Постановка и решение динамической задачи требует соответствующего представления модели батанного механизма. Обратимся к схеме (рисунок). Брус 1 батана жестко закреплен в n лопастях 2, неподвижно соединенных с подбатанным валом 3. Вал 3 расположен в подшипниковых опорах (подшипники качения). Батан получает возвратно-качательное движение от кулачкового привода посредством коромысла 4 и шатуна 5. Соединения вал коромысла – станина, коромысло-шатун и шатун-лопасть выполнены также на подшипниках качения, обладающих радиальной податливостью.
В простейшем случае (техническая теория) уравнение вынужденных колебаний бруса во время движения батана в процессе формирования сетки имеет вид
, (1)
где 
– перемещение (кинематическое) бруса на рассматриваемой фазе движения батана (в дальнейшем индекс 1 будем опускать, предполагая начало отсчета времени t c момента подхода берда к опушке сетки).
Схема упругих связей батанного механизма металлоткацкого станка типа СТР
Решение уравнения (1) ищется в виде суммы
, (2)
где 
– решение однородного уравнения;
– частное решение, соответствующее виду правой части.
Решение 
, согласно [5], можно представить в виде
, (3)
где 
– собственные формы; j – номер участка бруса (1…п-1); pi – собственные частоты изгибаемых колебаний бруса в рассматриваемой фазе его движения; 
– постоянные.
На основании (3) можно записать (номер участка бруса опускаем):
,
, (4)
или
. (5)
Учитывая свойство ортогональности нормальных форм колебаний из (5.20) найдем
,
, (6)
то есть решение (3) определено. Решение 
ищется также в виде разложения в ряд по собственным формам:
и
,
где Ti(t) – искомые функции времени.
Учитывая, что
,
,
получим
.
При учете сил неупругого сопротивления уравнение вынужденных колебаний бруса примет вид
. (7)
Уравнение решается аналогично предыдущему. Решение 
принимается в виде
,
, (8)
где
, 
.
– формы и частоты собственных колебаний системы без сопротивлений, рассчитываемые в соответствии с методикой, изложенной в [4]. Частное решение 
ищется в той же форме (2). Подставляя (2) в уравнение (7) и учитывая, что
, 
,
получим
,
следовательно,
. (9)
Обозначив
,
будем иметь
Общее решение ищется в виде суммы (2), решение 
однородного уравнения – в виде
. (10)
Здесь 
– собственные частоты и формы, а коэффициенты 
и 
определяются из начальных условий. Тогда имеем
, 
.
Из (10), учитывая (4), получим
, 
.
Для отыскания частного решения 
, возмущающую функцию разложим в гармонический ряд
,
где
.
Решение 
ищется в виде 
. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, будем иметь
или
, (11)
где
; 
.
Введем новую переменную 
. Тогда уравнение (5.39) можно представить в виде
. (12)
Полагая 
, получим характеристическое уравнение
,
откуда
,
так как в данном случае 
и 
, то 
, 
, 
, 
,
где
, 
. (13)
Тогда
,
и будем иметь
(14)
Постоянные коэффициенты Ai, Bi, Ci, Di определяются из граничных условий. Подставляя (14) в граничные условия, придем к системе линейных алгебраических уравнений вида
. (15)
Тогда
; 
; 
; 
, (16)
где Δ, Δa, Δb, Δc, Δd – соответствующие определители системы (5.44).
Исключая угол β сдвига, получим
(17)
Пренебрегая двумя последними членами в левой части данного уравнения, будем искать его решение в форме (2). Решение 
однородного уравнения можно представить в виде разложения в ряд по собственным формам:
,
.
где Xi(x) – собственные формы колебаний бруса на второй фазе движения батана.
Величины qi и ni определены в работе [4]. Для определения коэффициентов 
и 
воспользуемся начальными условиями. Будем иметь
откуда получаем 
,
где 
– собственные формы колебаний бруса на первой фазе движения батана;
– постоянные, определяемые по методике, изложенной в работе [3].
Далее остановимся на учете только первой гармоники. В предлагаемой постановке это основное допущение при приближенном решении задачи, позволяющее существенно упростить математическую модель. Принимая такое допущение, мы имеем в виду, что амплитуды колебаний системы с неупругим сопротивлением на низшей частоте являются наиболее значимыми. Кроме того, вследствие симметричности конструкции, следовательно, и ее динамической модели, четные формы колебаний не реализуются, поскольку эти формы являются кососимметричными и входящий в выражение интеграл 
для этих форм будет равен нулю. Умножив уравнение (17) на Xi(x) и проинтегрировав результат по всей длине бруса, с учетом принятого допущения это уравнение можно представить в виде
, (18)
где ai – постоянные коэффициенты, определяемые по методике, изложенной в работе [3].
Для решения уравнения (18) рассмотрим однородное уравнение
,
где 
.
Представляя решение данного уравнения в виде 
, получим характеристическое уравнение 
. Решение этого уравнения можно получить либо по методу Феррари, либо по методу Н.И. Лобачевского [2]. Окончательный вид функции 
будет зависеть от вида четырех корней ki характеристического уравнения [2, 5]. После нахождения функции 
решение уравнения (18) ищется методом вариации произвольных постоянных [2], при этом
,
где 
, а функции 
находятся по формуле Крамера [2] из следующей системы уравнений:
. (19)
Уравнение вынужденных чисто крутильных колебаний бруса имеет вид
. (20)
Имея в виду, что начальные условия в данном случае нулевые, поскольку в принятой постановке задачи крутильные колебания до данной фазы движения батана не возникают, решение уравнения (20) можно представить в виде
,
где 
– собственные формы, определяемые по методике [4]. Для определения функции Ti(t) аналогично предыдущему представим возмущающую функцию в виде разложения в ряд по собственным формам:
,
.
Подставляя найденные выражения в исходное уравнение (20) и учитывая свойство ортогональности нормальных форм, а также то, что 
, получим
где 2ni и 
определяются по методике, изложенной в [3]. Следовательно,
, 
,
.
Полученные выше зависимости позволяют определить не только напряжения, возникающие в элементах конструкции, но и форму бруса в интересуемый момент времени, например, в момент отхода берда от опушки. При проектировании цикловой диаграммы работы батана, например, с выстоем в переднем положении, возникает необходимость определения времени затухания свободных и свободных сопровождающих колебаний бруса. Для этого необходимо решение задачи о собственных колебаниях бруса по начальным условиям, определяемым при решении задачи о вынужденных колебаниях на второй фазе движения батана.
Выводы
Разработана математическая модель расчета вынужденных колебаний бруса батана широких металлоткацких станков с n лопастями, соответствующая его уточненной динамической модели на фазе взаимодействия берда с опушкой вырабатываемой сетки.