Векторные авторегрессионные модели (VAR), предложенные К. Симсом в 1980 г., являются классическим инструментом анализа динамики нескольких связанных друг с другом временных рядов. Преимущество классической модели VAR по сравнению с системами одновременных уравнений (СОУ) в структурной форме состоит в отсутствии необходимости априорных ограничений, гарантирующих идентификацию. Спецификация модели VAR(p) для m-мерного вектора переменных модели Yt имеет вид [1]:
(1)
где Ak – (m×m)-матрица, k = 1,..., p – величина лага, ut – m-мерный вектор с (m×m)-ковариационной матрицей Ω и нулевым математическим ожиданием, , δ – m-мерный вектор свободных членов. Система (1), с одной стороны, является обобщением авторегрессионных моделей для многомерных временных рядов (временные ряды должны быть стационарными), а с другой – представляет собой систему одновременных уравнений в ее приведенной форме (эндогенные переменные выражены в явном виде через предопределенные). Особенность спецификации модели VAR состоит в том, что вектор предопределенных переменных не включает экзогенные переменные.
При моделировании VAR(p)-процессов спецификацию модели (1) обобщают следующим образом [2]:
, (2)
где Ak – (m×m)-матрица коэффициентов, k = 1,..., p – величина лага, ut – m-мерный вектор процесса белого шума с (m×m)-ковариационной матрицей Ω, Dt – (M×1)-вектор столбец, включающий детерминированные регрессоры (которыми могут быть: константа, тренд, фиктивные переменные); C – (m×M)-матрица коэффициентов детерминированных регрессоров. Отсутствие автокорреляции вектора возмущений в модели VAR(p) значительно упрощает процедуру ее оценивания. Так как случайные возмущения уравнений представляют собой белый шум, который не коррелирует с прошлыми значениями уровней ряда, для оценки параметров модели VAR используется обычный метод наименьших квадратов (МНК), который последовательно применяется к каждому уравнению системы отдельно. Состоятельная оценка ковариационной матрицы случайных возмущений вычисляется через МНК-остатки отдельных уравнений, входящих в систему. В случае, если возмущение модели имеет нормальное распределение, для оценки параметров можно использовать условный метод максимального правдоподобия (ММП), алгоритм которого, как и алгоритм МНК, включен в современные эконометрические пакеты.
VAR(p)-модели в программной среде R
При построении моделей VAR(p) необходимо: 1) проверить временные ряды, включенные в вектор эндогенных переменных модели, на стационарность; 2) выбрать максимальную величину лага, учитываемую в спецификации. Для проверки на стационарность временного ряда широкое применение получил расширенный тест Дики–Фуллера ADF (Augmented Dickey–Fuller Test), реализованный во всех эконометрических пакетах. В тесте ADF предполагается, что нестационарность экономических данных объясняется их генерацией процессами случайного блуждания, случайного блуждания с дрейфом или комбинацией случайного блуждания с дрейфом и линейным временным трендом. В программной среде R расширенный тест Дики–Фуллера выполняется при помощи функции adf.test(x) пакета tseries с основным аргументом x – объект «временной ряд» [1].
Максимальная величина лага модели VAR(p) подбирается при помощи информационных критериев. Модель оценивается при различных значениях лага, и выбирается лаг, минимизирующий значение информационного критерия. Функция, реализующая процедуру выбора максимальной величины лага в программной среде, R – VARselect() пакета vars. Функция возвращает значения информационных критериев и ошибку прогноза для последовательного увеличения лага.
Для оценки модели VAR(p) и построения прогнозов в программной среде R используется функция VAR () пакета vars с основными параметрами: M – матрица, включающая значения эндогенных переменных модели; p – величина лага (по умолчанию равная единице), type – тип включения детерминированных регрессоров («const» – включение свободного члена, «trend» – включение тренда, «both» – включение свободного члена и тренда, «none» – модель без свободного члена и тренда), exogen – включение экзогенных переменных в спецификацию модели, ic – выбор информационного критерия для определения оптимальной величины максимального значения лага («AIC» – Акайке, «HQ» – Хеннона–Куина, «SC» – Шварца).
Прогнозирование VAR-модели выполняется после оценки ее параметров и диагностики предпосылок при помощи функции predict для объектов класса varest для периода упреждения, задаваемого параметром n.ahead, с вычислением доверительных интервалов, границы которых вычисляются для заданной доверительной вероятности (по умолчанию 0,95). Функция возвращает список из трех элементов – объектов класса varprd [2]:
fcst – список матриц, содержащих прогнозные значения, нижнюю и верхнюю границы в соответствии с выбранным доверительным интервалом, ci и его среднее значение; endog – матричный объект, содержащий эндогенные переменные; varest – объект, формируемый функцией VAR().
Графическое представление объектов класса varprd осуществляется при помощи функции fanchart(), которая позволяет пользователям задавать цвета и критические значения для построения доверительных интервалов.
VAR(p)-модель: оценка на основании эмпирических данных
Для построения модели VAR были использованы два макроэкономических показателя: расходы на конечное потребление (Y) и валовое накопление (X) в РФ. В табл. 1 приводятся годовые данные показателей за период с 1991 по 2019 гг. включительно (в млрд руб.) [3].
Таблица 1
Годовые значения макроэкономических показателей
Для проверки временных рядов на стационарность использовался расширенный тест Дики–Фуллера в программной среде R. Как и следовало ожидать, макроэкономические ряды Y и X нестационарны. Поэтому в качестве первичной обработки они были подвергнуты логарифмированию и вычислению разностей первого порядка. Преобразованные переменные y и x, практически показывающие процентное изменение динамики исходных показателей, являются стационарными и используются в качестве исходных переменных при построении модели VAR. Выбор величины лага модели VAR(p) выполнялся одновременно с тестированием предпосылок модели относительно случайного возмущения при помощи обобщенных тестов, применяемых для диагностики моделей многомерных временных рядов: теста Портманто (Portmanteau Test) на автокорреляцию, теста Бреуша–Годфри (Breusch–Godfrey) на гетероскедастичность, теста Харке–Бера (Jarque–Bera test) на нормальность распределения возмущений. Остатки модели VAR(1) оказались автокоррелированными, и к тому же стандартные ошибки модели VAR(1): sy = 0,198, sx = 0,248 больше стандартных ошибок модели VAR(2) sy = 0,098, sx = 0,204. Запишем спецификацию модели авторегрессии второго порядка VAR(2) с двумя переменными:![missing image file](/i/2021/3/BAB04_fmt.jpeg)
![missing image file](/i/2021/3/BAB05_fmt.jpeg)
![missing image file](/i/2021/3/BAB06_fmt.jpeg)
![missing image file](/i/2021/3/BAB07_fmt.jpeg)
![missing image file](/i/2021/3/BAB08_fmt.jpeg)
Таблица 2
Средние квадратические отклонения параметров модели
№ |
Год |
Y |
X |
№ |
Год |
Y |
X |
1 |
1991 |
0,9 |
0,5 |
16 |
2006 |
17809,7 |
5698,8 |
2 |
1992 |
9,2 |
6,6 |
17 |
2007 |
21968,6 |
8034,1 |
3 |
1993 |
106,8 |
46,3 |
18 |
2008 |
27543,5 |
10526,1 |
4 |
1994 |
422,1 |
156 |
19 |
2009 |
29269,6 |
7344,8 |
5 |
1995 |
1016,6 |
363,4 |
20 |
2010 |
32514,6 |
10472,7 |
6 |
1996 |
1435,9 |
475,2 |
21 |
2011 |
40883,8 |
14584,1 |
7 |
1997 |
1776,1 |
514,8 |
22 |
2012 |
47273,4 |
16721,9 |
8 |
1998 |
2003,8 |
393,5 |
23 |
2013 |
52433,6 |
16985 |
9 |
1999 |
3285,7 |
715,3 |
24 |
2014 |
56735,9 |
17695,5 |
10 |
2000 |
4476,8 |
1365,7 |
25 |
2015 |
58531,1 |
18402,8 |
11 |
2001 |
5886,8 |
1963,1 |
26 |
2016 |
61398,5 |
19773,4 |
12 |
2002 |
7484,1 |
2169,3 |
27 |
2017 |
65289,5 |
21681,2 |
13 |
2003 |
9058,7 |
2755,1 |
28 |
2018 |
70147,5 |
22996,2 |
14 |
2004 |
11477,9 |
3558,9 |
29 |
2019 |
75578,5 |
25427,6 |
15 |
2005 |
14438,2 |
4338,7 |
Параметры |
a10 |
a11 |
a12 |
b11 |
b12 |
ско |
|
|
|
|
|
Параметры |
a20 |
a21 |
a22 |
b21 |
b22 |
ско |
|
|
|
|
|
![missing image file](/i/2021/3/BAB19_fmt.jpeg)
![missing image file](/i/2021/3/BAB20_fmt.jpeg)
![missing image file](/i/2021/3/BAB21_fmt.jpeg)
![missing image file](/i/2021/3/BAB22_fmt.jpeg)
![missing image file](/i/2021/3/BAB23_fmt.jpeg)
![missing image file](/i/2021/3/BAB24_fmt.jpeg)