Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,087

INVERSE KINEMATICS PROBLEM FOR MANIPULATOR ROBOT BY PENALTY FUNCTION METHOD

Oskin D.A. 1 Dyda A.A. 2
1 Admiral Nevelskoy Maritime State University
2 Far Eastern Federal University
Решение обратной задачи кинематики является одной из традиционных проблем для робототехнических систем. Суть ее заключается в нахождении обобщенных координат манипуляционного робота, при которых схват манипулятора находится в заданной точке рабочего пространства с заданной ориентацией. В?большинстве случаев обратная задача кинематики не имеет единственного решения. В?настоящей работе для приближенного решения обратной задачи кинематики многозвенного манипулятора применен метод штрафных функций. Заданное пространственное положение схвата манипуляционного робота рассматривается как ограничение и учитывается как штрафная функция в дополнение к исходной целевой функции. Получена схема решения задачи минимизации расширенного критерия и, следовательно, обратной задачи кинематики, основанная на градиентном методе. Приводятся и обсуждаются результаты компьютерного моделирования.
A solution of inverse kinematics problem is one of traditional problems of robotic system. Its essence consists in finding of robot generalized coordinates which provide a given position and orientation of manipulator end-effector in a workspace. In most cases, an inverse kinematics problem has not a unique solution. In this paper, a penalty function method is applied for solving of inverse kinematics problem for manipulator robot. Given space position of robot end-effector is considered as constrain and taken into account as additional term for optimization function. The gradient method-based scheme to minimize an extended criterion and, hence, inverse kinematics problem is derived. Results of computer experiments are given and discussed.
robot manipulator
inverse kinematics problem
penalty function method
1. Rostov N.V. Analiz algoritmov resheniya obratnyx zadach kinematiki v sistemax upravleniya dvizheniem robotov, Nauchno-texnicheskie vedomosti SPbGPU. Informatika. Telekommunikacii. Upravlenie, 2014, vypusk 5(205), 93–99.
2. Trifonov A.G. Postanovka zadachi optimizacii i chislennye metody ee resheniya [elektronnyj resurs] A.G. Trifonov. SoftLine So. Svobodnyj rezhim dostupa: http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_2/index.php (data obrashheniya: 12.10.2015).
3. Fu K., Gonsales R., Li K. Robototexnika. Per. s angl. pod red. V.G. Gradeckogo. M.: Mir, 1989. 624 р.
4. Shaxinpur M. Kurs robototexniki. Per. s angl. pod red. S.L. Zenkevicha. M.: Mir, 1990. 527 р.
5. Yurevich E.I. Osnovy robototexniki: ucheb. dlya vuzov. SPb.: BHV-Peterburg, 2005. 416 р.

При синтезе систем управления манипуляционными роботами (МР) требуется решать задачи кинематики. Различаются прямая и обратная задачи кинематики (ОЗК). Прямая задача кинематики состоит в определении пространственного положения и ориентации характерной точки (схвата МР) по известным значениям обобщенных координат. Обратная задача кинематики робота-манипулятора заключается в определении обобщенных координат (ОК) МР по известному угловому и линейному местоположению схвата манипулятора. Прямая задача решается однозначно, в то время как ОЗК, представляющая собой противоположную задачу, как правило, не имеет единственного решения [3?5].

Формулировка ОЗК

По заданному (6?1) вектору линейных координат положения и угловых координат ориентации схвата МР

Sc = (xc, yc, zc, ?c, ?c, ?c)T

вычисляется (n?1) вектор обобщенных координат звеньев

q = (q1, q2, ..., qn)T,

где xc, yc, zc – пространственные координаты положения схвата МР; ?c, ?c, ?c – угловые координаты ориентации схвата МР, qi, i = 1...n – обобщенные координаты звеньев МР [1].

Методы решения ОЗК для МР можно разделить на точные (аналитические) и приближенные (итерационные). В результате использования точных методов вектор ОК удается получить в виде аналитической зависимости геометрических параметров кинематической схемы МР. В этом случае процесс нахождения искомого вектора ОК по вектору положения и ориентации схвата МР при известной кинематической схеме сводится к вычислению значений заранее полученных аналитических зависимостей. Но точное решение удается получить не для любой кинематической схемы манипулятора.

Приближенные методы – это методы численного решения уравнений связи. Они оказываются работоспособными для любых кинематических схем. Однако это связано с использованием рекуррентных процедур. Среди них можно выделить группу методов, основанных на использовании матрицы Якоби: метод Ньютона, метод Гаусса – Ньютона, метод Левенберга – Марквардта [1].

Метод штрафных функций для решения ОЗК

В статье развивается новый метод решения обратных задач кинематики роботов-манипуляторов, основанный на использовании метода штрафных функций. Метод штрафных функций относятся к группе непрямых методов решения задач нелинейного программирования [2].

Рассмотрим методику применения метода штрафных функций на примере нахождения ОК для трехзвенного планарного манипулятора.

Координаты положения схвата МР (xc, yc) для приведенной конфигурации (рис. 1) определяются из соотношений

dyda01.wmf dyda02.wmf (1)

где li, i = 1...3 – длины звеньев МР.

Рассмотрим критерий

dyda03.wmf (2)

Введем расширенный критерий

dyda04.wmf (3)

где ?1, ?2 – весовые коэффициенты.

Для минимизации расширенного критерия воспользуемся методом градиента. Для этого вычислим частные производные по обобщенным координатам:

dyda05.wmf (4)

Таким образом, значения обобщенных координат определятся из соотношения

dyda06.wmf (5)

где ? > 0 – коэффициент, определяющий скорость настройки.

Приведенный алгоритм реализован в среде Matlab. При проведении численных экспериментов рассматривались два варианта движения МР:

– выход схвата в точку с заданными координатами (xc, yc) = (0,24 м; 0,12 м). На рис. 2 приведены решения дифференциальных уравнений (5) при различных значениях весовых коэффициентов ?1, ?2. Также приведены величины отклонений между установившимся и желаемым положением характерной точки МР ex = xуст – xc, ey = yуст – yc;

– движение схвата МР по заданной программной траектории

dyda07.wmf

где Ax = 0,12 м, Ay = 0,24 м, w = 0,75 рад/с.

На рис. 3 приведены программные траектории движения схвата МР при различных значениях весовых коэффициентов ?1, ?2. Также приведены величины максимальных отклонений при движении по программной траектории exmax, eymax.

pic_25.wmf

Рис. 1. Трехзвенный манипулятор

pic_26.wmf

а

pic_27.wmf

б

Рис. 2. Обобщенные координаты МР (а), координаты схвата МР (б). Моделирование при 1 – ?1 = ?2 = 1. Расхождение ex = 0,2995 м, ey = 0,0264 м; 2 – ?1 = ?2 = 10. Расхождение ex = 0,0360 м, ey = 0,0038 м

pic_28.wmf

Рис. 3. Программная траектория движения схвата МР. 1 – моделирование при ?1 = ?2 = 5. Расхождение exmax = 0,114 м, eymax = 0,0023 м. 2 – моделирование при ?1 = ?2 = 50. Расхождение exmax = 0,0135 м, eymax = 0,003 м

pic_29.wmf

Рис. 4. Координаты схвата МР. 1 – моделирование при ?1 = ?2 = 5 (штрихпунктирные линии). 2 – моделирование при ?1 = ?2 = 50 (сплошные линии)

pic_30.wmf

Рис. 5. Обобщенные координаты схвата МР. 1 – моделирование при ?1 = ?2 = 5 (штрихпунктирные линии). 2 – моделирование при ?1 = ?2 = 50 (сплошные линии)

На рис. 4, 5 приведены графики, показывающие переходные процессы координат схвата и обобщенных координат МР.

Как видно из приведенных графиков, с течением времени происходит стабилизация решений дифференциальных уравнений и их стремление к установившимся значениям за конечное время. Также необходимо отметить, что увеличение значений весовых коэффициентов ?1, ?2 приводит к ускорению схождения решения.

Заключение

В результате численного решения дифференциальных уравнений для любых начальных значений обобщенных координат МР из их рабочих диапазонов его обобщенные координаты примут в конечный момент времени значения, соответствующие требуемому положению схвата МР, и, следовательно, приведут к решению ОЗК.

Достоинства используемого метода заключаются в единственности решения для заданной кинематической схемы МР и начального состояния манипулятора, высокой точности решения и быст родействия.

Работа поддержана Министерством науки и образования Российской Федерации, Государственный контракт 02G25.31.0025.

Рецензенты:

Завьялов В.В., д.т.н., профессор ка федры технических средств судовождения, Морской государственный университет имени адмирала Г.И. Невельского, г. Владивосток;

Верёвкин В.Ф., д.т.н., профессор кафедры электрооборудования и автоматики судов, Морской государственный университет имени адмирала Г.И. Невельского, г. Владивосток.