ВВЕДЕНИЕ
До начала бурного внедрения вычислительной техники физики решали сложные проблемы приближенно (например, при помощи малопараметрического описания функций, что является неявным использованием априорной информации об ожидаемом результате). Вычислительные возможности современных компьютеров породили иллюзию отсутствия необходимости в использовании такой информации. Казалось, можно решить проблему любой сложности, если решение принципиально существует, пусть даже для этого надо решить систему из сотни уравнений или обратить матрицу 100х100. Тем не менее, зачастую полученные результаты не имели физического смысла. Тогда математики сформулировали проблему «некорректной обратной задачи» - проблему извлечения информации из массива экспериментальных данных, когда решение принципиально существует, но оно очень чувствительно к погрешностям измерений и даже ограниченности точности вычислений, так что незначительное изменение исходных данных на долю процента вызывает изменение результата в сотни раз [1].
Типичным примером некорректной обратной задачи является исключение аппаратных искажений или редукция к идеальному инструменту. Исследователь сталкивается с аппаратными искажениями всякий раз при выполнении динамических измерений, т. е. когда в результате эксперимента получается не одиночное значение, а функция (например, вольтамперная характеристика, оптический или пространственный спектр и т. п.)
Любому специалисту по оптике, метрологии или электронике необходимо понимать суть этой проблемы, знать возможные способы ее решения и ограничения вычислительных методов. Целью этой работы было разработать программное средство для образовательных и научных целей, позволяющее:
- o моделировать и представлять графически аппаратные искажения;
- o исключать аппаратные искажения из моделированных функций и функций, полученных в результате реальных экспериментов;
- o демонстрировать влияние шумов на результат исключения аппаратных искажений;
- o предоставлять возможность уменьшения влияния шумов при помощи использования априорной информации и демонстрировать ограничения этого метода.
Веб-сервис имеет простой, понятный интерфейс и содержит много информации учебного характера, что позволяет использовать его в лабораторных работах по метрологии, спектроскопии, диагностике плазмы, а также в экспериментах, где требуется обработка изображений. Веб-сервис размещен по адресу: http://dims.karelia.ru/distort
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Мы рассматриваем только приборы, которые могут быть описаны как инвариантные линейные фильтры. Фактически любое средство для проведения динамических измерений соответствует этой модели в определенном диапазоне входных сигналов, более того исследователи избегают использования таких средств вне этого диапазона. Модель инвариантного линейного фильтра описывает функцию на выходе измерительного прибора, как свертку входного сигнала с аппаратной функцией прибора. Аппаратная функция (известная также как импульсный отклик или весовая функция) характеризует прибор и соответствует выходной функции прибора, если на его вход подать дельтаобразный сигнал.
Процесс нахождения исходной функции по выходной функции и аппаратной функции прибора, известный также под названием «редукция к идеальному инструменту», сводится к решению интегрального уравнения свертки, широко известный способ решения которого - использование теоремы о свертке [2]: Фурье-образ свертки пропорционален произведению Фурье-образов сворачиваемых функций. Очевидно, что исходная функция может быть вычислена, если выполнить обратное преобразование Фурье над отношением Фурье-образов выходной функции и аппаратной функции прибора. Однако в случае присутствия шумов в выходном сигнале, что неизбежно в реальных экспериментах, мы имеем дело с суммой «истинного» сигнала и шумов. При выполнении редукции к идеальному инструменту оказывается, что спектр шумов значительно шире спектра аппаратной функции и при делении они дают быстро осциллирующую функцию, перекрывающую информацию о входном сигнале. Самым простым способом уменьшения влияния шумов является ограничение диапазонов, в которых рассчитываются спектры (Фурье-образы). Чем меньше такой диапазон, тем меньшее влияние оказывают шумы на восстанавливаемый сигнал, но при этом ухудшается разрешающая способность прибора - будут потеряны тонкие детали исходной функции. Такое ограничение спектрального диапазона соответствует использованию априорной информации о «гладкости» входного сигнала.
Описываемый веб-сервис иллюстрирует не только возможности редукции к идеальному инструменту, но и ограничения, которые накладывают неизбежные шумы на возможность восстановления входной функции.
ОПИСАНИЕ ВЕБ-СЕРВИСА
Веб-сервис состоит из набора гипертекстовых документов, группы сценариев с интерфейсом CGI на языке PHP, базы данных под управлением СУБД MySQL и вычислительного ядра.
Гипертекстовые документы - это «лицо» веб-сервиса. Они содержат различную учебную и описательную информацию: правила работы с веб-сервисом, формат файлов данных, математические основы исключения аппаратных искажений и используемых алгоритмов (в частности, алгоритм быстрого преобразования Фурье).
Каждый набор данных для задачи исключения или моделирования аппаратных искажений представляется в виде запроса к веб-сервису. Информация запроса и результаты вычислений хранятся в базе данных. Интерфейс для формирования запросов и отображения результатов (т. е. помещение информации в базу данных и чтение ее оттуда) обеспечивается CGI-сценариями. Именно CGI-сценарий запускает вычислительное ядро, выполняющее прямое и обратное быстрое преобразование Фурье для одномерных и двумерных функций, а также манипулирующее Фурье-образами функций. Вычислительное ядро реализовано на Си и скомпилировано для конкретной платформы (ОС Linux).
Выполненные запросы могут храниться в базе данных определенное время и могут быть модифицированы в дальнейшем. При помощи механизма аутентификации по регистрационному имени и паролю веб-сервис разделяет запросы различных пользователей, так что пользователь может просматривать и редактировать только свои запросы. В связи с этим перед началом работы с веб-сервисом пользователю необходимо зарегистрироваться в системе. В настоящий момент регистрация бесплатна.
Веб-сервис позволяет задавать функции либо в виде файла с набором отсчетов, либо в аналитическом виде (только вещественные функции).
Файл данных для веб-сервиса представляет собой сжатый или несжатый текстовый файл, содержащий отсчеты функции. Ввиду больших объемов выборок, особенно в случае двумерных функций, допускается сжатие файла данных при помощи архиваторов PkZIP или GZIP.
Проблема исключения двумерных аппаратных искажений зачастую связана с обработкой изображений, поэтому в качестве файлов данных допускается использование графических файлов в формате PNG или JPEG. Однако следует отметить, что такие файлы значительно ухудшают точность расчетов, так как могут содержать не более 256 градаций амплитуды одного цвета.
В случае аналитического способа определения функции формула функции может состоять из различных арифметических, логических и побитовых операций Си-подобного языка, а также некоторых встроенных функций типа тригонометрических, гиперболических, логарифмических и др.
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО ИЗУЧЕНИЮ АППАРАТНЫХ ИСКАЖЕНИЙ
В ходе изучения проблемы аппаратных искажений по курсу «Метрология и измерительная техника» студентам предлагается следующая практическая работа.
Если студент в качестве входного сигнала некоторого прибора задает функцию состоящую из трех пиков, а в качестве аппаратной функции - гауссиан, ширина которого сравнима с расстоянием между пиками во входном сигнале, в результате моделирования аппаратных искажений получится функция, в которой исходные пики визуально неразделимы. Однако веб-сервис позволяет успешно восстановить входной сигнал. Если к выходному сигналу добавить шумы, то без априорной информации исключить аппаратные искажения не удается. Такой информацией является фильтр, ограничивающий спектральный диапазон.
В дальнейшем студент исследует влияние ширины аппаратной функции на результат исключения аппаратных искажений. Если аппаратная функция очень широкая, то осцилляции, обусловленные влиянием шумов, исчезают только при расчетах в очень узком спектральном диапазоне, при этом восстановленная функция оказывается больше похожей на выходную функцию, чем на исходную. В этом случае редукция к идеальному инструменту невозможна. На основании этого опыта студент должен сделать вывод, что неизбежные шумы накладывают объективные ограничения на разрешение приборов: чем лучше прибор, тем уже его аппаратная функция, тем мягче требования к уровню шумов.
Однако даже при полном отсутствии шумов ограниченность точности вычислений влияет на результат вычислений подобно шумам. Этот эффект особенно заметен в случае двумерного исключения аппаратных искажений.
Описываемый веб-сервис авторами используется также в лабораторных работах по оптике, спектроскопии и диагностике плазмы. Например, при определении атомной температуры в газовом разряде при низком давлении по доплеровскому уширению спектральных линий для исключения аппаратного контура интерферометра Фабри-Перо [3].
Исследования, описанные в данной работе, были проведены в рамках проекта PZ‑013‑02, поддерживаемого совместно Американским фондом гражданских исследований и развития (АФГИР), Министерством образования РФ и правительством Республики Карелия.
ССЫЛКИ
- Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных обратных задач. - М.: Наука, 1979. - С. 15-18.
- Смирнов В. И. Курс высшей математики. - Т. 4. - М.: Наука, 1974. - С. 158.
- Luizova L. A., Soloviev A. V. Computer Training Program for Elimination of Instrument Distortions // Proc. SPIE. Vol. 4588. - Singapore, 2002. - Pp. 440-447.