Изучаются проблемы, характерные для математического моделирования динамических объектов сложной структуры, взаимодействующих через сильно нелинейные (в данном случае –ударные) силы. Рассматривается семейство стационарных склерономных линейных упруго-вязких систем с полной диссипацией энергии, обозначаемое далее A={A0;A1,..AN} Каждой из систем Ar семейства A отвечает поле перемещений ur(xr,t)ОR3, причем вектора xrОXrМR3 - суть векторные координаты точек систем Ar; tОR; r=0,1,..,N.Динамика всех членов семейства А определяется системами матричных операторов динамической податливости [1]L(r)(yr,xr;p), где p - оператор дифференцирования. Указанные операторы имеют размерность [3x3] и ставят в соответствие нелинейным силовым полям fr(xr,t) [xrОXr] поля перемещений
ur(xr,t)= L(r)(yr,xr;p) fr(yr,t) (1)
Предположим теперь, что каждая из систем Ar (r=1,...,N) соударяется с системой A0 следующим образом.
Пусть при xr=xr0 в каждой из систем Ar сосредоточено по одному включению, содержащему точечные тела с сосредоточенными массами mr0, и в то же время система A0 содержит N подобных включений приx0=x0r, в которых сосредоточены точечные тела с массами m0r; r=1,...,N. Пусть далее тела с массами mr0 могут соударяются с телами с массами m0r соответственно, так что объединенная система (семейство) A содержит N сосредоточенных ударных пар. Введем относительные координаты ur(t)=u0(x0r,t)-ur(xr0,t) и обозначим Фr силу удара в r-й ударной паре. Тогда можно записать систему из (N+1)-го операторного уравнения движения объединенной системы А (ср.[1]):
u0(x0,t)=L(0)(y0,x0;p){f0(y0,t) - 
Фr[ur(t), pur(t)]d(y0-x0r)}; (2)
ur(xr,t)= L(r)(yr,xr;p){fr(yr,t) + Фr[ur(t), pur(t)]d(yr-xr0)},
где d(x) - d-функция Дирака; r=1,...,N. Проведя N раз вычитаний второго уравнения (2) из первого уравнения (2), получаем для относительных координат (2) при r=1,...,N
ur(t)=Ur0(t)-L(0)(x0r,x0;p) 
Фr[ur(t),pur(t)]-L(r)(xr0,xr;p)Фr[ur(t),pur(t)] (3)
где обозначено: Ur0(t)=L(0)(y0,x0;p)f(y0,t)-L(r)(yr,xr;p)f(yr,t)-изменение относительных координат в отсутствии ударов и введены операторы Lk(0,r)(p)=L(0)(x0r,x0r;p); L0r(p)=L(0)(x0r,x0r;p)+L(r)(xr0,xr0;p).Таким образом соотношения (3) можно для удобства переписать и так:
ur(t)=Ur0(t)-L0r(p)Фr[ur(t),pur(t)]- L(0)(x0r,x0;p) Фk[uk(t),puk(t)] , 
(4)
Выведенные соотношения - весьма общи, так как моделируют поведение представительного класса линейных между ударами систем. Если необходимые системы операторов динамической податливости и распределения внешних сил заданы, а гипотеза удара, определяющая функции Фk - конкретизирована, то, найдя представления относительных координат ur0, можно при помощи соотношений (2) найти перемещения любой точки семейства А.
Основной предмет рассмотрений – моделирование периодических режимов движения, анализируются при помощи методов частотно-временного анализа [1]. В частности, изучается модель, цепочки N массивных бусин, расположенных на невесомой струне, колебания каждой из которых ограничивает линейный между соударениями осциллятор:
muk+c(2uk-uk+1-uk-1)+Фk(ur, ur)= gk(uk,…,t); k=1,....,N; u0=uN+1=0. (5)
Здесь gk - гладкие неконсервативные силы; Фk - сила удара в каждой из N ударных пар; ur,- относительные координаты. К уравнениям (5) добавим 2N уравнений ударных осцилляторов. Для группы (1) из N «верхних» осцилляторов и для группы (2) из N «нижних» осцилляторов имеем:
m1u1j + c1u1j+ Фj(ur, ur)=f1j(u1j, u1j,t) ; j=1,....,N; (6)
m1u2q + c1u2q+ Фj(ur, ur)=f2j(u2q, u2q,t) ; q=1,....,N (7)
Для отыскания периодических движений в системе (5) - (7) необходимо перейти к операторным моделям и, посредством методов частотно-временного анализа получить искомые представления через периодические функции Грина линейных систем [1].
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 05-08-50183).
Список литературы:
1. Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. - М.: Наука, 1985.-320 с.