Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

NEW APPROACHES TO RESEARCH OF TRANSIENT PROCESSES OF SYNCHRONOUS MACHINES IN THE NORMAL DISTRIBUTION OF THE RANDOM FEATURE ON THE RESULTS OF BENCH TESTS

Sudakov A.I. 1 Chabanov E.A. 1, 2 Kamenskikh I.A. 1
1 Perm National Research Polytechnic University
2 Volga state university of water transport
The article deals with the problems of research and identification of transient processes of synchronous machines with capacity of more than 100 kW based on the results of their experiments in the bench tests of sudden symmetrical short circuit and symmetrical transient processes in experiments of the field blanking, voltage recovery, impact excitation. It is known that the methods of processing of transient processes in accordance with domestic and international standards does not ensure the accuracy and reliability of the identification of these processes, does not allow them to research because of the high labor intensity, the spread of results and impact on the processes of various random factors. The article presents the new program of statistical research of transient processes of synchronous machines with the development of previously developed probabilistic and statistical methods to identify these processes. These experiments are united presence of the transient component of the process from the beginning to the end. The accuracy and reliability of the identification of the transient component affects the accuracy of the identification of the remaining components of the transient processes of synchronous machines. The new program includes: clarifying the boundaries of research of processes with a transient component; calculation of the volume of the population and sampling of random feature; research of variation series in the sample for the purpose of assessment of noisy levels of transient component and the degree of deviation from its exponential decay; search for effective dispersion of random feature in the sample with the consent of Pearson; minimizing the volume of the effective point sample by a Poisson distribution. The program is approved by the results of bench tests of synchronous machines with capacity of 800 kW in experience of symmetrical sudden short circuit. Research has confirmed that the unknown parameters of the total population of a random feature of transient component can successfully be identified with high accuracy and reliability by minimized volume of the effective point samples using Pearson test and Poisson distribution. In consequence of that labor intensity of research is reduced, high precision and probability of identification of transient component of transient processes of synchronous machines is guaranteed.
synchronous machine
transient processes
the time constant
efficient point sampling
the transient component of the armature current
random factor
mathematical expectation
variance
general population
sampling
variation series
the coefficient of variation
chi-squared test
Poisson distribution
identification
level of probabilities
1. Modernizacija verojatnostno-statisticheskih metodov issledovanija perehodnyh processov moshhnyh sinhronnyh mashin / A.I. Sudakov, E.A. Chabanov, N.V. Shulakov // Jelektrotehnika. 2010. no. 6. рр. 20–26.
2. Verojatnostno-statisticheskie metody issledovanija perehodnyh processov moshhnyh sinhronnyh mashin / A.I. Sudakov, E.A. Chabanov, N.V. Shulakov // Jelektrotehnika. 2010. no. 8. рр. 22–29.
3. K voprosam issledovanija i identifikacii perehodnyh processov moshhnyh sinhronnyh mashin verojatnostno-statisticheskimi metodami / A.I. Sudakov, E.A. Chabanov, N.V. Shulakov // Jelektrichestvo. 2013. no. 3. рр. 34–39.
4. Nadezhnost jelektricheskih mashin: ucheb. posobie / A.I. Sudakov, E.A. Chabanov; Perm. gos. tehn. un-t. Perm: izd-vo PGTU, 2009. 332 р.
5. Sudakov A.I. Jekspress-analiz rezultatov avtomatizirovannyh ispytanij sinhronnyh jelektricheskih mashin: Avtoref. dis…. kand. tehn. nauk. Sverdlovsk, 1991. 20 р.
6. Chabanov E.A. Novyj podhod k issledovaniju i identifikacii perehodnyh processov moshhnyh sinhronnyh mashin po rezultatam stendovyh ispytanij. Avtoref. dis... kand. tehn. nauk. Ekaterinburg, 2015. 24 р.

Исследование переходных процессов (ПП) синхронных машин (СМ) из опытов внезапного симметричного короткого замыкания (ВКЗ), гашения поля (ГП), восстановления напряжения (ВН), ударного возбуждения (УВ) и других невозможно с полным объёмом генеральной совокупности (ГС) случайного признака переходной составляющей симметричного тока (напряжения) якоря, из-за наличия сверхпереходной составляющей, которая затухает (возрастает) с меньшей постоянной времени (ПВ) в сравнении с ПВ переходной составляющей. От влияния различных случайных факторов эти составляющие отклоняются от экспоненциального затухания (возрастания) с появлением разброса ПВ в широких пределах. Отсутствие эффективных и достоверных аналитических методов в классической математике затрудняют идентификацию этих составляющих. Решение данной проблемы с использованием классических методов теории вероятностей и математической статистики (ТВиМС) не всегда является эффективным и результативным.

Авторами разработаны новые вероятностно-статистические методы (ВСМ) идентификации зашумлённых ПП СМ с использованием элементов и методов ТВиМС [1–3]. При этом возникли трудности с использованием известных критериев с целью подтверждения распределения случайного признака по нормальному закону при идентификации переходной составляющей по зашумлённым ПП СМ. Одним из перспективных и надёжных критериев для подтверждения предполагаемого нормального закона случайного признака в ТВиМС является критерий согласия Пирсона (или χ2). Его привлекательность заключается в том, что, кроме своего основного назначения, он может быть использован одновременно для проверки достоверности того, что взятая партия случайного признака из выборки, незначительно отклоняющаяся от её математического ожидания (МО), распределена по биномиальному закону или закону Пуассона при распределении редких событий [4]. Это важное обстоятельство было использовано для минимизации объёма эффективных точечных выборок (ЭТВ) по контрольной партии выборки для оценки математического ожидания (МО) при неизвестных дисперсиях ГС.

Для решения проблемы разработан метод статистических исследований с целью поиска оптимальных оценок дисперсии и МО для переходной составляющей по зашумлённым ПП СМ в процессе их стендовых испытаний [6]. Программа статистических исследований включает выбор границ участка ПП СМ с одной переходной составляющей симметричного тока якоря для её исследования и идентификации; расчёт объёма ГС и выборки случайного признака на исследуемом участке с переходной составляющей; оценку уровня зашумленности переходной составляющей и степени отклонения случайного признака от экспоненциального затухания в исследуемом диапазоне ПП с использованием вариационных рядов по выборке; исследования, связанные с достоверной оценкой дисперсии случайного признака по выборке с проверкой гипотезы предполагаемого нормального закона распределения случайного признака с использованием критерия согласия Пирсона; минимизацию объема ЭТВ с использованием распределения Пуассона с оценкой уровня вероятности данного объёма; конструирование на базе минимизированного объема ЭТВ комбинаторных унифицированных выражений для исследования и идентификации переходной составляющей симметричного тока (или напряжения) якоря СМ.

Перед исследованиями ПП СМ в ВСМ предусмотрена процедура оптимизации установившегося значения симметричного тока якоря по опытным данным в исследуемом диапазоне sud01.wmf ПП с использованием ЭТВ, обоснованных на базовом случайном признаке в работе [2]:

sud02.wmf, (1)

где sud03.wmf, sud04.wmf – переменные для задания нижней и верхней границ; sud05.wmf – элементы дискретного ПП; sud06.wmf – дискретные величины между огибающими тока якоря на участке ПП с переходной составляющей, sud07.wmf, sud08.wmf – шаг дискретизации, с; элементы дискретного ПП в узлах дискретизации с шагом 0,01 с рассчитываются по формуле, впервые полученной в работе [5]:

sud09.wmf (2)

где 0,375; 0,75; 0,125 – выведенные коэффициенты на базе интерполяционной схемы Эйткена для дискретно заданных ПП с равномерным шагом дискретизации.

Постоянная времени sud10.wmf по выражению (1), принятая за базовый случайный признак, является точечной выборкой объёмом n = 2 и служит как для расчёта объёма ГС N по всему ПП, так и объёма выборки nв случайного признака в диапазоне sud11.wmf ПП с переходной составляющей по комбинаторному выражению

sud12.wmf (3)

При наличии полных исходных данных генеральный ряд случайного признака конструируется по комбинаторному выражению

sud13.wmf (4)

Рассчитывают МО sud14.wmf и дисперсию sud15.wmf распределения случайного признака ГС:

sud16.wmf sud17.wmf (5)

Выборка случайного признака nв конструируется с условием охвата всех элементов sud18.wmf на участке sud19.wmf тем же комбинаторным подходом, что и ГС, с возможностью изменения объема в любую сторону:

sud20.wmf (6)

Вычисляют МО sud21.wmf и дисперсию σ2 распределения выборки случайного признака nв

sud22.wmf sud23.wmf (7)

Исследованиями установлено, что использование МО и дисперсии по (6) и (7) при сильно зашумлённых ПП СМ в методике критерия Пирсона не срабатывает, так как при определении интервальной вероятности в методике на её значение решающее влияние оказывает величина дисперсии, приводящая к сильному отклонению гипотетических частот в интервалах разбиения исследуемой области случайного признака ПП. Исследования показали, что наиболее перспективным направлением в поисках оптимальной дисперсии случайного признака являются вариационные ряды, которые позволяют получать оценку разброса случайного признака R, характеризующую уровень зашумлённости ПП и коэффициента вариации v, связанного со степенью отклонения затухания ПП от экспоненциального закона по известным в теории ТВиМС формулам:

sud24.wmf sud25.wmf (8)

При работе с вариационными рядами приходится изменять объём выборки за счёт исключения нереальных случайных признаков, что ведёт к изменению МО и границ интервалов, которые в меньшей степени, но влияют на точность и трудоёмкость исследования. В литературе по ТВ и МС отсутствуют рекомендации по эффективному использованию коэффициентов вариации вариационных рядов случайного признака и других полезных рекомендаций. В представленных исследованиях предложено оригинальное решение возникающей проблемы, связанное с уточнением коэффициентов вариации вариационных рядов по выборке.

Исследованиями установлено, что снижение коэффициента вариации ниже определённого уровня положительно решает проблему использования критерия Пирсона. А использование ЭТВ, которые конструируются по формуле (1), с учётом коэффициента жёсткой связи между элементами ПП в нижней и верхней границах, обоснованному в [5]

sud26.wmf (9)

и отклоняются на минимальную величину с относительной погрешностью от МО выборки, а также легко из неё извлекаются. ЭТВ, сформированные по (1) и (9), в объёме выборки случайного признака по (6), образуют ядро их скопления в количестве, соответствующем первым 6–7 суммам в комбинаторном выражении (5), которые после усреднения и минимизации по распределению Пуассона [4] данного объёма с его вероятностной оценкой используются для оценки критерия Пирсона. При минимизации объёма ЭТВ задаются минимальным уровнем относительного отклонения ЭТВ от МО выборки для определения их процентного содержания δ в объёме ГС по (3) для расчёта величины sud27.wmf. Из вариационного ряда берут контрольную партию объёмом из четырёх ЭТВ nэф = 4с заданным минимальным отклонением от МО для расчёта величины sud30.wmf. Определяют вероятность нулевого появления ЭТВ с заданным минимальным отклонением от МО sud31.wmf. Определяют вероятность появления в контрольной партии одной ЭТВ с превышением заданного минимального отклонения от МО sud32.wmf; двух ЭТВ для sud33.wmf, трёх ЭТВ для sud34.wmf и т.д. Сумма полученных вероятностей в итоге должна равняться 1,0.

По результатам оценок вероятностей конструируют комбинаторное унифицированное выражение минимизированного объёма ЭТВ для проведения дальнейших исследований и идентификации переходной составляющей ПП в рассматриваемых опытах СМ (формулы представлены в работах [1, 2]). С помощью ЭТВ идентифицируют остальные составляющие ПП, которые позволяют по известным выражениям получать параметры СМ.

Апробация программы исследования ПП осуществлена на натурном образце СМ мощностью 800 кВт по результатам её стендовых испытаний в опыте ВКЗ с напряжением испытания, равного 1,05•Uн при Uн = 6 кВ. На рисунке, а для одной из фаз в столбцах 1, 2 представлена дискретная информация о переходной составляющей по формуле (2).

sud1.tif

Гистограммы распределения критерия Пирсона: ¦ – эмпирическая частота; ? – гипотетическая частота

С целью исключения систематической погрешности, вносимой установившимся значением тока якоря, его оптимизация осуществлена по результатам опытных данных стендовых испытаний для всех фаз в исследуемых диапазонах ПП с одной переходной составляющей, например для рассматриваемой фазы С в диапазоне исследования sud35.wmf = 0,103 – 0,253 с по статистическому выражению

sud36.wmf (10)

где sud37.wmf – расчётная модель переходной составляющей по усреднённым ЭТВ с учётом условия (9), sud38.wmf; sud39.wmf – экспериментальное значение переходной составляющей, очищенное от оптимизированного установившегося значения тока якоря, sud40.wmf; K – число элементов (т.е. дискретно заданных токов между огибающими) на участке переходной составляющей (столбец 2 на рисунке, а).

При sud41.wmf = 13,1 мм среднеквадратичная погрешность приближения sud42.wmf по (10) оказалась наименьшей с МО sud43.wmf с и дисперсией σ2 = 4,0616683•10–6, полученные по усреднённым ЭТВ в указанном выше диапазоне. Нижняя граница tн задана равной 0,1 с из-за практически полного затухания сверхпереходной составляющей, а верхняя выбрана по превышению переходной составляющей над установившимся ПП в диапазоне 15–20 %. По формулам (1), (8) в обоснованном диапазоне исследования sud44.wmf по исходным данным столбиков 1, 2 рисунка а создана выборка случайного признака объёмом из 120 членов ряда для исследования переходной составляющей (столбики на рисунке, а приведены не до конца).

Генеральная совокупность случайного признака переходной составляющей по всему ПП до её полного затухания составляет около 600 членов ряда. При этом на переходную составляющую в исследуемом диапазоне приходится 95 % случайного признака от всего ПП, что оказалось вполне оправданным. Созданный по выборке вариационный ряд случайного признака (на рисунке, б) с разбросом его на 46 % и коэффициентом вариации 5,76 % не подтверждает нормальный закон по методике Пирсона. Только нормализация вариационного ряда с уменьшением его объёма до 101 члена позволила подтвердить предполагаемый нормальный закон распределения случайного признака. При этом коэффициент вариации снизился до 2,73 % с МО, равного 0,080401 с. Для эффективного снижения трудоёмкости исследований использовались ЭТВ. По рисунку, а видно, что в первых 6–7 суммах по формуле (6) находятся ЭТВ (выделенное ядро жирным шрифтом), полученные по формуле (1) с учётом условия (9), отклоняющаяся с минимальной относительной погрешностью от МО.

Важнейшим обстоятельством при этом явилось их практическое совпадение с МО вариационного ряда и постоянством их величины с незначительным отклонением от МО в пределах долей процента.

Среднее значение ЭТВ из 6 штук по первым суммам в формуле (6) составило величину, равную 0,080659 с. Таким образом, в объёме выборки из 120 случайных признаков во всех фазах обнаруживается ядро ЭТВ по формуле (6), содержащихся в первых 6–7 суммах. Поэтому при исследованиях переходной составляющей с целью точной её идентификации при наличии сильной зашумлённости ПП следует сразу обращаться к ядру ЭТВ для использования МО для расчёта критерия Пирсона, дисперсию при этом берут по нормализованному вариационному ряду. На рисунке г представлена гистограмма для исследуемой фазы. На рисунке дополнительно представлена результирующая информация по результатам исследуемого ПП фазы С, а для фаз А и В в табл. 1–3.

Таблица 1

Результаты исследований по вариационным рядам

Фаза

n

sud45.wmf, с

σ, с

sud46.wmf, с

σ, с

v, %

nэф

sud47.wmf, с

σэф, с

p(nэф = 4)

А

120

0,079389

0,008164

89

0,078652

0,00299

3,80

7

0,078530

0,00299

0,9673

В

120

0,084271

0,006249

101

0,083295

0,00230

2,76

6

0,083180

0,00230

0,9673

Таблица 2

Расчёт критерия Пирсона и гистограмма для фазы А

Фаза

Интервал

Границы

интервала

sud48.wmf

Эмпирическая частота hi

Интервальная вероятность рi

Гипотетическая частота

sud49.wmf

sud50.wmf

sud2T.tif

А

k1

k2

k3

k4

k5

– ∞ – 0,0810

0,0810 – 0,0825

0,0825 – 0,0841

0,0841 – 0,0857

0,0857 – + ∞

14

21

34

19

13

0,17105

0,21105

0,2733

0,20675

0,13785

17,27605

21,31605

27,6033

20,88175

13,92285

0,621235

0,004686

1,482350

0,169573

0,061169

101

1,000

101

2,334327

Таблица 3

Расчёт критерия Пирсона и гистограмма для фазы В

Фаза

Интервал

Границы

интервала

sud51.wmf

Эмпирическая частота hi

Интервальная вероятность рi

Гипотетическая частота

sud52.wmf

sud53.wmf

sud3T.tif

В

k1

k2

k3

k4

k5

– ∞ – 0,0748

0,0748 – 0,0774

0,0774 – 0,0804

0,0804 – 0,0823

0,0823 – + ∞

11

19

30

18

11

0, 0681

0,19955

0,4273

0,18805

0,117

6,8781

20,15455

33,1573

18,99305

11,817

0,65460

0,0661382

0,0786783

0,471664

0,0028339

89

1,000

89

2,163068

С учётом объёма случайного признака по всему ПП около 600 членов ГС, для контрольной партии ЭТВ из 5 шт. с отклонением от МО менее процента вероятность сохраняется достаточно высокой. При этом процентное их содержание составляет менее 1 %, точнее 5/600 = = 0,83 %. Тогда р’ = 0,83 %/100 % = 0,0083, а = 5×0,0083 = 0,0415 и вероятность р = е–а = 0,9593. При контрольной партии ЭТВ в объёме nэф = 4 вероятность р = е–а = 0,9673. При объёме nэф = 3 вероятность р = е–а = 0,9754. Это очень высокая вероятность минимизации объёма ЭТВ с заданной минимальной относительной погрешностью всех ЭТВ в контрольной партии. Поэтому в исследованиях с идентификацией переходной составляющей ПП СМ ВСМ конструирование формул с позиций практического удобства их программирования и использования при исследованиях минимизированного объёма ЭТВ принято равным четырём. В фазе С для контрольной партии объёмом nэф = 4 вероятность с нулевым отклонением от заданной минимальной погрешности от МО всех четырёх ЭТВ составила 0,9673. Отклонение от заданной погрешности одной ЭТВ соответствует вероятности равной 0,0257, двух – вероятность практически отсутствует – 0,0004, трёх – 0,0000. Вероятность отклонения ЭТВ с заданной минимальной погрешностью от МО одной ЭТВ имеет достаточно низкий уровень, для двух и более отклонение ЭТВ практически отсутствует. Сумма вероятностей по 2 первым слагаемым достигает высокого уровня – 0,9997 для всех фаз исследуемого ПП СМ.

Выводы

1. Предложен оригинальный способ снижения трудоёмкости исследований ПП СМ для высокоточной и достоверной их идентификации с учётом влияния на данные процессы различных случайных факторов.

2. По результатам исследования натурных испытаний СМ мощностью 800 кВт подтверждена высокая эффективность разработанной программы исследования зашумлённого ПП с целью обеспечения высокоточной и достоверной идентификации переходной составляющей симметричного тока якоря с использованием вариационных рядов случайного признака, критерия Пирсона, минимизированного объёма ЭТВ с помощью распределения Пуассона для редких случайных событий.

3. В соответствии с ТВиМС при неизвестных параметрах ГС случайного признака они могут быть получены по выборке из ГС и с достаточной точностью и вероятностью по ЭТВ с существенным снижением трудоемкости исследований.

Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства образования и науки РФ № 13.832.2014/K «Разработка методологических основ адаптивного управления автономными и неавтономными газотурбинными электростанциями мощностью до 25 МВт».