Расчёт элементов конструкций с использованием уравнений теории пластичности позволяет лучше использовать прочностные ресурсы материалов и конструкций, создавать экономически более выгодные изделия. Решение полной системы нелинейных уравнений теории пластичности в общем случае представляет собой сложную математическую задачу. Поэтому при определении несущей способности конструкций часто используют так называемые статический и кинематический методы теории предельного равновесия, основоположником которых является А.А. Гвоздев [1]. В данной работе для решения рассматриваемых задач использован кинематический метод.
В работе [2] получены параметрические уравнения гиперповерхности прочности (пластичности) для слоистых гибридных композитных оболочек и пластин в пространстве обобщенных сил Tmi:
(1)
В случае кратковременного статического нагружения, например, эти уравнения принимают следующий вид:
(2)
Здесь и далее Tα ≡ Tαα, Mα ≡ Mαα 
, T3 ≡ T12, M3 ≡ M12, Q31, Q32 – обобщенные силы; 
– скорости соответствующих обобщенных перемещений; hj – толщина j-го слоя; zj – координата срединной поверхности j-го слоя (в системе α1α2z, ось z перпендикулярна поверхности приведения S0 оболочки, рис. 1); z1j < z2j – координаты наружных поверхностей j-го слоя.
Определение несущей способности металлокерамической сферической оболочки выполняем с использованием варианта кинематического метода, описанного в работе [2].
В данном методе предполагается, что разрушение конструкции происходит вдоль отдельных бесконечно тонких слоев, перпендикулярных поверхности приведения S0, а области между ними остаются «жесткими».
Уравнение баланса мощностей имеет следующий вид [2]:
(3)
Здесь lk – длина k-й линии разрушения; m – число линий разрушения; S – площадь поверхности приведения сил; N – мощность внутренних обобщенных сил, приходящаяся на единицу длины линии разрушения; vi – компоненты вектора скорости движения точки оболочки, где приложена сила pi; μ – параметр, пропорционально которому растут внешние нагрузки. По повторяющемуся индексу i (i = 1, 2, 3) производится суммирование.
Предельную поверхность аппроксимируем выпуклым многогранником, i-ая вершина которого определяется вектором 
, k – число вершин аппроксимирующего многогранника. Здесь Ri, Mi – погонные силы и моменты, приложенные к сечению поверхности S0.
На мощности погонных внутренних сил и моментов на концах линий разрушения O1O2 (рис. 1), развиваемые ими на разрывах скоростей соответствующих перемещений и поворотов, согласно постулату Друккера [2], можно наложить следующие ограничения [3]:
(4)
Здесь k1, k2 – количество вершин предельных многогранников, подходящих точкам О1 и О2 соответственно.
Рис. 1. Схема расположения линии разрушения O1O2 на границе абсолютно жёстких конечных элементов
Вдоль линий разрушения используем линейную аппроксимацию функции N. В итоге получаем следующую задачу линейного программирования: найти min m+, где
(5)
при условии
(6)
и при соблюдении ограничений вида (4). Здесь j – номер жесткого элемента; n1 – число жестких элементов, на которые действуют нагрузки, зависящие от параметра m; n2 – число жестких элементов, на которые действуют нагрузки, не зависящие от параметра m. Здесь внешние силы, действующие в пределах отдельного жесткого диска, приведены к его полюсу. Результатом этого являются сосредоточенные силы 
и сосредоточенные моменты 
, приложенные к соответствующим полюсам.
Рассмотрим трёхслойную составную оболочку с относительно небольшой стрелой подъёма, где два наружных слоя стальные, внутренний слой – керамический.
Характеристики слоёв приведены в табл. 1.
С использованием уравнений (2) были построены некоторые сечения гиперповерхности прочности для трёхслойной оболочки (рис. 2, 3, 4). Алгоритм построения аналогичных сечений проведён, например, в [4].
На рис. 5 показана проекция металлокерамической сферической оболочки с радиусом 1,3 м и диаметром опорной окружности 1 м на плоскость XОY (рис. 1), нагруженной в точке 5 сосредоточенной силой, направляющие косинусы которой равны (0,5; 0,5; –0,7071); общая толщина оболочки – 22 мм; опирание – шарнирное по контуру. Здесь же показано разбиение на жёсткие элементы и линии разрушения между ними. Прочностные характеристики слоёв и их толщины приведены в табл. 1.
Таблица 1
|
Номер слоя |
Материал |
Предел прочности на растяжение, МПа |
Предел прочности на сжатие, МПа |
Предел прочности на срез, МПа |
Толщина слоя, мм |
|
1 |
Сталь строительная |
210 |
210 |
121,24 |
1 |
|
2 |
Магнезит |
220 |
2480 |
127 |
20 |
|
3 |
Сталь строительная |
210 |
210 |
121,24 |
1 |
Рис. 2. Сечение гиперповерхности прочности плоскостью T11–T22, (МН/м)
Рис. 3. Сечение гиперповерхности прочности плоскостью М11–М22, (МН∙м/м)
Рис. 4. Сечение гиперповерхности прочности плоскостью Q1–Q2, (МН/м)
Рис. 5. Схема абсолютно жёстких конечных элементов
Таблица 2
|
Номер диска |
vX |
vY |
vZ |
ωX |
ωY |
ωZ |
|
1 |
0,297712912 |
–2,60916E-10 |
0,425199463 |
–1,15351E-09 |
4,008818979 |
2,34017E-09 |
|
2 |
–0,011828885 |
–0,073201254 |
0,153232323 |
1,118379532 |
0,063881829 |
0,03692074 |
|
3 |
–0,112102382 |
0 |
0,295982852 |
0 |
–1,195951323 |
0 |
|
4 |
1,89042E-10 |
–0,327072792 |
–0,820870118 |
3,869618848 |
–2,46112E-09 |
6,83448E-10 |
Рис. 6. Схема перемещений АЖКЭ
В результате решения соответствующей задачи линейного программирования получено значение μ+ = 6,9686 МН. В табл. 2 приведены соответствующие скорости перемещений полюсов жестких дисков vx, vy, vz и их поворотов ωx, ωy, ωz относительно полюсов.
На рис. 6 показаны линии разрушения, построенные с использованием табл. 2.
На рис. 7 приведена схема распределения N вдоль линий разрушения, построенная с использованием табл. 3.
Здесь N1 и N2 являются мощностями, развиваемыми на концах линий разрушения; они имеют размерность МН/с.
Рис. 7. Эпюры N
Таблица 3
|
Номер линии |
N1 |
N2 |
|
1: 1–2 |
1,35805E-09 |
1,57143E-09 |
|
2: 2–3 |
0,074079904 |
0,08811367 |
|
3: 3–4 |
0 |
0 |
|
4: 4–1 |
6,00853E-09 |
3,17175E-09 |
|
5: 5–1 |
7,360269481 |
0,1344356 |
|
6: 2–5 |
0,241773329 |
1,593845102 |
|
7: 3–5 |
0,121253623 |
1,464734888 |
|
8: 4–5 |
0,121157338 |
12,78241597 |
В заключение отметим, что составленные нами соответствующие алгоритм и программа для ЭВМ позволяют достаточно эффективно решать задачи, аналогичные рассмотренной выше.
Рецензенты:
Астащенко В.И., д.т.н., профессор кафедры материалов, технологий и качества, Набережночелнинский институт (филиал) ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет», г. Набережные Челны;
Панкратов Д.Л., д.т.н., профессор кафедры машиностроения, Набережночелнинский институт (филиал) ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет», г. Набережные Челны.