Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

EVALUATION OF GOLD-RESERVE RESERVES UNDER FRAMEWORK DYNAMIC MODEL FOR PANEL DATA

Babeshko L.O. 1 Orlova I.V. 1 Bronnikov E.V. 1
1 Financial University under the Government of the Russian Federation
The purpose of this study is to analyze and model the gold and foreign exchange reserves of eight countries: Germany, France, the USA, China, Russia, the Netherlands, Switzerland and Japan. As an econometric tool, the model apparatus for panel data is chosen, which allows to take into account the individual dynamics of objects, and increases the accuracy of estimates. Approbation of the models was carried out according to the panel data of gold reserves in eight countries for seventeen years from 2000 to 2016 in the software environment R: the replacement of missed observations with the Multivariate Imputation by Chained Equations package, the estimation of model parameters and testing of the character of the effects taking into account the hierarchical structures of econometric models for panel data – using the plm package. The lag values of the GNP of each country and the gold reserve are used as regressors of the model. In dynamic models for panel data, the problem of endogenous regressors is present irrespective of the nature of the individual effect. Therefore, to solve this problem, a method of instrumental variables that does not require external tools (the Hausman-Taylor approach) is applied in this paper. As a result of empirical testing, the hypothesis of a positive correlation of gold reserves from the selected regressors is confirmed.
panel data
pooled model
random effect model
fixed effect model
generalized Darbin-Watson test
endogenous
instrumental variables estimator

Целью исследования является анализ и моделирование золотовалютных резервов с привлечением аппарата моделей для панельных данных. Статистическая выборка панельных данных, представляющих динамику запасов золота восьми стран: Германии, Франции, США, Китая, России, Нидерландов, Швейцарии и Японии – за семнадцать лет с 2000 по 2016 г. была сформирована из открытых баз данных Всемирного банка [1] и Всемирного золотого совета [2]. В качестве регрессоров модели использован ВНП каждой страны и запас золота (лаговые переменные). При формировании панельных данных была решена задача замены пропущенных значений, которые требовали либо удаления, что существенно сужает исследовательские возможности, либо их замещения. Замена пропущенных наблюдений выполнена с помощью пакета Multivariate Imputation by Chained Equations, предоставляемым языком программирования R.

Страны, которые мы рассматриваем в нашем исследовании, можно разделить на две группы. В первую группу входят технически развитые страны. В этих странах золото широко используется в различных областях техники и промышленных отраслях, а также для изготовления ювелирных изделий. К этим странам относятся Япония, США и Германия. В этих странах золото выступает как индикатор развития высоких технологий. За рассматриваемый период в этих странах не наблюдается тенденций к росту запасов золота. Вторая группа – это страны, интенсивно наращивающие запасы золота. Это Россия и Китай (рис. 1–2). Россия активно скупает золото. Причиной этого могут быть санкции США и Евросоюза, которые вынуждают российское руководство относиться к резервам в долларах и евро с большой осторожностью. Китай также стремится увеличивать свои золотые резервы.

Многие аналитики считают, что Китай и Россия, скорее всего, будут увеличивать запасы золота для защиты от экономической неопределённости в будущем.

В настоящее время наблюдается ситуация, когда финансовые власти России продают долговые обязательства правительства США ускоренными темпами. При этом Центробанк России продолжает скупать золото у российских золотодобытчиков максимальными за последние 12 лет объёмами. Сейчас Россия находится на пятом месте среди стран – держателей золота, обогнав недавно Китай. Впереди находятся США, Германия, Италия и Франция [3].

Выбор эконометрического инструментария

Выборочные данные состоят из наблюдений однотипных объектов (8 стран) в течение небольшого периода времени (17 лет). Поэтому в качестве инструмента выбран аппарат моделей для панельных данных, позволяющий выполнять оценивание при небольшом объеме выборки для отдельных экономических единиц [4–6]. Одним из преимуществ аппарата панельных данных является способность учитывать индивидуальную динамику (динамику на «индивидуальном уровне» [7, 8]), что особенно важно при моделировании зависимости объёма золотых резервов от ВВП страны, в которой текущий объем существенно зависит от объема и ВВП предыдущего года. Основными регрессионными моделями, применяемыми к панельным данным, являются:

  • объединённая модель (Pooled model, Pool): спецификация не учитывает индивидуальные особенности объектов

bab01.wmf, bab02.wmf, (1)

где yit – зависимая переменная, xit – вектор-строка регрессоров (размерностью k), εit – случайное возмущение; i = 1,..., n, t = 1,..., T, n – число объектов (панелей), T – число наблюдений в рамках одной панели, μ = const – постоянное для всех объектов значение свободного члена – параметр «местоположения», bab03.wmf – вектор параметров «влияния», постоянный для всех объектов (панелей);

  • модель с фиксированными эффектами (fixed effect model, FE): гетерогенность объектов учитывается индивидуальными параметрами местоположения μi, bab04.wmf

bab05.wmf, bab06.wmf, (2)

  • модель со случайными эффектами (random effect model, RE): гетерогенность объектов учитывается независящей от времени специфической составляющей ошибки mi:

bab07.wmf, bab08.wmf, bab09.wmf,

bab10.wmf. (3)

В статических моделях (1)–(3) предполагается, что bab11.wmf, и оценки параметров получаются состоятельными и эффективными, при обоснованном выборе характера эффектов.

bab1.wmf

Рис. 1. Динамика запасов золота в России

bab2.wmf

Рис. 2. Динамика запасов золота в Китае

Результаты оценивания

Формальное применение аппарата моделей для панельных данных приводит к следующему результату:

Объединенная модель:

bab12.wmf,

bab13.wmf, (4)

bab14.wmf, bab15.wmf – число панелей, T = 16 – число наблюдений в рамках одной панели, nT = 128 – объём панельных данных. В скобках под оценками параметров приводятся их стандартные ошибки, RSS (Residuals Sum of Squares) – сумма квадратов остатков.

Модель с фиксированными эффектами:

bab16.wmf, bab17.wmf,

bab18.wmf. (5)

В оцененной модели (5) приводятся оценки параметров влияния (общие для всех панелей). Для получения их состоятельных оценок, в модели с фиксированными эффектами, используется процедура раздельного оценивания параметров влияния и местоположения. Для спецификации в матричном виде [9, 10]

bab19.wmf, (6)

где bab20.wmf – вектор значений эндогенных переменных, центрированных по индивидуальным средним (средним по каждой панели), bab21.wmf – матрица регрессоров, центрированных по индивидуальным средним, bab22.wmf – оператор внутригруппового преобразования (центрирования по индивидуальным средним),

bab23.wmf – матрица фиктивных переменных, учитывающая гетерогенность панельных данных в моделях с фиксированным эффектом,

bab24.wmf, (7)

– вектор МНК-оценок параметров влияния. Оценки параметров местоположения вычисляются по оценкам параметров влияния:

bab25.wmf, (8)

где

bab26.wmf

– оператор формирования вектора индивидуальных средних. В табл. 1 приводятся оценки параметров местоположения, полученные в рамках раздельной процедуры оценивания (5)–(8).

Модель со случайными эффектами:

bab29.wmf,

bab30.wmf, bab31.wmf. (9)

Минимальную сумму квадратов остатков обеспечивает модель с фиксированными эффектами. Адекватность этой модели подтверждается и тестированием характера гетерогенных эффектов. F-тест (bab32.wmf, функция в программной среде R pFtest()) [11]:

bab33.wmf,

p-value = 2,708e-11,

где k – число параметров влияния, RSSpool – сумма квадратов остатков объединённой модели, RSSFE – сумма квадратов остатков модели с фиксированными эффектами. Тест множителей Лагранжа (тестирование Pooled-модели против модели RE, bab34.wmf, (функция в программной среде R plmtest()):

bab35.wmf,

p-value = 0,146,

где e – вектор-столбец остатков в объединённой модели, D – матрица фиктивных переменных, не выявил значимых случайных эффектов для различных стран. Тест Хаусмана (тестирование модели RE против модели FE, bab36.wmf, (функция в программной среде R phtest()):

bab37.wmf

= 84,733 > bab38.wmf,

где bab39.wmf – оценка автоковариационной матрицы вектора bab40.wmf, отклоняет нулевую гипотезу об адекватности модели со случайными эффектами.

Тестирование наличия автокорреляции в моделях для панельных данных может быть выполнено при помощи обобщенной статистики Дарбина – Уотсона в рамках модели с фиксированными эффектами, так как оценки параметров модели с FE состоятельны и в случае адекватности модели со случайными эффектами [7, 12]:

bab41.wmf = 1,203,

p-value = 2.212e-06. (10)

Так как области неопределенности обобщенного теста являются малыми и изменения критических значений, в зависимости от параметров (n, T, K) незначительные, то полученный результат показывает наличие автокорреляции случайного возмущения в модели FE. Одной из причин автокорреляции является ошибка спецификации модели. К сожалению, в моделях (4), (5), (6) присутствует проблема эндогенности регрессоров, и применение «статического» аппарата моделей для панельных данных приводит к смещённым и несостоятельным оценкам, поскольку лаговое значение эндогенной переменной bab42.wmf коррелирует с индивидуальным (фиксированным или случайным) эффектом μi, т.е. ни внутригрупповое (6), ни межгрупповое преобразования переменных не исключают проблему эндогенности.

Спецификация динамической модели, с учетом индивидуального эффекта, может быть записана следующим образом:

bab43.wmf, (11)

где yit – текущее значение объёмов золота в золотовалютных резервах i-й страны, bab44.wmf – лаговое значение объёмов золота в золотовалютных резервах i-й страны, xit – текущее значение ВВП страны. Для корректировки моделей с эндогенными регрессорами используется метод инструментальных переменных МИП [13, 14]. Для выбора инструмента для лагового регрессора bab45.wmf выполним следующие преобразования модели (11). Избавимся от индивидуальных эффектов путем перехода к первым разностям переменных

bab46.wmf

bab47.wmf. (12)

Из спецификации (12) следует, что

bab48.wmf,

bab49.wmf,

т.е. лаговая переменная bab50.wmf может быть выбрана в качестве инструментальной переменной для регрессора bab51.wmf. Регрессор bab52.wmf – экзогенный, поэтому может быть использован инструментом для самого себя. МИП-оценка параметров модели (12) в матричной форме имеет вид

bab53.wmf, (13)

где Z – матрица инструментальных переменных, X – матрица регрессоров, Y – вектор значений эндогенной переменной. Структура матриц МИП-оценки (13) для модели (12) представлена в табл. 2.

Таблица 1

Оценки параметров местоположения модели FE

Номер страны i

Страна

bab27.wmf

bab28.wmf

t-статистика

1

Китай

51,658

28,472

1,814

2

Германия

–264,348

11,694

–2,367

3

США

–431,583

241,356

–1,788

4

Россия

21,402

26,746

0,800

5

Япония

–166,763

35,976

–4,635

6

Франция

–267,497

91,898

–2,911

7

Нидерланды

–222,088

49,561

–4,481

8

Швейцария

–408,438

78,278

–5,141

 

Таблица 2

Структура матриц МИП-оценки

Z – bab54.wmf – матрица

инструментальных переменных

X – bab55.wmf – матрица

регрессоров

Y – вектор эндогенных

переменных

Z1

Z2

X1

X2

Y

bab56.wmf

bab57.wmf

bab58.wmf

bab59.wmf

bab60.wmf

bab61.wmf, bab62.wmf

 

Получена следующая МИП-оценка (13) модели (12):

bab63.wmf, bab64.wmf, bab65.wmf, (14)

bab66.wmf, bab67.wmf. (15)

Обобщенная статистика Дарбина – Уотсона (10): DWp = 2,15, показывает отсутствие автокорреляции остатков в модели (14) с МИП-оценкой (15).

Использование инструментов Z в оценке (13) оправдано только в случае корреляции регрессоров с возмущениями модели. Если корреляция отсутствует (bab68.wmf), то МНК-оценки точнее МИП-оценок. Формальный тест, позволяющий определять, какой метод оценивания следует применять, это тест Хаусмана, основанный на сравнении оценок параметров в основной и альтернативной моделях. Статистика теста имеет вид квадратичной формы [15]:

bab69.wmf, (16)

где m – число инструментов, bab70.wmf – оценка автоковариационной матрицы вектора bab71.wmf, которая в рамках нулевой гипотезы принимает вид

bab72.wmf

bab73.wmf,

так как

bab74.wmfbab75.wmf,

bab76.wmfbab77.wmf.

Таблица 3

Оценка автоковариационных матриц статистики Хаусмана

МНК-оценка

МИП-оценка

bab85.wmf

bab86.wmfbab87.wmf

0,0054

0,0000606

0,00000372

–0,00000157

0,0000606

0,00000588

–0,00000157

0,00000587

 

При справедливости bab78.wmf,

bab79.wmf

Используя в качестве оценки дисперсии возмущения bab81.wmf оценку, вычисленную по остаткам обычного МНК – bab82.wmf (МНК-оценка более устойчива к слабым инструментам), вычислим оценки автоковариационных матриц bab83.wmf, bab84.wmf. Результаты оценивания приведены в табл. 3.

Результат тестирования: bab88.wmfbab89.wmf, следовательно, для исследуемых панельных данных можно использовать обычный МНК для спецификации (14), который дает более точные результаты, чем МИП:

bab90.wmf, bab91.wmf. (17)

Построенная модель может быть улучшена посредством увеличения рассматриваемого временного периода и расширения как перечня наблюдаемых объектов (стран), так и перечня влияющих факторов. Периодическое тестирование на обновленных панельных данных решает задачи актуализации построенных моделей и возможности построения более точных прогнозов.