Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

Мурох А.А.

Использование теории графов для описания моделей систем управления со сложной структурой, стало распространенным в последнее время. Теоретико-графовая форма описания модели позволяет эффективно использовать новые возможности языков программирования, такие как указатели, списки, классы, множественное наследие. Такое представление расширяет информацию о модели, позволяя вводить причинно-следственные отношения. Знание о направленности связей в графе имеет большое значение для задач анализа и синтеза.

Однако, в различных областях науки и техники для наглядного представления систем автоматического управления широко используется только такой вид графов, как С-графы, иначе называемые структурными схемами.

Рассмотрим другие подходы к анализу систем с использованием теории графов.

Для графического изображения математических зависимостей в динамических системах используются также графы прохождения сигналов (сигнальные графы). Они обладают следующими свойствами.

1. Каждой вершине, изображаемой на графе кружком или точкой, ставится в соответствие величина одной из переменных (координат) динамической системы.

2. Сигнальный граф тоже является ориентированным графом.

3. Величина, соответствующая вершине-началу ребра, называется входной величиной ребра. Если из вершины выходит несколько ребер, то входные величины всех этих ребер одинаковы и равны величине, соответствующей вершине.

4. Ребро изображает одно из звеньев в системе, и ему ставится в соответствие оператор, отвечающий тому математическому преобразованию, которое осуществляется в элементе над его входной величиной. В результате этого преобразования получается выходная величина ребра (или соответствующего ему звена).

5. Если к некоторой вершине подходит только одно ребро графа, то величина, сопоставляемая этой вершине, равна выходной величине ребра, получаемой как результат приложения оператора ребра к его входной величине. Если к вершине подходит несколько ребер, то сопоставляемая ей величина равна алгебраической сумме выходных величин ребер. Выходящие из вершины ребра на величину, сопоставляемую вершине, не влияют.

Для рассмотрения следующего вида графов необходимо ввести понятие чувствительности системы. Чувствительностью называют показатель, характеризующий свойство системы изменять режим под влиянием того или иного параметра. В качестве прямых оценок чувствительности принято использовать частные производные координат системы или же показателей качества процесса управления по вариациям параметров.

Их называют функциями чувствительности координат по отношению к соответствующим параметрам. Метод графов чувствительности обобщает структурный метод на более широкий класс систем, включающих нелинейные и нестационарные звенья.

Пусть дан основной граф G исследуемой системы. Требуется построить граф G´ такой, что его вершинам будут соответствовать функции чувствительности координат, определяющих вершины основного графа, по отношению к некоторому параметру. Граф G´ называется графом чувствительности исходной системы. При построении графа чувствительности стремятся к тому, чтобы он по возможности был тождественным основному графу в смысле одинакового числа элементов и связей между ними, а также параметров связей (ребер). Рассмотрим, какие элементы в графе чувствительности G´ будут соответствовать типовым элементам в основном графе.

Линейному элементу с передаточной функцией, не зависящей от параметра в исходном графе G, соответствует линейный элемент с той же передаточной функцией в графе чувствительности G´.

Линейному элементу с передаточной функцией, зависящей от параметра можем поставить в соответствие такой же элемент в графе чувствительности, но при этом надо будет в схеме графа G´ добавить на выходе ребра, изображающего этот элемент, дополнительное воздействие, называемое связывающим воздействием.

Аналогично, нелинейному элементу в графе G соответствует нелинейный элемент в графе G´, осуществляющий умножение входных величин нелинейного элемента на переменные коэффициенты d(f)/dxk и суммирование полученных произведений. Если, кроме того, нелинейная характеристика зависит от параметра, то к выходу нелинейного элемента добавляется связывающее воздействие, вырабатываемое также посредством нелинейного элемента.