется для каждого изменения каждого воздействующего параметра вычислять значения функций чувствительности выходного параметра по воздействующим. Для (4) они определяются из выражения (3):

 (10)

     (11)

Существование и единственность решения уравнения (4)определяется его решением при известных значениях функций чувствительности. Для упрощения  процедуры рассмотрим (6), отличающееся от (4) условиями p_ξpp= p_ξp, ν_ηs=ν_η0..  Для этого обозначим правую часть (6)

  ,  .

Тогда из (6) получим

,

а при     -

 . (12)       

Обозначая , из уравнения (12)

.

Согласно [2] решение этого уравнения записывается в виде

где     и окончательно при x_k0 = 0

,

Принимая для примера  u = (1 - e^{- 0,8t}) ,   ,

,

Подставляя данные таблицы 5, где для одного случая γ = 1  F_0γ = 0,0477, b_0β = 0,4, a_0a = 0,27, получаем x_0γ = 0,0477 (1 - e^{- t}) - 0,52 e^t (e^0,2t - 1).

Определяя значения x₀₁ при γ = 2 в области t ∈ [0;15], получим график 1 изменения x₀₁ во времени (рис.1). График 2 характеризует изменение u(t). Отрицательная часть графика 1 обусловлена не процессом в системе, а только свойством аппроксимирующего решения, как например, полином, являясь универсальным средством приближения графиков, не может охватить абсолютно всю область значений функций.

Для случая  u = - (1 - e^{- 0,8t})  ,    получим

j(t) = F_0γ + (b_0β - a_0a) 0,8e^{- 0,8t}

и решение для γ = 2

x₀₂ = - 0,0477(1 - e ^t) + 0,52e^{- t} (e ^0,2t - 1).

Графики 3 для u = - u(t) и 4 для  x₀₂ = x₀₂(- u(t)) приведены на том же рис.1, представляют собой зеркальное отображение графиков 1, 2. Результаты этих исследований подтверждают, что уравнение типа (4) реально существует.

Уравнение (1) применимо для описания баланса в одной любой зоне многозонного аппарата удаления технологической жидкости путем ступенчатого смешения (вымывания) ее при орошении твердых веществ менее концентрированной жидкостью. Статический баланс в четырехзонном аппарате, в котором потоки твердых веществ и орошающей жидкости двигаются навстречу (рис.2), для t = t₀, описываются системой уравнений:

                        (13)  

а для  t₀ < t< t₂ - системой уравнений

     (14)

Вычитая решение системы (13) относительно начального значения плотности на выходе любой зоны x_δk0 из решения (14) относительно значений плотности x_δkg на выходе той же зоны после установления равновесия в аппарате получим x_δkg - x_δk0 = x_δ0γ, где δ - номер зоны аппарата. Тогда для плотности 4-ой зоны при возможных изменениях подачи воды в 4-ую зону, поступления сорбированной смеси в 1-ую зону и  плотностей поступающих в 4-ую зону орошающей и сорбированной смесей имеем

       (15)  

где ρ_40p - изменение независимого параметра орошающего потока; u_40β -  изменение орошающего потока с целью управления процессом; f_10a, ν_10s - изменения параметров независимого потока, являющегося нагрузкой на аппарат. Здесь приняты изменения f_10a и ν_10s с индексами первой зоны, относящимися к первой зоне потому, что именно они определяют плотности на выходе всех зон. Точно также в уравнение первой зоны должны войти изменения u_40b, ρ_40p параметров потока четвертой зоны. Для любой зоны уравнение (15) записывается, опуская номера зон при u_40b, f_10a, ν_10s, ρ_40p, в виде         

Рис. 2. Схема технологических потоков.

     (16)          

Рассмотрим (16) для сокращения процедур вычисления при ρ_ξp = ρ_ξ0 = 1,  ν_ηs = ν_η0 =1,8 и получим

  ,     (17)

где

              (18)          

Форма записи (17) обусловлена необходимостью указать на определяемость значения функции F_δ0γ из системы (18) и невозможностью явного выражения ее из системы (18). Значение функции F_δ0γ  из (18) определяется только путем вычисления.

Для проверки существования решения уравнения (17) (множества решений для каждого γ = 1, ..., t) необходимо решить две задачи: определение значений  F_δ0γ  и определение значений функций чувствительности

, .

Определим значения  ∂x_δ0γ ⁄ ∂f_0α. Поскольку значения плотностей смесей на выходе всех зон при различных значениях подачи воды и расхода смеси в 1-ую зону определяются из системы четырех уравнений (14), то решение задачи сводится к дифференцированию этой системы:

             (19)       

      (20)         

Решение задач (19) и (20) встречает значительные трудности, нужны другие методы.

Для решения задачи проведена следующая работа. По уравнению (14) вычислены равновесные значения плотностей по зонам для трех значений подачи воды u_jβ  и трех значений расхода смеси f_ia.

Результаты вычислений приведены в таблице 1. Для наглядности по табл. 1 построены 6 графиков (рис. 3). Данные таблицы аппроксимированы уравнениями, приведенными в табл. 2.. Дифференцируя по воздействующим параметрам уравнения табл. 2, получим дифференциальные уравнения в частных производных (табл. 3), представляющих собой функции чувствительности. При всех вычислениях значения расходов уменьшены в 100 раз для повышения точности вычислений. В таблицах приведены уменьшенные их значения.

Далее, продолжая подготовку данных к проверке уравнения (17), необходимо получить значения ∂x_δ / ∂u₄, ∂x_δ / ∂f₁. Для этого решаются уравнения, приведенные в табл. 3, подставляя в них значения u₄ и f₁. Во избежание громоздких вычислений выполним их только для плотности x₄, т.е. для первых шести уравнений табл. 3. Результаты вычислений приведены в табл. 4.

Таблица 1.Значения плотности x₄ при различных значениях  u₄, f₁

Таблица 2 Уравнения плотностей при равновесных состояниях в круговом аппарате

Таблица 3. Дифференциальные уравнения по воздействующим параметрам

Рис. 3. Графики зависимости x₄ от подачи воды (1 - 3) и расхода смеси (4 - 6)

Для определения значений F_0γ необходимо решить систему (14) при одновременном изменении расхода смеси f₁ и подачи воды u₄. Эти данные можно получить из табл. 2 следующим образом. Первые строки данных для кривых 1, 4 в табл. 2 приняты за начальные значения. Полагая изменения u_0β и f_0a на 0,06, соответствующее изменение x_40γ получим вычитанием первой строки из второй [x_40γ (1,08) - x_40γ (1,02)].

Таблица 4. Значения функций чувствительности x_40γ по  u_40β и f_10a.

Далее, вычитанием первой строки из третьей при существующем изменении u_40β и f_10a на 0,06 и т.д. Результаты внесены в графы 3, 4, 6, 7 табл. 5. Значение F_0γ получается алгебраическим суммированием данных граф 4 и 7. Для кривых 2 и 5 (рис.3) за начальные значения f_i0, u_i0 приняты строки при x₄ =1,16 (как в первом случае). Шаги изменения сделаны вверх и вниз от этой строки. Результаты вычислений тоже внесены в графы 4, 7. Значения F_0γ получаются также суммированием.

Для кривых 3, 6 за начальные значения приняты (при u_j0 = 0,72) данные последних строк тоже при x₄ = 1,16. Шаги изменения сделаны снизу вверх. Остальные приемы аналогичны. Остается указать, как пользоваться данными таблицы 5 для проверки уравнения (17). Для выяснения роли функций чувствительности в уравнении (17) необходимо взять данные кривых, исходящих из одной точки 1,16, сходящихся к ней или пересекающихся в той точке. Это кривые 1 и 4, 2 и 5, 3 и 6. Итак, берем кривые I и 4. Уравнение  (17) принимает вид       

     (21)             

Таблица 5. Изменение F_0γ при одновременном изменении u_0β  и f_0a, x_4k0 = 1,16

Из уравнения (21) следует, что при равенстве скоростей изменения u_0β, f_0α

условие равенства нулю левой части уравнения не выполняется, хотя по графикам оно должно быть выполнено. Дело в том, что значения ∂x_40γ / ∂u_0β, ∂x_40γ / ∂f_0a, взятые в табл. 1, относятся только к точке u_0β = 1,08, f_0a = 1,08, а изменение x_40g - к концу интервала от 1,08 до 1,02. Если посмотреть значения функций чувствительности, то можно увидеть, что они увеличиваются по линейному закону, как и следовало ожидать по их уравнениям в табл. 3. В то же время по графикам, например 4 и 6, они должны быть постоянными. Здесь, по-видимому, проявляется вероятность получения бессмысленных результатов при дифференцированной экспериментальных данных [2]. Здесь это проявляется в том, что первичное уравнение недостаточно точно описывает график, близкий к прямой линии, которое было взято для описания уравнения прямой линии, чтобы сохранить подобие другим уравнениям. Поэтому для проверки существования решения уравнения (17) возьмем данные из графиков. Из них следует, что F_0g (u_40b, f_10a) Крутизны графиков 1 и 4 можно считать равными и, как следствие, отношения  x_40g к шагу изменения u_n0b = 1,08 - 1,02 = 0,06, f_10a = 1,08 - 1,02 = 0,06

Выражение (17) принимает вид (опуская номера зон в индексах):

Запишем его в виде

По справочнику [3] решение уравнения (17) записывается

что приводит к выражению x_0γ = F_0γ (f₁ - e^{- t}), а для случая du_0β / dt = df_0a / dt при  t → ∞ x_0γ = 0,001.

Проверим в случае неравенства функций чувствительности для графиков 3 и 6:

1. Для изменения df_0a = du_0β = 0,36, F_0γ = 0,0477

решение пишется в виде

где            

Для   du_0β / dt = df_0a / dt, u_0β = 1 - e^{- 0,8t}

2. Для изменения df_0a = du_0β = 0,30, F_0γ = - 0,0317

Для   

и т.д. Результаты представлены в таблице 6.

Из данных графы 8 таблицы 6 следует, что результаты вычислений значений плотности на выходе четвертой зоны аппарата совпадают с данными графиков на рис.3. Проверка осуществлена для 24-х графиков. Такая высокая точность обусловлена тем, что здесь приняты равными скорость изменения подачи воды на орошение и скорость изменения поступления смеси в массе. Естественно, на практике эти скорости отличаются и уравнение (17) принимает вид:

где а, в, с - коэффициенты, могущие быть в общем случае переменными или функциональными. В данном случае они приняты равными единице для обоснования принципа построения дифференциальных уравнений .

Таблица 6. Значения плотности x_0γ вычисленные по уравнению  (22)

ВЫВОДЫ

1. Реальные технологические процессы в промышленном производстве  характеризуются непрерывным изменением воздействующих параметров и состояния. Как динамические системы они представляют собой бесконечную последовательность переходных процессов, при которых нет постоянных начальных значений. Каждое предыдущее значение параметров и состояния является начальным для последующего их изменения, продолжительности переходных процессов соизмеримы, управляемый параметр следует рассматривать как сложную функцию от функций, зависящих от одного независимого аргумента - времени. Соотношение начальных значений и изменений параметров и состояния определяется двусторонним неравенством.
2. Получено уравнение потенциальных изменений на примере процесса смешения двух потоков, на основании которого построено обобщенное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее динамику многопараметрического процесса с учетом чувствительности выходного параметра к изменению воздействующих и скоростей их изменений. Осуществлена проверка существования решения полученного уравнения и показано множество решений, зависящих от множества воздействующих параметров и множества их изменений.
3. Достоверность использованных при построении обобщенного дифференциального уравнения положений и реальность собственно дифференциального уравнения доказаны путем преобразований его в классическое однопараметрическое линейное дифференциальное уравнение при уменьшении отношения продолжительности изменения воздействующих параметров к продолжительности изменения выходного параметра, уменьшении числа воздействующих параметров до единицы, уменьшении отношения скорости изменения выходного параметра к скоростям изменений воздействующих параметров.
4. Приведены результаты использования построенного дифферен циального уравнения в частных производных для описания многоступенчатого многопараметрического процесса вымывания технологической жидкости при встречно-пересекающихся потоках.

СИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Воронков И.М. Курс теоретической механики. - М.: Наука, 1965, 596с.
2. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. - М.: Мир, 1982, 295с.
3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1971, 576с.