Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,087

NUMERICAL AND ANALYTICAL MODELING OF CONICAL SWIRLING FLOWS ADJACENT TO THE «EYE» OF A TYPHOON

Deryabin S.L. 1 Mezentsev A.V. 1
1 Ural State University of Railway Transport
Исследуются конические и цилиндрические течения идеального газа, примыкающие к области покоя. В качестве модели выбирается система газовой динамики, учитывающая воздействие сил тяжести и Кориолиса. Аналитически в виде сходящихся рядов моделируются восходящие закрученные потоки в окрестности стационарной конической контактной поверхности. Для определения коэффициентов этих рядов выписываются системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае цилиндрической контактной поверхности удалось проинтегрировать дифференциальные уравнения для определения нулевых и первых коэффициентов ряда. По полученным формулам проводились расчеты газодинамических параметров и траекторий движения частиц газа. Для расчетов использовались безразмерные величины, соответствующие тропическому циклону средней интенсивности. В восходящем закрученном потоке с приведенными значениями входных констант частица газа, сделав полный оборот по цилиндрической контактной поверхности с размерным значением ее радиуса 3650 м, поднялась на высоту 3462 м.
Conical and cylindrical flows of an ideal gas adjacent to the rest region are investigated. As a model, a gas dynamics system is chosen that takes into account the effects of gravity and Coriolis forces. Analytically, in the form of convergent series, ascending swirling flows are simulated in the vicinity of a stationary conical contact surface. To determine the coefficients of these series, systems of ordinary differential equations are written out. In the case of a cylindrical contact surface, it was possible to integrate differential equations to determine the zero and first coefficients of the series. Based on the formulas obtained, the gas dynamic parameters and trajectories of the gas particle motion were calculated. For the calculations, dimensionless quantities corresponding to a tropical cyclone of medium intensity were used. In an upward swirling flow with the given values ​​of the input constants, the gas particle, having made a complete revolution along the cylindrical contact surface with a dimensional value of its radius of 3650 m, rose to a height of 3462 m.
mathematical modeling
rising swirling flows
tornado
stationary three-dimensional flow
ideal polytropic gas
conical contact surface
the force of gravity and Coriolis
the equations of gas dynamics
convergent series

Задачи математического моделирования течений в восходящих закрученных потоках типа торнадо и тропический циклон при учете действия сил тяжести и Кориолиса рассматривались ранее [1, 2]. В работах [3, 4] рассматривались течения политропного газа в некоторой окрестности свободной поверхности, разделяющей газ и вакуум. Показано, что в случае примыкания газа к вакууму закрутка газа происходит против часовой стрелки в северном полушарии. Более подробная библиография приведена в работе [5]. В [5] рассматривалось течение газа в некоторой окрестности вертикальной контактной характеристики кратности два, разделяющей восходящий закрученный поток и покоящийся газ. В данной работе продолжаются исследования [5] для конической контактной поверхности.

Постановка задачи

Рассматриваются стационарные изэнтропические течения политропного газа со следующими искомыми газодинамическими параметрами: der01.wmf – скорость звука в газе; u – радиальная составляющая вектора скорости газа; v – тангенциальная составляющая вектора скорости газа; w – вертикальная составляющая вектора скорости газа. Здесь ρ – плотность газа, γ – показатель политропы газа. Газодинамические параметры зависят от независимых переменных: r – полярного радиуса в плоскости xOy; φ – полярного угла; z – третьей пространственной координаты. Значение переменной z отсчитывается от поверхности Земли.

В качестве математической модели, описывающей стационарные конические течения политропного газа, выбирается система газовой динамики, учитывающая воздействие сил тяжести и Кориолиса [6]:

der03.wmf (1)

где der04.wmf, der05.wmf, der06.wmf – модуль угловой скорости вращения Земли, ψ – широта точки der07.wmf на поверхности Земли, g = const > 0 – ускорение свободного падения.

Построение и исследование течения будем проводить в окрестности точки der08.wmf, r00, φ00, z00 = const > 0, k ≥ 0.

Будем искать конические характеристики этой системы в виде

der09.wmf

В системе (1) введем новую независимую переменную der10.wmf, не меняя переменных z, φ [3, 7]. При этой замене переменных система (1) переходит в следующую систему:

der11.wmf (2)

Поставим начально-краевую задачу на характеристике η = 0 кратности 2.

Как и в [5], функция c0 имеет вид der12.wmf Сформулируем следующие начальные условия на η = 0:

(3)

der13.wmf (4)

Здесь c00 – константа, при помощи которой задается значение скорости звука покоящегося газа при z = 0, der14.wmf.

Для получения единственного решения задачи (2), (4) зададим два дополнительных условия

der15.wmf (5)

с аналитическими в окрестности точки (η = 0, φ= φ00, z = z00) функциями der16.wmf, der17.wmf, которые удовлетворяют условиям согласования

der18.wmf (6)

Далее будем предполагать, что der19.wmf, der20.wmf.

Построение аналитического решения задачи (2), (4), (5)

Решение задачи (2), (4), (5) будем строить в виде ряда по степеням η.

der21.wmf (7)

В системе (5) положим η = 0 и при обозначениях

der22.wmf

получим следующие четыре соотношения:

der23.wmf

der24.wmf (8)

Из первого и второго уравнения системы (8) определяется коэффициент ряда (7) c1 и получается алгебраическое соотношение между коэффициентами u1, w1.

Третье и четвертое уравнения системы (8) являются необходимыми условиями разрешимости характеристической задачи Коши [7]. Поэтому функции v0 и w0, должны удовлетворять этим уравнениям. Из равенства der25.wmf найдем производные

der26.wmf.

Подставляя полученные производные в третье и четвертое уравнение системы (8), получим систему уравнений

der27.wmf (9)

С начальными условиями, полученными из условий (6),

der28.wmf (10)

Так же как и в [3, 5], по методике, описанной в [8], перейдем от системы с частными производными (9) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь τ – характеристический параметр.

der29.wmf (11)

Для системы (11) получаются следующие начальные условия

der30.wmf (12)

Умножим третье уравнение системы (11) на der31.wmf, а четвертое уравнение на w0 и, складывая их, получим следующее дифференциальное уравнение

der32.wmf (13)

Уравнение (13) имеет общее решение, удовлетворяющее следующему равенству:

der33.wmf (14)

Следовательно, на контактной поверхности der34.wmf вдоль бихарактеристики системы (2) для конических течений, как и в [5], имеет место

Закон сохранения. Если уменьшается (увеличивается) модуль вертикальной составляющей вектора скорости газа, то увеличивается (уменьшается) модуль тангенсальной составляющей вектора скорости газа в соответствии с формулой (14).

Интегрируя второе уравнение системы (11), имеем

der35.wmf

В отличие от [5] третье и четвертое уравнение системы (11) проинтегрировать не удалось. Тем не менее задача (11), (12) имеет единственное аналитическое решение и далее будем считать известными функции der36.wmf, der37.wmf, der38.wmf и, следовательно, der39.wmf – нулевые коэффициенты ряда (7).

Дифференцируя систему (2) n раз по η и положив η = 0, после преобразований будем иметь

der40.wmf

der41.wmf

der42.wmf

der43.wmf

der44.wmf (15)

der45.wmf

der46.wmf

Здесь der47.wmf – функции, известным образом зависящие от ранее найденных коэффициентов ряда (7).

Вводя в третьем и четвертом уравнении системы (15) характеристический параметр τ, получим

der48.wmf

der49.wmf

der50.wmf (16)

der51.wmf

Соотношения на бихарактеристике сохраняются в виде

der52.wmf

Начальные условия для систем (16) получаются из условий (5), если функции der53.wmf, der54.wmf разложить в ряд по степеням r – r00.

der55.wmf (17)

В параметрической форме начальные данные имеют вид

der56.wmf (18)

Таким образом, в виде рядов (7) построено единственное локально аналитическое решение задачи (2), (4), (5).

Численное моделирование течения газа на вертикальной контактной поверхности и в ее окрестности

Для построения цилиндрических течений газа возьмем k = 0, тогда контактная поверхность будет иметь уравнение r = r00 – цилиндр [5]. В этом случае удалось проинтегрировать третье и четвертое уравнения системы (11). Получены следующие формулы [5]:

der57.wmf

der58.wmf

Расчеты газодинамических параметров и траекторий проводились по этим формулам и уравнениям для бихарактеристик

der59.wmf

Для расчетов использовались следующие безразмерные величины:

γ = 1,4, b = 0,001379, r00 = 1, z00 = 0,00027, c00 = 1, v00 = 0,159, w00 = 0,0024.

При введении безразмерных переменных в качестве масштабов скорости и расстояния брались соответственно der60.wmf м/с и 3650 м. Использование таких входных данных соответствует тропическому циклону средней интенсивности, находящемуся на широте der61.wmf [1]. В восходящем закрученном потоке с приведенными значениями входных констант частица газа, сделав полный оборот по поверхности цилиндрической контактной поверхности с размерным значением ее радиуса r00 = 3650 м, поднялась на высоту 3462 м.

der1.tif

Рис. 1. Бихарактеристики z = z0(τ, φ00)

der2.tif

Рис. 2. Интегральная поверхность для функции v0(φ, z)

der3.tif

Рис. 3. Интегральная поверхность для функции w0(φ, z)

На рис. 1 приведены бихарактеристики z = z0(τ, φ00), при численном построении которых с шагом Δτ = 0,001 выбирались точки der62.wmf: фиксировалось φ00, вычислялось der63.wmf и der64.wmf.

Таким образом, построена неравномерная сетка для переменных φ, z. В узлах этой сетки и вычислялись значения функций v0(φ, z), w0(φ, z).

В результате из бихарактеристик численно построены интегральные поверхности для параметров газа der65.wmf v0(φ, z), w0(φ, z) на цилиндрическом контактном разрыве. На рис. 2, 3 приведены интегральные поверхности для функций v0(φ, z), w0(φ, z).

Авторы благодарят д.ф.-м.н., профессора С.П. Баутина за полезное обсуждение данной работы.