Экономико-математические модели предприятия, отвечающие неоклассической концепции рыночной эффективности, достаточно подробно представлены в работах зарубежных [1, 2] и отечественных [3–5] авторов. Казалось бы, основные вопросы теории моделирования и оценки эффективности производственной корпорации решены (достаточно сослаться на фундаментальные работы Г.Б. Клейнера [3]). Однако интерес к экономико-математическим приложениям неоклассической микроэкономики с годами не ослабевает. В подтверждение этого тезиса достаточно указать на приведенные в списке литературы работы отечественных авторов, в которых затрагиваются те или другие теоретические аспекты выбора рыночной стратегии предприятия. В ряду теоретически значимых определенный интерес представляет проблематика сравнительной оценки эффективности моно- и многопродуктовой фирм, функционирующих в условиях конкурентных товарных и финансовых рынков.
«Неоклассическая» модель монопродуктовой фирмы и концепция эффективности затрат для условий конкурентных товарных и материальных рынков
В неоклассической микроэкономике фирма является базовой единицей анализа эффективности операционной и других видов рыночной деятельности производственной корпорации и рентабельности привлекаемого в финансирование переменных и постоянных активов собственного (акционерного) и заемного капитала. В основе неоклассической теории производства лежит концепция предельной отдачи производственных активов – элементов рабочего капитала предприятия и отдельных факторов (производственных ингредиентов), объясняющая рыночные процессы исключительно с позиции внешнего взаимодействия агентов рынка безотносительно к внутрикорпоративным факторам и мотивам деятельности менеджеров, собственников и инвесторов. В неоклассической теории предприятие – «черный ящик», описываемый производственной функцией (представленной в аналитической, табличной, сетевой и других формах), связывающей потоки производственных факторов-затрат переменных и постоянных активов на входе и товарные потоки – на выходе.
Фундаментальная отправная точка неоклассического подхода к анализу эффективности производства – функциональная зависимость, существующая между производственными издержками (в дальнейшем под издержками (производственными и внепроизводственными) будем понимать затраты переменных и постоянных ресурсов, не детализированные по объектам производства и по местам возникновения [6]) и конечным продуктом за анализируемый период. Выведем эту зависимость, опираясь на указанные базисные положения неоклассической концепции производства. Рассмотрим модель «выпуск – затраты» для монопродуктовой фирмы в изложении одного из авторов [7–9].
Пусть вектор 
определяет набор производственных факторов (ПФ), агрегированных в группы по технологической принадлежности, причем j-я компонента вектора 
характеризует объем ПФ j-й группы, оцениваемый в натуральном выражении. Если pj – рыночная цена единицы j-го ПФ, то полная стоимость используемого набора ПФ совпадает с величиной 
.
Если производственная функция (функция выпуска) 
неубывающая в технологической области предприятия (области возможных наборов ПФ), а её полный образ для каждого объема выпуска Q аппроксимируется гладкой изоквантой (достаточно первого порядка гладкости), то аналитическая зависимость между полными затратами и объемом производства монопродукта может быть получена как решение следующей оптимизационной задачи:
, 
,
, 
, (1)
где D – технологическая область предприятия; Q – заданный объем выпуска (если функция выпуска оценивается величиной выпуска в стоимостном выражении, то Q – валовый доход).
Составим функцию Лагранжа для задачи (1):
и приравняем к нулю частные производные по переменным xj, λ. Получим систему уравнений для определения решения 
задачи (1):
. (2)
Так как заданному объему выпуска при сделанных предположениях относительно функции производства в технологической области предприятия соответствует только одна изокванта, можно сделать вывод о том, что решение задачи (1) для каждого объема производства Q единственное, т.е. 
задает зависимость между объемом производства Q и минимальным по стоимости набором 
ПФ. Обозначим функцию полных затрат c(Q):
. (3)
Так, в силу (2) 
, то 
и, таким образом, c(Q) можно представить в виде
. (4)
Сумма в правой части (4) совпадает с выражением для суммарной эластичности функции производства 
в точке 
.
С учетом (4) запишем аналитическую зависимость между функцией издержек и функцией выпуска:
. (5)
Так как в соответствии с (2), 
, то
. (6)
Полученное соотношение, связывающее величину производственных издержек в модели монопродуктового производства с величиной выпуска, позволяет получить следующие количественные характеристики функции полных затрат:
средние затраты:
, (7)
предельные затраты: 
:
(8)
(соотношение (8) получается из соотношения (3), если дополнительно учесть, что 
).
Таким образом,
. (9)
Соотношение (9) непосредственно указывает на экономическое содержание множителя Лагранжа оптимизационной задачи (1): λ0 совпадает с предельными издержками для заданного объема выпуска Q.
С учетом соотношения (9) перепишем формулу (7) в следующем виде:
. (10)
Последнее соотношение позволяет получить аналитическую зависимость для показателя эластичности полных затрат по выпуску:
. (11)
Таким образом, в модели монопродуктовой фирмы эластичность полных затрат по выпуску – величина, обратная суммарной эластичности выпуска по производственным факторам.
Широко известно и в ряде научных публикаций (например, [1, 4, 7]) отмечен факт снижения отдачи переменного ресурса с ростом объема Q выпуска для предприятий с серийным характером производства. В этом случае масштаб производства монопродуктовой фирмы характеризуется соотношением 
для возможных наборов ПФ из технологической области D. Эластичность затрат переменного ресурса для такого производства больше 1 (издержки растут быстрее, чем выпуск).
Этот вывод – отправная точка неоклассической теории эффективности монопродуктового производства, убедительно демонстрирует факт существенной зависимости эффективности производственной деятельности предприятия от объемов потребляемых постоянных и переменных ресурсов и уровня цен товарных рынков и рынков производственных факторов.
Проблематика декомпозиции и представления многопродуктовой фирмы как совокупности монопродуктовых
Выше отмечено, что идея представить многопродуктовое предприятие как некоторую взаимосвязанную применяемыми технологиями совокупность однопродуктовых предприятий получила широкое распространение и была взята «на вооружение» многими авторами. Сошлемся на наиболее цитируемые в этой области теоретических исследований экономики и управления предприятием работы [2, 10]. Наиболее простой случай многопродуктового предприятия связан с набором технологий, обеспечивающих выпуск товарной продукции в заданном ассортиментном соотношении. Исследования зависимости «выпуск – затраты» для такого предприятия, как правило, инициируются поиском точки безубыточного производства и оценкой риска убытков в случае резких колебаний рыночной конъюнктуры.
Проблематика определения точки безубыточности для монопродуктового, но многоассортиментного предприятия (например, предприятия агросферы, лесопереработки и др.) рассмотрена в работе авторов [7]. В ряду выпускаемых таким предприятием продуктов 
выделяют базовый xб и к нему «привязывают» объемы продукции другой номенклатуры с использованием основного соотношения многоассортиментного предприятия:
(12)
где xi, xб – объемы производства соответственно i-го 
и базового изделий; di, dб – доли в общем объеме выпускаемой продукции (в натуральном выражении) соответственно i-го и базового изделий.
На основе следующих соотношений определим минимальный объем многоассортиментного производства, «привязанный» к базовому изделию:
(13)
(14)
где PC – условно-постоянные затраты многоассортиментного предприятия.
Рассмотрим также модель, предложенную Л.Ф. Васильевой и М.В. Маничкиной [6], основанную на данных о доле выпуска каждого вида продукции в общем объеме производства.
Если для случая с одним продуктом в расчетах критического объема производства учитываются удельные переменные затраты и маржинальный доход, то для многопродуктового случая авторы предлагают оценить общую точку безубыточности с использованием средневзвешенного удельного маржинального дохода, а затем на основе данных о долях выпуска определить критические объемы производства для каждого вида продукции:
(15)
где МПср – средневзвешенный удельный маржинальный доход, руб.; МПед – маржинальный доход на ед. продукции, руб.; ОП – объем производства, ед.
Точка безубыточности в работе [6] рассчитывается по формуле:
(16)
где ТБобщ – «общая» точка безубыточности, шт.; РС – величина условно-постоянных затрат, руб.; МПср – удельный средневзвешенный маржинальный доход, руб.
Далее частные точки безубыточности находим путем умножения общей точки безубыточности на долю оцениваемого вида продукции в общем объеме продаж:
ТБед = ОПед %*ТБобщ, (17)
где ТБед – «частная» точка безубыточности для оцениваемого продукта, шт.; ОПед, % – удельный вес оцениваемого продукта в общем объеме реализации, шт.; ТБобщ – «общая» точка безубыточности, шт.
Рассмотренные выше модели оценки точки безубыточности для случая многопродуктового производства в целом не отражают его особенности, одной из которых является способ учета специфического риска конкретного продукта. Корректный учет риска возможен для всего портфеля продуктов и в условиях достоверной информации о рыночных спросе и ценах.
Для иллюстрации возможного способа учета риска в моделях многономенклатурного предприятия приведем пример из работы авторов [7], в которой представлен следующий вариант:
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
где VD – значение валового дохода; I – число изделий производственной программы; i, i1, i2 – индексы изделий производственной программы; 
, 
– средние за наблюдаемый период соответственно рыночная цена и удельные переменные затраты на производство i-го изделия; 
– планируемый удельный маржинальный доход реализации i-го изделия; K – число технологических операций, учитываемых в модели; trik – технологическая трудоемкость производства i-го изделия на k-й операции; Trk – эффективное время работы оборудования на k-й операции; OK – оборотный капитал, авансируемый в покрытие переменных затрат производственной деятельности; 
– минимальный (технологически обоснованный) объем производства i-го изделия; Spi – рыночный спрос на i-е изделие; δi – дисперсия маржинального дохода продукции i-го вида за период наблюдения; cov(i1; i2) – ковариация доходностей продукции с индексами i1 и i2 за период наблюдения; 
– пороговое значение риска производственной программы.
Экзогенными параметрами модели (18)–(23) являются параметры, определяемые рыночной конъюнктурой: 
, 
, Spi. Эндогенными (управляемыми) параметрами являются: 
, OK, 
. Для фиксированных значений экзогенных параметров решение оптимизационной задачи (3)–(8) – вектор 
– позволяет определить финансовый результат производственной сферы предприятия как значение критерия 
. Точка безубыточности многономенклатурного производства определяется из условия
. (24)
Для многономенклатурного предприятия соответствующую критическому уровню производства производственную программу 
авторами предложено определить как решение задачи (18)–(23) с критерием, значение которого удовлетворяет условию (24).
Негативной особенностью моделей декомпозиции многопродуктовой фирмы на ряд монопродуктовых (в частности, и модели (18)–(23) является «точечный» характер используемых в модели многопродуктового предприятия оценок ресурсоемкости изделий производственной программы и предположение о аддитивном (конкретно, линейном) характере совокупных производственных затрат, Это предположение не в полной мере соответствует даже случаю серийного производства и абсолютно не отражает особенности мелкосерийного и поточного производства, в условиях которых разнородная продукция критично отличается временем и технологиями обработки [2, 5, 10]. И, наконец, такой подход не отражает основную особенность многопродуктовой фирмы – зависимость затрат условно-постоянных активов от интенсивности конкретных технологических процессов в условиях многовариантности производственной программы и комбинаций (вариантов) ее реализации. Эта особенность многопродуктовой фирмы отмечена в работах Г.Б. Клейнера, А.В. Мищенко и М.А. Халикова [3, 4, 11]. В работе [4] предложен возможный подход к моделированию многопродуктовой фирмы. Рассмотрим его более подробно.
«Неоклассическая» модель многопродуктового предприятия и оценка эффективности затрат многономенклатурного производства
Для формального описания модели многономенклатурного предприятия введем следующие обозначения параметров и переменных:
i(
) – индекс продукта;
xi – планируемый объем выпуска i-ого продукта (в натуральном выражении);
J(
) – индекс актива, учитываемого в калькуляции прямых переменных затрат операционной деятельности;
wi – цена единицы j-го переменного актива, учитываемая в калькуляции прямых переменных затрат операционной деятельности текущего производственно-коммерческого цикла;
pi – цена реализации i-го продукта по завершении текущего производственно-коммерческого цикла;
yij – объем j-го переменного актива, предназначенного для производства i-го продукта;
fi – одно – однозначное отображение в первом ортанте I + J – мерного евклидова пространства (производственная функция) множества комбинаций возможных (в рамках рассматриваемого производственно – технологического процесса) наборов {yij} переменных активов в объемы {xi} производимых продуктов:
хi = 
, (25)
– индекс основного (внеоборотного) актива, учитываемого в калькуляции условно-постоянных затрат операционной деятельности пропорционально объемам и «технологической» сложности включаемых в производственную программу предприятия продуктов;
vk – цена реновации или амортизируемая стоимость единицы k-го постоянного актива, учитываемая в калькуляции условно-постоянных затрат операционной деятельности текущего производственно-коммерческого цикла;
φk – одно – однозначное отображение в I-мерном евклидовом пространстве (функция условно-постоянных затрат) множества допустимых в данных производственно-технологических условиях производственных программ {xi} в объемы zk k-ого постоянного актива (в натуральных единицах производственной мощности):
), (26)
Zk – величина k-го основного (внеоборотного) актива учитываемая в производственно-технологических отношениях операционной сферы предприятия (в натуральных единицах производственной мощности);
– максимальный объем реализации – ограничение на величину рыночного спроса на i-й продукт при цене реализации pi (
);
OA – ликвидные оборотные активы (формируемые на основе собственного капитала и краткосрочных заимствований), направляемые в покрытие прямых переменных затрат операционной деятельности текущего производственно-коммерческого цикла;
Fn – фиксированные затраты операционной сферы предприятия, включая страховой резерв.
Если не учитывать особенности и специфические производственно-технологические условия многопродуктовой фирмы (последовательность запуска изделий производственной программы, интенсивность технологических переходов, частоты переналадок оборудования и прочее), то статическая (для выбранного производственно-коммерческого цикла) упрощенная (без учета рыночного риска и риска структуры капитала) модель предприятия может быть представлена следующими соотношениями:
(27)
(25')
, (28)
(26')
(29)
(30)
(31)
Приведем некоторые комментарии к модели (27), (25’), (28), (26’), (29)–(31).
Существенное отличие моделей одно- и многопродуктовой фирм заключается в наличии у последней ограничений (25’), (26’), определяющих зависимость объемов соответственно выпускаемой продукции и условно-постоянных затрат от планируемого распределения переменных активов по изделиям производственной программы. Для многопродуктовой фирмы в условиях производственно-технологических отличий выпускаемых продуктов вектора удельных переменных затрат 
уникальные (отличные для неоднородных по технологии изготовления продуктов многопрофильной фирмы), что гарантирует одно – однозначность производственных функций {fi} и функций условно-постоянных затрат {φk} (
).
Если в качестве исходного рассматривать вектор 
планируемой производственной программы, то на основе обратной зависимости 
можно восстановить элементы прямоугольной матрицы прямых переменных затрат 
(
, 
) и использовать их далее в формальной записи критерия (27). В приведенной модели выбран именно этот подход, который условно назовем «традиционным».
Большой интерес, однако, представляет двойственная к традиционной модель оптимального распределения переменных активов по планируемым к выпуску продуктам, которая позволяет рассчитать и далее в задачах управления операционной сферой предприятия эффективно использовать двойственные оценки ограничений (29)–(31).
Рассмотрим эту задачу при дополнительном предположении о непрерывной дифференцируемости функций fi и φk (
, 
). Составим функцию Лагранжа для модели (20), (18’), (21), (19’), (22)–(24), которая в условиях сделанных предположений представляет собой модель нелинейного выпуклого программирования:
(32)
В силу монотонности функций fi и φk (
, 
) функционал (27) рассматриваемой модели является выпуклой непрерывно дифференцируемой функцией, что обеспечивает выполнимость условий теоремы Куна – Таккера о наличии седловой точки функции Лагранжа (32), которая может быть определена на основе соотношений (33)–(39):
(33)
, (34)
, (35)
, (36)
, (37)
(38)
. (39)
Если набор 
является решением системы уравнений (33)–(39), то он позволяет, во-первых, определить оптимальную по критерию (27) программу многопродуктовой фирмы 
, а во-вторых, двойственные оценки 
ограничений (28)–(30) (соответственно на: рыночный спрос, величины внеоборотного и оборотного капитала операционной сферы предприятия).
Например, эффективность (рентабельность) переменных активов в точке оптимального выпуска можно рассчитать на основе следующих выражений.
Пусть Δyij – прирост j-го переменного актива, направляемый в производство i-го продукта. Переходя к бесконечно малым величинам и заменяя Δyij на dyij, получим следующие выражения для приростов dx (вектора продуктов), dR (валового дохода в операционной сфере) и dc (валовых прямых переменных затрат):
(40)
(41)
(42)
Для расчета рентабельности переменных активов в точке оптимального выпуска 
используем следующее выражение:
(43)
Заключение
В работе приведены описания авторских моделей одно- и многопродуктового предприятия. Авторы старались выдержать «неоклассический» подход при описании «вход-выходных» параметров модели. Важным результатом исследования особенностей моделирования одно- и многопродуктовой фирмы является вывод о существенном влиянии номенклатурного состава производственной программы на зависимость динамики «затраты – выпуск» и на рентабельность как полного рабочего капитала, так и отдельно его переменной и условно-постоянной составляющих. Этот результат является новым в неоклассической теории фирмы и в определенной степени дополняет результаты известных работ Р. Солоу [12] и Г.Б. Клейнера [3].