Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

KINEMATIC CHARACTERISTICS OF FLOW GENERATED BY HYDROSYSTEM RACES CONJUGATION

Kuznetsova Yu.A. 1
1 Volga State University of Technology
1481 KB
Hydrosystem races conjugation is related to the jet stream formation behind the end fixing of the apron, the kinematic characteristics of which are determined on the model of vortices rolling along the curved boundary of the flow. As a result of transformation of the radius vector of the point connected with the plane vortex, from the local coordinate system into the Cartesian system, dependencies are established, which allowed us to connect the velocities, induced by the rectilinear vortex layer, with flow velocity field. Transformation of the radius vector from the local coordinate system into the Cartesian system is the result of expression of differential-geometric characteristics of the plane curve using trigonometric functions. Analysis showed that the developed model complies with the classical dependences of the hydraulic jet theory. Besides clarification of the physical process of the flow velocity field formation, the relationship between the axial stream velocity and kinematic characteristics at the border of the end fixing in the hydrosystem tailraces is determined.
hydraulic facilities
end fixing of apron
kinematic characteristics of flow
curved boundary
vortex layer
local coordinate system
1. Belov I.A. Modeli turbulentnosti: ucheb. posobie. L.: Izd-vo LMI, 1986. 100 р.
2. Kuznecova Ju.A. Sredstva inzhenerno-jekologicheskoj zashhity nizhnih b’efov gidrouzlov: monografija. – Joshkar-Ola: Povolzhskij gosudarstvennyj tehnologicheskij universitet, 2014. 260 р.
3. Milovich A.Ja. Gidrodinamicheskie osnovy gazovoj borby. Novocherkassk: Donskoj pechatnik, 1918. 95 р.
4. Milovich A.Ja. Teorija dinamicheskogo vzaimodejstvija tel i zhidkosti. M.: Gosstrojizdat, 1955. 310 р.
5. Mirchulava C.E. Osnovy fiziki i mehaniki jerozii rusel. L.: Gidrometeoizdat, 1988. 303 р.

При эксплуатации гидроузлов возникают экологические проблемы, связанные с образованием воронки размыва в нижнем бьефе при значительных скоростях сбрасываемого потока. Размыв русла в нижнем бьефе может привести к потере устойчивости гидротехнических сооружений. Разработка оценки устойчивости гидроузлов осложняется отсутствием комплексного подхода к анализу русловых процессов, согласованному с теорией плоских гидравлических струй [1]. Основными факторами, влияющими на интенсивность размыва нижнего бьефа гидротехнического сооружения, являются кинематические характеристики потока, сливаемого с концевых сооружений флютбета в незащищенную часть водоотводящего русла.

Целью исследования является определение поля скоростей на основе вихревой модели границы потока, формируемого при сопряжении бьефов гидроузла.

При установленном законе границы струи в результате применения методов аналитической геометрии производится преобразование координат радиуса-вектора точки жидкости из локальной системы, связанной с вихрями, катящимися вдоль границы потока, в декартову прямоугольную систему координат, связанную с границей области размыва, устанавливается закон распределения скоростей.

Математическое моделирование

Преобразуем вектор kuznetsov001.wmf из ортогональной системы локальных координат kuznetsov002.wmf в точке O1(x, y) на плоской кривой kuznetsov003.wmf в декартову xOy через систему промежуточных координат x1O1y1 (рис. 1).

pic_24.tif

Рис. 1. Преобразование системы локальных ортогональных координат, связанных с касательной и нормалью к кривой, в прямоугольную декартову систему координат

Дифференциально-геометрические характеристики плоской кривой y = f(x) включают ее кривизну k и радиус kuznetsov004.wmf, дифференциал длины дуги kuznetsov005.wmf длину касательной kuznetsov006.wmf подкасательной kuznetsov007.wmf нормали kuznetsov008.wmf и поднормали kuznetsov009.wmf.

Локальные координаты kuznetsov010.wmf в точке O1(x, y) связаны с декартовыми прямоугольными координатами xOy соотношениями

kuznetsov011.wmf kuznetsov012.wmf

Орты единичной длины kuznetsov013.wmf kuznetsov014.wmf, связанные с подвижной точкой O1(x, y) системы координат kuznetsov015.wmf, направлены по касательной kuznetsov016.wmf и нормали kuznetsov017.wmf.

Дополнительная декартова система x1O1y1 направлена аналогично системе xOy.

Радиус-вектор kuznetsov018.wmf как инвариантный объект преобразуется из системы kuznetsov019.wmf криволинейных координат с компонентами kuznetsov020.wmf kuznetsov021.wmf в систему x1O1y1 с компонентами kuznetsov022.wmf kuznetsov023.wmf

Производя подстановку значений ξ и η в два последних уравнения, запишем

kuznetsov024.wmf

kuznetsov025.wmf

Разложение вектора kuznetsov026.wmf с компонентами системы kuznetsov027.wmf на оси системы координат xOy будет иметь вид kuznetsov028.wmf kuznetsov029.wmf

Для разделения переменных ξ и η в правых частях равенств выразим ξ из первого уравнения kuznetsov030.wmf и, подставив во второе, получим kuznetsov031.wmf.

Подставляя из этого равенства η в уравнение для x-компонента разложения, запишем kuznetsov032.wmf.

В итоге получаем систему, в которой переменные ξ и η разделены:

kuznetsov033.wmf kuznetsov034.wmf

Дифференциальные характеристики кривой [2] y = f(x) позволяют, в частности, определить величины sin φ и cos φ (рис. 1).

Величины тригонометрических функций равны

kuznetsov035.wmf kuznetsov036.wmf

Производя подстановки в предыдущую систему, запишем

kuznetsov037.wmf

kuznetsov038.wmf

С учетом того, что уравнение кривой имеет вид kuznetsov039.wmf, получим kuznetsov040.wmf.

Подставляя в систему уравнений значение производной y′, перепишем систему в виде

kuznetsov041.wmf

kuznetsov042.wmf

где учтены равенства

kuznetsov043.wmf

kuznetsov044.wmf

kuznetsov045.wmf

kuznetsov046.wmf

Полученные формулы преобразования координат ξ, η локальной ортогональной системы kuznetsov047.wmf могут быть использованы для представления решения, полученного в kuznetsov048.wmf, в декартовой системе координат xOy.

Преобразование произвольно расположенного на плоскости вектора kuznetsov052.wmf, имеющего начало в точке O1(x, y), осуществляется аналогичным образом (рис. 2).

Компоненты вектора kuznetsov053.wmf в дополнительной системе координат x1O1y1, преобразованные из системы kuznetsov054.wmf, имеют вид

kuznetsov055.wmf

kuznetsov056.wmf

В системе xOy запишем с учетом равенств xn = –x1n и yn = –y1n:

kuznetsov057.wmf

kuznetsov058.wmf

pic_25.tif

Рис. 2. Преобразование вектора kuznetsov049.wmf из системы локальных координат kuznetsov050.wmf в декартову xOy: kuznetsov051.wmf – уравнение кривой

Следовательно, проекции вектора kuznetsov059.wmf в системе координат xOy будут иметь вид

kuznetsov060.wmf

kuznetsov061.wmf

Отсюда, разделяя переменные (ξ – ξn) и (η – ηn), с учетом равенств kuznetsov062.wmf и kuznetsov063.wmf для вектора kuznetsov064.wmf с началом в точке O1(x, y) получим формулы преобразования:

kuznetsov065.wmf kuznetsov066.wmf

Качественная картина формирования течения в пределах струи, ограниченной отрезком Oa на оси ординат Oy лучом, совпадающим с абсциссой Ox и кривой kuznetsov067.wmf, выглядит следующим образом.

Интенсивность слоя вихрей, вращающихся против часовой стрелки, длиной ds на кривой kuznetsov068.wmf имеет вид

kuznetsov069.wmf

Интенсивность вихревого слоя длиной ds уменьшается в kuznetsov070.wmf раз и при интенсивности вихря kuznetsov071.wmf остается постоянной и равной Co. При анализе индуцированных скоростей в системе координат kuznetsov072.wmf принимается, что C = Co = const.

Каждый из вихрей возбуждает в струе две составляющие скорости: kuznetsov073.wmf и kuznetsov074.wmf. Движение сначала описывается в системе kuznetsov075.wmf подобно течению, возбуждаемому вихревым слоем длины S, а затем преобразуется в систему координат xOy. При этом длина слоя определяется формулой

kuznetsov076.wmf

где x – проекция дуги S на ось Ox.

Пусть прямолинейные вихри нормальны плоскости kuznetsov077.wmf и расположены вдоль отрицательного направления оси kuznetsov078.wmf на длине –S. Система координат инвертирована по отношению к квадранту (–ξ, O1, –η1), в котором расположен вихревой слой. На расстоянии ξn от начала координат O1 в положительном направлении оси kuznetsov079.wmf располагается участок вихревого слоя того же направления вращения, что и вихревой слой в квадранте (–ξ, O1, –η1). Это обстоятельство вызвано тем, что отрезок кривой S соединяет начало системы координат kuznetsov080.wmf – точку O1 и точку (0, a) координатной системы xOy, а вихревой слой продолжается за пределы точки O1 (рис. 3).

Таким образом, координаты оказываются отрицательными, как и длина кривой S.

В точке пространства kuznetsov082.wmf элемент длиной –ds, расположенный на расстоянии –s от начала координат O1, возбуждает скорость kuznetsov083.wmf, направленную по нормали к радиусу-вектору kuznetsov084.wmf и равную kuznetsov085.wmf где учтено, что величина ds отрицательна.

Вихревой слой имеет напряженность kuznetsov086.wmf отнесенную к длине кривой S.

pic_26.tif

Рис. 3. Индуцирование скоростей непрерывным вихревым слоем конечной длины: kuznetsov081.wmf β1 = π – α1; β2 = π – α2; n(–ξn, –ηn)

Компоненты вектора скорости kuznetsov087.wmf, индуцированной вихревым отрезком ds, равны (рис. 3):

kuznetsov088.wmf

kuznetsov089.wmf

где kuznetsov090.wmf kuznetsov091.wmf kuznetsov092.wmf

Полные компоненты скорости получатся интегрированием по длине слоя от 0 до S.

Компонент, направленный по оси –ξ, равен

kuznetsov093.wmf

где интервал интегрирования начинается от ξn и заканчивается на границе S (рис. 3).

Компонент, направленный по оси –η, равен

kuznetsov094.wmf

Подставляя уравнение вихревого слоя kuznetsov095.wmf в формулы преобразования координат точки конца радиуса-вектора, получим

kuznetsov096.wmf

kuznetsov097.wmf

При известном годографе радиуса-вектора yn = f(xn) функции ξn = f(xn, yn), ηn = f(xn, yn) однозначно определяют величины скоростей uξ и vη, поскольку абсолютная величина вектора индуцированной скорости равна kuznetsov098.wmf а направление определяется величиной kuznetsov099.wmf.

Для определения величин скоростей на оси Ox системы координат xOy примем xn = x, а yn = 0, тогда для формул преобразования координат получим

kuznetsov100.wmf kuznetsov101.wmf

Подстановка этих формул в выражение для uξ позволяет записать

kuznetsov102.wmf

С учетом того, что kuznetsov103.wmf запишем kuznetsov104.wmf или, отбрасывая мнимую единицу, окончательно,

kuznetsov105.wmf

где do = 2ro – диаметр выходного сечения струебразующего насадка.

Полученное выражение с точностью до множителя совпадает с формулой для осевой скорости струи

kuznetsov106.wmf

где φ – коэффициент в формуле А.Я. Миловича [3, 4].

Что касается нормальной составляющей vη, то она ответственна за вовлечение масс жидкости в струю из внешней области.

Таким образом, можно считать доказанным соответствие предлагаемой модели струи классической теории гидравлических струй.

Для упрощения функция скорости может быть определена по величине напряженности kuznetsov107.wmf, которая имеет размерность скорости, поскольку начальная напряженность вихря Co1 отнесена к длине границы струи S.

При точной постановке задачи величина индуцированной скорости должна определяться проектированием компонент скорости uξ и vη в точке на линии (x, –a), расположенной параллельно оси Ox и ниже ее на величину –a.

На этой линии находится слой грунта до размыва при горизонтальной оси струи.

Для наклонной рисбермы следует учитывать угол наклона концевой части, который, по Ц.Е. Мирцхулаве, равен θ [5].

Интерпретация результатов

Получена зависимость для величины продольной скорости потока, сходящего с концевого крепления флютбета от расстояния между крайней кромкой флютбета и нижерасположенным створом, соответствующая классическим зависимостям теории струй и уточняющая значение коэффициента скорости.

Рецензенты:

Мануковский А.Ю., д.т.н., профессор кафедры промышленного транспорта строительства и геодезии, ФГБОУ ВО «Воронежский государственный лесотехнический университет им. Г.Ф. Морозова», г. Воронеж;

Алибеков С.Я., д.т.н., профессор кафедры электроснабжения и технической диагностики, ФГБОУ ВПО «Марийский государственный университет», г. Йошкар-Ола.