В наших предыдущих публикациях (см., например, [3]) в рамках формализма матрицы жесткости y-компонентной термодинамической системы (это матрица вторых производных термодинамического потенциала по экстенсивным переменным yi, i= 1,2, ...,ψ+n), расширенной за счет учета n внутренних структурных параметров, доказан ряд математических утверждений относительно размерности нулевого подпространства (и, следовательно, числа фаз и структурных состояний), генерированных плоскостями отражения. В данном сообщении решается вопрос о размерности нулевого подпространства расширенной матрицы жесткости термодинамического потенциала, инвариантного относительно поворота вокруг оси OZ на угол 2π/n.
Полученные результаты сформулированы в виде теоремы.
Теорема. Пусть термодинамический потенциал U(у1, у2,..., уψ+n; λ) и его частные производные по yi первого и второго порядков непрерывны по уi и λ. Здесь λ - параметр, возможно многомерный. Пусть также термодинамический потенциал инвариантен относительно поворота вокруг оси OZ, ориентированной вдоль уψ+n, на угол 2p/n. Предположим, что для некоторой последовательности λm →λo существует такая последовательность точек Pm (у1m, у2m,..., у(ψ+n)m;), что:
1) U(у1, у2,..., уψ+n; λ) имеет стационарную по 
точку Pm(у1m, у2m,..., у(ψ+n)m; lm), где (у1m, у2m,..., у(ψ+n-1)m) ≠ (0, 0, ...,0).
2) Матрица жесткости ||Uij (Pm)|| неотрицательно определена.
3) при m→∞ Pm(у1m, у2m,..., у(ψ+n)m; λm) → P0(0, 0,..., у(ψ+n)0; λ0).
Тогда: 1) P0 - стационарная точка U(у1, у2,..., уψ+n; λ0)
2) Матрица жесткости ||Uij (P0)|| неотрицательно определена.
3) Если обозначить ΩP0 - нулевое подпространство Uij (P0), т.е. подпространство, натянутое на собственные векторы, отвечающие собственному значению равному 0, то при n=2 dim ΩP0 ≥ 1, при n=3,4,6 dim ΩP0 ≥ 2.
Доказательство.
1. ∂U(Pm,λm)/∂yi = 0. (1)
При m→∞ (Pm, λm)→ (P0, λ0). Поэтому переходя в (1) к пределу и пользуясь предположением о непрерывности производных, получаем ∂U(P0, λ0)/∂yi= 0.
2. Матрица жесткости ||Uij (Pm, λm)|| неотрицательно определена. Согласно известной теореме [1, гл. Х, параграф 4] это означает, что все главные миноры этой матрицы неотрицательны. В силу предположенной непрерывности вторых производных, все главные миноры матрицы жесткости ||Uij (P0,. λ0)|| тоже будут неотрицательны, т.е. матрица ||Uij (P0, λ0)|| - неотрицательно определенная.
3. Пусть Рm´ точка, полученная поворотом точки Рm на угол 2π/n вокруг оси OZ. Проведем ось L через Рm и Рm´ (рис.).
Так как Рm и Рm´ - стационарные точки, то ∂U(Pm, λm)/∂L = ∂U(Pm´, λm)/∂L = 0 и по теореме Ролля, существует на оси точка Q, в которой ∂2U(Qm)/∂L2 = 0 (Q находится между Рm и Рm´). При m→∞ точка Qm → P0. Рассмотрим всевозможные единичные векторы (α1, ...,αψ+n-1, 0), выходящие из точки P0 и перпендикулярные оси OZ. Покажем, что среди них найдется такой вектор (α1, ...,αψ+n-10, 0), что d2U(ta10, ...,+tay+n-10,..., у(ψ+n)0 + t 0)/dt2 |t=0 = 0. Из неотрицательной определенности ||Uij (P0, λ0)|| сразу следует, что все такие производные ≥ 0. Если все они положительные, то из непрерывности вторых производных U и компактности окружности a12 +..., + ay+n-12 = 1 в Rψ+n-1 сразу следует, что для некоторого ε>0: d2U(y1 +ta1, ...,yψ+n-1 +taψ+n-1,..., у(ψ+n), λ)/dt2 |t=0 > ε для всех a12 +..., + aψ+n-12 = 1 и всех у12 + у22 +,...,+ (уψ+n 2 - у(ψ+n)02) < δ, |λ - λ0|< δ при некотором достаточно малом δ>0. Но при достаточно большом m: у1m2 + у2m2 +,...,+ (у(ψ+n)m 2 - у(ψ+n)02) < δ, |λm - λ0|< δ. А это противоречит тому, что ∂2U(Qm)/∂L2 = 0. Значит, существование нужного вектора (a10, ...,aψ+n-10, 0) доказано. По теореме о матрице жесткости [2] этот вектор (a10, ...,aψ+n-10, 0) - собственный вектор матрицы жесткости ||Uij(P0,. l0)||, отвечающий собственному значению 0. Ясно тогда, что вектор, полученный из этого вектора поворотом на угол 2p/n - тоже собственный вектор, отвечающий собственному значению 0. Рассмотрим два случая:
- n=2. Указанные два вектора противоположны. Размерность натянутого на них подпространства равна 1, т. е. при: n=2 dimΩP0 ≥ 1.
- n=3,4,6. Подпространство, натянутое на эти два вектора двумерно, т.е. dimΩP0 ≥2.
Рисунок 1. Графическое пояснение к доказательству теоремы.
Сечение, перпендикулярное оси вращения. Для определенности показан случай n=3.
В наших рассуждениях мы пользовались очевидным фактом, что множество всех собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению (в нашем случае нулю), дополненное вектором 0, образует линейное подпространство. Полученные результаты необходимы для интерпретации структурных превращений в кристаллах в рамках развиваемой авторами обобщенной термодинамики вещества.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука. 1988. 549с.
- Таланов В.М., Федий В.С. //Изв. Вузов. Химия и химическая технология. - 1997. - Т.40. вып.5. С.61.
- Таланов В.М., Федий В.С. //Изв. Вузов. Химия и химическая технология. - 1998. - Т.41. вып.6. С.91.