Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,540

THE STUDY OF STRESS-STRAIN STATE OF PLANE FARM

Filippova T.S. 1 Akhmediev S.K. 1 Oryntaeva G.Zh. 1
1 Karaganda State Technical University
There is a study of plane, statically determinate and statically indeterminate farms in this paper. To determine the movements of units and forces in the rods used the finite element method (FEM). Solved the entire matrix allowing a single finite element in the local and global coordinate systems.The system stiffness matrix for the two-floor farms with parallel chords for different sizes and axial stiffness. The calculation results for various schemes of loading and different support conditions. In particular, to study the effect on the geometric dimensions of the farm value of nodal displacements and axial forces in the rods of the farm. The theoretical position and numerical results can be widely used both in research and in the practice of designing and building engineering farms.
stress-strain state
plane farms
nodal displacements
the final element of the core system transformation matrix
stiffness matrix of the system
the vector of nodal forces
longitudinal forces
support matrix connections
statically determinate and statically indeterminate farms
1. Bakirov Zh.B., Zhadrasinov N.T., Ahmediev S.K. Vychislitelnaja mehanika. Kara-ganda, KarGTU, 2004. 102 р.
2. Bate K., Vilson E. Chislennye metody analiza i metod konechnyh jelementov (per. s angl.). Pod red. Smirnova A.F. M.: Strojizdat, 1982. 448 р.
3. Varvak P.M., Buzun I.M., Gorodeckij A.S., Piskunov V.G. Metod konechnyh jelemen-tov / pod. Red. Varvaka P.M. Kiev: Budivelnik, 1981. 176 р.
4. Zenkevich O. Metod konechnyh jelementov v tehnike M.: Nauka, 1975. 271 р.
5. Karamanskij T.D. Chislennye metody stroitelnoj mehaniki. M.: Strojizdat, 1981. 435 р.
6. Postnov V.A., Harhurin N.Ja. Metod konechnyh jelementov. L.: Sudostr., 1974. 344 р.
7. Spravochnik po teorii uprugosti / pod red. P.M. Varvaka, F.F. Rjabova. Kiev: Budivelnik, 1971. 418 р.
8. Tursunov K.A. Metod konechnyh jelementov v stroitelnojmehanikesterzhnevyhsistem: uch. posobie. Karaganda: KarPTI, 1984. 60 р.

В строительстве, машиностроении, горном деле, а также в других отраслях материального производства зачастую применяются стержневые ажурные конструкции – фермы.

Они различаются большим многообразием геометрических размеров и схем, в том числе и по очертанию поясов, и по структуре стержневой решетки (взаимное расположение стоек и раскосов).

В процессе проектирования подобных конструкций имеется необходимость в изучении их напряженно-деформированного состояния – вычисление перемещений узлов и значений осевых усилий в стержнях.

В данной работе для решения таких задач использован метод конечных элементов для стержневых систем [1–8].

Экспериментальная часть

В качестве базового конечного элемента принят стержневой элемент фермы, произвольно ориентированный на плоскости (рис. 1).

Связь между величинами ui, zi имеет вид

filippova02.wmf

filippova03.wmf (1)

или в матричной форме

filippova04.wmf (2)

где filippova05.wmf filippova06.wmf; («Т» – индекс трансформирования);

filippova07.wmf (3)

– матрицы преобразований.

pic_44.tif

а б

Рис. 1. Конечный элемент стержневой системы: zi (i = 1, 2, 3, 4) – узловые перемещения в глобальной системе координат xy; Ni (i = 1, 2, 3, 4) – узловые силы; ui; νj (i = 1, 2; j = 3, 4) – узловые перемещения в локальной системе координат filippova01.wmf

На основе известных процедур метода конечных элементов (МКЭ) имеем

filippova08.wmf (4)

где filippova09.wmf

или filippova10.wmf (5)

– вектор узловых реакций в глобальной системе координат;

filippova11.wmf (6)

– матрица жесткости стержневого конечного элемента в глобальной системе координат; filippova12.wmf – матрица деформации конечного элемента; «Т» – индекс трансформирования соответствующих матриц.

Представим выражение (5) в блочном виде

filippova13.wmf (7)

Здесь: первый индекс элементов блока указывает на узел, в котором возникает соответствующая узловая реакция, второй индекс – номер узла, единичное смещение которого вызывает эти реакции.

По вектору filippova14.wmf продольная (осевая) сила в стержнях фермы определяется так:

filippova15.wmf (8)

Разрешающая система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) метода конечных элементов имеет стандартную форму

filippova16.wmf (9)

где Sa·а – матрица реакций элементов, вызванных единичными перемещениями (матрица жесткости системы); filippova17.wmf – вектор неизвестных узловых перемещений заданной фермы; filippova18.wmf – вектор узловых реакций, вызванных заданными внешними силами, при в узлах фермы (как в горизонтальном, так и в вертикальном направлении).

Учет опорных устройств (закреплений) заданной системы производится добавлением к диагональным элементам матрицы «S» значений жесткостных коэффициентов опор (их значения находятся в пределах 0–∞), т.е.

filippova19.wmf (10)

где

filippova20.wmf (11)

– матрица коэффициентов жесткостей. При наличии жестких опор filippova21.wmf при их отсутствии filippova22.wmf.

В качестве примера, иллюстрирующего предложенную выше методику расчета «МКЭ», рассмотрена плоская двухпанельная ферма с параллельными поясами (рис. 2) с шарнирными соединениями стержней в узлах фермы.

Далее приняты обозначения (рис. 2):

сβ = cos β; cα = cos α; sβ = sin β; sα = sin α;

сβ•sβ = cos β•sin β; сα•sα = cos α•sin α;

filippova23.wmf filippova24.wmf

filippova25.wmf filippova26.wmf (12)

Для рассматриваемой фермы (рис. 2) на основе уравнения (9) получена матрица жесткости системы.

Решение СЛАУ (9) дает значения искомых узловых перемещений zi (i = 1, 2, ..., 12)

filippova27.wmf (13)

где S–1 – обратная матрица.

Далее приведены результаты расчета фермы (рис. 2) при следующих конкретных значениях: a = b = c = 3,0 м; α = 45°; сα = Sα = cβ = Sβ = 0,71; k = f = 4,24.

В таблице даны значения узловых перемещений для ферм с различными схемами загружения.

Для фермы № 4 (таблица) проведено исследование изменения величин узловых прогибов zi (i = 1, 2, 3). При Ра = 10 кН в зависимости от следующих факторов:

Рис. 3: при (а = b = 3 м = const); с = 2, 4, 6, 8, 10 м.

Рис. 4: при (с = 3 м = const); a = b = 2, 3, 4, 5 м (переменно).

Рис. 5: при (а = b = 3 м = const); p = 2, 4, 6, 8, 10 кН (переменно).

pic_45.tif

Рис. 2. Расчетная схема МКЭ: zi (i = 1, 2, ..., 12) – неизвестные узловые перемещения; Nj (j = 1, 2, ..., 9) – осевые усилия в стержнях фермы

Заключение

1. В данной работе доказана эффективность расчета стержневых конструкций методом конечных элементов. В качестве иллюстрационного примера рассмотрена плоская ферма с узловым нагружением.

2. Выполнено сравнение результатов численного расчета с классическим методом аналитического расчета ферм (определение усилий способом моментной точки, способом проекций, способом вырезания узлов). При этом установлено, что эти результаты совпадают без каких-либо погрешностей, т.е. решения будут точными.

3. Установлено, что разрешающие уравнения, представляющие собой матрицы различного порядка, эффективно реализуются на ЭВМ.

Результаты расчета различных ферм «МКЭ»

 

№ п/п

Схема фермы с загружением узлов

Расчетные величины

Статически определимая ферма

1

pic_48.tif

EFzi

Ni, кН

2

pic_49.tif

 

Статически неопределимая ферма

3

pic_50.tif

EFzi, (Р4 = 6кН)

Статически определимая ферма

4

pic_51.tif

Результаты исследований даны на рис. 3–5

Окончание таблицы

 

Номера расчетных величин (узлов или стержней)

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

0

0

9,091

9,091

0

61,364

0

43,182

–9,091

9,091

0

0

–3,03

0

–3,03

4,19

–6,06

–3,03

4,23

0

–3,03

2

1,914

1,914

7,177

0

7,177

3,828

16,268

3,828

3,828

3

4,396

2,198

2,198

17,417

0,382

12,257

–0,765

2,963

 

4

Результаты исследований даны на рис. 3–5

pic_46.tif

Рис. 3

pic_47.tif

Рис. 4

pic_52.tif

Рис. 5

4. Изменение размеров панелей a, b при постоянной высоте фермы «с» приводит к незначительному изменению значений перемещений z1, z3 (рис. 4).

5. Возрастание узловой нагрузки Р4 приводит к линейному изменению перемещений узлов фермы (рис. 5).

6. Изменение высоты фермы «с» при (a, b = const) линейно увеличивает значения z2, и нелинейно – z1, z3 (рис. 4).