Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

THE APPLICATION OF THE SCHEME OF HIGH RESOLUTION FOR SOLVING OF BIOLOGICAL KINETICS’S PROBLEMS ON MULTIPROCESSOR COMPUTER SYSTEMS ON A MULTIPROCESSOR COMPUTER SYSTEM

Nikitina A.V. 1 Semenyakina A.A. 1 Chistyakov A.E. 1 Protsenko E.A. 2 Yakovenko I.V. 2
1 Public Educational Institution «Scientific Research Institute of Multiprocessor Computer Systems named after Acad. A.V. Kalyaev of Southern Federal University
2 Taganrog Institute named after A.P. Chekhov (branch) Rostov State University of Economics
The work is devoted to the application of schemes of high order of accuracy for solving problems of biological kinetics. To solve this problem have been constructed and studied discrete analogs of the operators convective and diffusive transfers of fourth order accuracy in the case of partial occupancy of cells. Numerical experiments were conducted for the problem of transportation of substances on the basis of the schemes of the second and fourth orders of accuracy, which showed that for the problem of diffusion-convection was possible to increase the accuracy in 48,7 times. The constructed circuit high (fourth) order of accuracy have been used in solving problems of biological kinetics. Proposed and numerically implemented a mathematical algorithm designed for the recovery of the bottom topography of shallow reservoir on the basis of hydrographic information (the depth of the reservoir in discrete points or contour level) on the basis of which was obtained map of the bottom relief of the sea of Azov. It was found that the use of fields of the currents calculated by the developed hydrodynamic model has improved the quality of the input data, as well as to decrease the error in the solution of model problems of biological kinetics.
scheme of high resolution
bottom topography
transport of substances
the problem of biological kinetics
multiprocessor computer systems
1. Nikitina A.V. Issledovanie modelej biologicheskoj kinetiki // Izvestija TRTU. 2005. no. 9(53). рр. 213.
2. Nikitina A.V., Lozovskaja K.A. Chislennoe modelirovanie processov vzaimodejstvija planktona i populjacii promyslovoj ryby pelengas // Izvestija JuFU. Tehnicheskie nauki. 2011. no. 8. рр. 98–103.
3. Semenjakina A.A. Shemy povyshennogo porjadka tochnosti dlja zadach diffuzii-konvekcii // Informatika, vychislitelnaja tehnika i inzhenernoe obrazovanie. 2013. no. 4 (15). рр. 18–29.
4. Suhinov A.I., Nikitina A.V., Peskova O.Ju. Matematicheskoe modelirovanie processov rasprostranenija zagrjaznenij i jevoljucii fitoplanktona primenitelno k akvatorii Taganrogskogo zaliva // Izvestija TRTU. 2001. no. 2(20). рр. 32–36.
5. Suhinov A.I., Nikitina A.V., Chistjakov A.E. Modelirovanie scenarija biologicheskoj reabilitacii Azovskogo morja // Matematicheskoe modelirovanie, 2012. T. 24. no. 9. рр. 3–21.
6. Suhinov A.I., Nikitina A.V., Chistjakov A.E., Seme nov I.S. Matematicheskoe modelirovanie uslovij formirovanija zamorov v melkovodnyh vodoemah na mnogoprocessornoj vychislitelnoj sisteme // Vychislitelnye metody i programmirovanie. 2013. T. 14. рр. 103–112.
7. Suhinov A.I., Chistjakov A.E. Parallelnaja realizacija trehmernoj modeli gidrodinamiki melkovodnyh vodoemov na supervychislitelnoj sisteme // Vychislitelnye metody i programmirovanie: Novye vychislitelnye tehnologii. 2012. T. 13. рр. 290–297.
8. Suhinov A.I., Chistjakov A.E., Procenko E.A. Matematicheskoe modelirovanie transporta nanosov v pribrezhnoj zone melkovodnyh vodoemov // Matematicheskoe modelirovanie. 2013. T. 25, no. 12. рр. 65–82.
9. Suhinov A.I., Chistjakov A.E., Procenko E.A. Matematicheskoe modelirovanie transporta nanosov v pribrezhnyh vodnyh sistemah na mnogoprocessornoj vychislitelnoj sisteme // Vychislitelnye metody i programmirovanie. 2014. 15. рр. 610–620.
10. Suhinov A.I., Chistjakov A.E., Semenjakina A.A., Nikitina A.V. Parallelnaja realizacija zadach transporta veshhestv i vosstanovlenija donnoj poverhnosti na osnove shem povyshennogo porjadka tochnosti // Vychislitelnye metody i programmirovanie: novye vychislitelnye tehnologii. 2015. T. 16, no. 2. рр. 256–267.
11. Suhinov A.I., Chistjakov A.E., Timofeeva E.F., Shishenja A.V. Matematicheskaja model rascheta pribrezhnyh volnovyh processov// Matematicheskoe modelirovanie. 2012. T. 24, no. 8. рр. 32–44.
12. Suhinov A.I., Chistjakov A.E., Shishenja A.V. Ocenka pogreshnosti reshenija uravnenija diffuzii na osnove shem s vesami// Matematicheskoe modelirovanie. 2013. T. 25, no. 11. рр. 53–64.
13. Chistjakov A.E., Semenjakina A.A. Primenenie metodov interpoljacii dlja vosstanovlenija donnoj poverhnosti // Izvestija JuFU. Tehnicheskie nauki. 2013. no. 4. рр. 21.

Постановка задачи

Для реализации моделей биологической кинетики рассмотрим базовую задачу транспорта веществ следующего вида:

nikitina01.wmf

с граничными условиями

nikitina02.wmf

где u, v – компоненты вектора скорости; ? – коэффициент турбулентного обмена; f – функция, описывающая интенсивность и распределение источников.

Введем равномерную прямоугольную сетку [12]:

nikitina03.wmf

где ? – шаг по времени; hx, hy – шаги по пространству; Nx, Ny – границы по пространству; Nt – верхняя граница времени.

Проведем дискретизацию операторов конвективного и диффузионного переносов второго порядка погрешности аппроксимации в случае частичной заполненности ячеек следующим образом:

nikitina04.wmf

nikitina05.wmf

где qi – коэффициенты, описывающие заполненность контрольных областей [11].

Схемы повышенного порядка точности для операторов конвективного и диффузионного переносов

Аппроксимация оператора конвективного переноса uc? разностной схемой, обладающей четвертым порядком точности, имеет следующий вид [3]:

nikitina06.wmf

где nikitina07.wmf nikitina08.wmf

Аппроксимация оператора диффузионного переноса nikitina09.wmf разностной схемой, обладающей четвертым порядком точности, имеет следующий вид:

nikitina10.wmf

где nikitina11.wmf nikitina12.wmf

Сопоставление результатов расчета задачи транспорта веществ на основе схем второго и четвертого порядков точности

Погрешность вычислений рассчитывалась как разность между аналитическим и численным решением задачи транспорта веществ, начальное распределение задавалось функцией

nikitina13.wmf

pic_20.tif

а б

Рис. 1. Исходная (а) и восстановленная (б) геометрия дна Азовского моря

Для моделирования использовались последовательно сгущающиеся сетки. На сетке размерами 100?100 расчетных узлов lx = 100 м, ly = 100 м, ht = 0,001 с; временной интервал равен 100 с, горизонтальная составляющая равна 4 м/с, вертикальная – 3 м/с, коэффициент турбулентного обмена равен 2 м2/с.

Из сопоставления результатов численных экспериментов на основе схем второго и четвертого порядков точности следует, что для задачи диффузии-конвекции удалось повысить точность в 48,7 раз [10].

Применение схем повышенного порядка точности для решения задач биологической кинетики для восстановления донной поверхности мелководного водоема

Работа с картографическими данными, обработка гидрографической информации являются достаточно актуальными задачами, возникающими при математическом моделировании гидродинамики мелководных водоемов [7]. Как показано на рис. 1, a, глубина водоема задается в отдельных точках или изолиниями уровня.

Использование подобных карт для построения расчетных сеток нежелательно, т.к. появляются погрешности вычислений, связанные с «грубым» заданием геометрии расчетной области. Для того чтобы повысить точности расчетов гидродинамических процессов, необходимо приблизить функцию двух переменных, описывающую рельеф дна водоема, более гладкими функциями. Для восстановления рельефа дна акватории Азовского моря использовался алгоритм, описанный в работе [13]. На основе разработанного программного комплекса получена карта рельефа дна Азовского моря (рис. 1, б).

Применение схем повышенного порядка точности для решения задач биологической кинетики

Методика восстановления донной поверхности и расчета полей течений водного потока в Азовском море была использована при решении модельных задач биологической кинетики. Рассчитанные поля течений использовались в качестве входной информации для моделей биологической кинетики [1] на примере задач: модель взаимодействия фито- и зоопланктона [4]; модель динамики промысловой рыбы пеленгас [2].

Использование разработанной модели гидродинамики с использованием схем повышенного порядка точности, разработанной методики восстановления донной поверхности мелководного водоема при решении вышеперечисленных задач привело к значительному уменьшению погрешности расчетов при численной реализации задач биологической кинетики.

pic_21.tif

Рис. 2. Динамика изменения концентрации зеленой водоросли для временных интервалов T = 2, 27, 39, 70, 85, 122 дня (после начала вегетационного периода фитопланктона (март – сентябрь))

pic_22.tif

Рис. 3. Распределение концентраций пеленгаса, временной интервал T = 56, 126, 155, 400 дней. Начальное распределение полей течений в Азовском море для северного ветра

На рис. 2 показаны результаты численного эксперимента для задачи взаимодействия фито- и зоопланктона на основе полученных схем повышенного порядка точности для реальной расчетной области сложной формы – Азовского моря. На рис. 3 изображены результаты численного эксперимента на основе построенных схем повышенного порядка точности для задачи динамики промысловой рыбы пеленгас в Азовском море.

Заключение

Построены схемы повышенного (четвертого) порядка точности для операторов конвективного и диффузионного переносов, учитывающие заполненность ячеек. Выполнено сопоставление результатов расчета задачи транспорта веществ на основе схем второго и четвертого порядков точностей. Из сопоставления результатов численных экспериментов следует, что для задачи диффузии-конвекции удалось повысить точность в 48,7 раз. Предложен математический алгоритм, предназначенный для восстановления рельефа дна акватории мелководного водоема на основе гидрографической информации (глубины водоема в отдельных точках или изолиний уровня). На основе полученного метода решения задачи получена карта рельефа дна Азовского моря. Следует отметить, что предложенные схемы были так же применены для разработки программного комплекса, предназначенного для расчета трехмерных полей скоростей течений в мелководных водоемах, которые использовались в качестве входных данных при численной реализации задач биологической кинетики [5, 6] и транспорта донных материалов [8, 9].

Работа выполнена при частичной поддержке Задания №2014/174 в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки России, а также при частичной финансовой поддержке РФФИ по проектам № 15-01-08619, № 15-07-08626 и № 15-07-08408.