Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

COMPARISON OF TNE ABUNDANCE DYNAMICS OF A SINGLE-SPECIES POPULATION OF GLOBALLY INFORMED BEINGS IN DEPENDENCE ON IMPLEMENTATION OF REFLEXIVITY

Senashova M.Y. 1 Sadovskiy M.G. 1
1 Institute of Computational Modeling of Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences
A model of spatially distributed population is provided with global information access of the beings. These latter occupy two stations, and the migration is a transfer from station to station. Dynamics of a population is compared for two cases: reflexive vs. non-reflexive behavioural pattern. In particular, the dynamics of two subpopulations is compared where the former realizes reflexivity, and the latter does not. Two versions of the models are considered: once reflexive and non-reflexive subspecies are stipulate to comprise a population, and another version stipulates that reflexive beings comprise a discrete subspecies. Both reflexive and non-reflexive subspecies may occupy a station and transfer between them. These transfers are called migration. The model implies the global information access, i.e. the beings knows everything towards environmental conditions in both stations, subpopulations abundancies in both stations, and transfer cost. We study an optimal migration where the migration act is targeted; the migration starts if relevant constrains are met. Numerical simulations were carried out to show that reflexivity has no significant impact on the population dynamics. On the contrary, when rfeflexive and non-reflexive subpopulations are considered as two distinct species, the reflexivity affects the dynamics.
population dynamics
optimization migration
global information access
Ferchulst equation
1. Gorban A.N. Sistemy s nasledovaniem i ehffekty otbora. // Evolyucionnoe modelirovanie i kinetika. Novosibirsk: Nauka, 1992. рр. 40–71.
2. Gorban A.N., Sadovskij M.G. Optimalnye strategii prostranstvennogo raspredeleniya: effekt Olli // Zhurn. obsch. biologii. 1989. T. 50, no. 1. рр. 16–21.
3. Sadovskiy M.G. Matematicheskoe modelirovanie v biologii i himii. Evolyucionnyy podhod. Novosibirsk: Nauka, 1992. рр. 36–67.
4. Sadovskiy M.G., Senashova M.Yu. K probleme modelirovaniya refleksivnogo povedeniya v konflikte na primere biologicheskih soobschestv // Sibirskiy zhurnal industrialnoy matematiki, 2014, V. XVII, no. 2(58), pр. 107–118.
5. Lefebvre V.A. The law of self-reflexion // Reflexive Processes and Control. 2002. Vol. 1, no. 2, pр. 361–391.

Модели динамики биологических популяций являются одним из ключевых инструментов современной экологии, биофизики биологических сообществ, популяционной биологии. Особый интерес представляют модели пространственно распределенных сообществ с миграциями. Мы будем рассматривать модели динамики популяции на основе принципа эволюционной оптимальности [1–4], в которых перемещения особей носят целенаправленный характер и должны максимизировать средний по пространству коэффициент размножения (КР). Будем предполагать, что особи глобально информированы и могут реализовывать рефлексивную стратегию перемещения из стации в стацию. Глобальная информированность означает, что особям известна вся информация о состоянии окружающей среды в месте их пребывания, а также в стации эмиграции, информация о численностях субпопуляций в обеих стациях и цена перемещения (т.е. затраты на перемещение из стации в стацию, выраженные в долях КР). Под рефлексивным поведением будем понимать миграционное поведение особей, которое зависит от миграционного поведения нерефлексирующих особей. Нерефлексирующие особи руководствуются в своем миграционном поведении только параметрами окружающей среды и плотностью субпопуляции в стациях. Выясним, оказывает ли влияние рефлексивное поведение особей на численность популяции. Для этого сравним динамику численности для модели глобально информированных особей без рефлексивного поведения и динамику численности для модели глобально информированных особей с рефлексивным поведением. Рассмотрим также два варианта размножения. Первый вариант – считается, что все особи, не зависимо от информированности, относятся к одному виду. Второй вариант – особи разной информированности будут рассматриваться как подвиды исходного вида.

Модель глобально информированных особей без рефлексивного поведения

Будем рассматривать сообщество, состоящее из одного вида, особи в котором распределены по двум стациям. Ситуацией миграции будем считать перемещение особей из одной стации в другую. Все остальные перемещения внутри стаций, в реальной ситуации неизбежные, миграцией считаться не будут. Будем рассматривать динамику в дискретном времени.

Пусть динамика сообщества в каждой из стаций (в отсутствие миграции) описывается уравнением Ферхюльста

senashova01.wmf

senashova02.wmf (1)

где Nt(Mt) – численность особей в момент времени t в I (соответственно, во II стации); a и c описывают плодовитость, b и d описывают плотностно зависимые факторы саморегуляции. Функции, стоящие в скобках, будем называть коэффициентами размножения (КР) соответственно в первой и второй стации.

Определим условия миграции. Миграция из стации в стацию происходит в том и только в том случае, когда условия существования в стации иммиграции оказываются лучше, чем в стации пребывания, с учетом цены перемещения p. Величина p (0 < p ≤ 1) описывает вероятность перемещения из стации в стацию без ущерба для дальнейшего размножения.

Условие наличия миграции из стации I в стацию II (соответственно из II в I):

senashova03.wmf

(senashova04.wmf,соответственно). (2)

Перемещается такое количество особей Δ, которое обращает неравенство (2) в равенство. Очевидно, что Δ ≤ Nt (либо Δ ≤ Mt). Если на шаге t миграция происходит, то Δ определяется одним из двух соотношений:

senashova05.wmf

либо

senashova06.wmf (3)

Модель (1)–(3) необратима по времени: операция, соответствующая акту миграции, является проектированием. Отметим, что в данной модели миграционный поток однонаправлен. Встречных потоков миграции быть не может.

Еще раз коротко опишем, как работает модель. На каждом шаге времени t проверяются условия возникновения миграции, вычисляется величина миграционного потока Δ и происходит перераспределение особей по стациям. Вычисляются новые численности senashova07.wmf и senashova08.wmf по следующим формулам:

senashova09.wmf

или

senashova10.wmf (4)

Для полученных численностей senashova11.wmf и senashova12.wmf вычисляются численности на шаге t + 1 по формуле (1).

Модель глобально информированных особей с рефлексивным поведением

Перейдем теперь к описанию модели с рефлексивным поведением. Под рефлексивным поведением мы будем понимать такое, при котором одна из сторон конфликта (или взаимодействия) предугадывает или прогнозирует поведение противоположной стороны. Базовые подходы к описанию и моделированию такого поведения были разработаны В.А. Лефевром [5].

Будем предполагать, что популяция у нас делится на два подвида: рефлексирующих особей Rt и нерефлексирующих особей NRt, которые могут быть распределены по обеим стациям. Считаем, что на начальном шаге по времени каждый из подвидов занимает свою стацию, например senashova13.wmf, senashova14.wmf. На следующих шагах по времени численности в стациях являются суммой численностей рефлексирующих и нерефлексирующих особей: senashova15.wmf и senashova16.wmf. Модель при этом меняется следующим образом. Проверяются условия наличия миграции для общих численностей в стациях:

senashova17.wmf

или

senashova18.wmf.

Если какое-то из условий выполнено, определяется величина миграционного потока Δ и происходит миграция нерефлексирующих особей. В случае, если миграционный поток по величине больше, чем численность нерефлексирующих особей в данной стации, то величина миграционного потока приравнивается к количеству таких особей в стации. После этого вычисляются численности senashova19.wmf и senashova20.wmf:

senashova21.wmf senashova22.wmf

или

senashova23.wmf senashova24.wmf

которые сложатся в результате миграции нерефлексирующих особей на данном шаге. Для этих численностей снова проверяются условия существования миграции:

senashova25.wmf

или

senashova26.wmf

В случае если какое-то из условий выполняется, вычисляется величина миграционного потока Δ для рефлексирующих особей и происходит перераспределение по стациям уже этих особей, то есть вычисляются новые численности senashova27.wmf и senashova28.wmf:

senashova29.wmf senashova30.wmf

или

senashova31.wmf senashova32.wmf

Численности на шаге t + 1 вычисляются следующим образом:

senashova33.wmf

senashova34.wmf

senashova35.wmf

senashova36.wmf

То есть численности нерефлексирующих и рефлексирующих особей на шаге t + 1 зависят от общей численности особей в стациях.

Мы также рассматриваем случай, когда рефлексирующие и нерефлексирующие особи при размножении представляют собой отдельные подвиды. В этом случае численности на шаге t + 1 вычисляются по следующим формулам:

senashova37.wmf

senashova38.wmf

senashova39.wmf

senashova40.wmf

p

SN, %

SNR, %

SNRO, %

SRavn, %

SS, %

0,1

8,80934

13,8686

71,5804

5,64206

0,0996

0,2

3,43894

16,6697

74,4578

5,31491

0,118576

0,3

1,80178

21,8464

71,6109

4,61678

0,12416

0,4

1,35586

27,7823

66,7888

3,9427

0,130352

0,5

1,50704

29,9224

65,0931

3,33198

0,145536

0,6

1,89078

27,5213

68,1184

2,29227

0,177216

0,7

2,36827

23,7701

72,1693

1,49742

0,194912

0,8

2,32942

19,2125

77,5926

0,687136

0,178272

0,9

2,33538

16,1955

81,0601

0,195728

0,213248

1

1,74896

19,9887

78,0033

0,040256

0,218848

 

Численные эксперименты

Для сравнения динамики численностей рефлексирующих и нерефлексирующих особей были проведены численные эксперименты. Проводилось сканирование области параметров для следующих значений: a и c изменялись от 2 до 10 с шагом 0,16, b и d изменялись от 0,0001 до 0,0005 с шагом 0,000008, p изменялось от 0,1 до 1 с шагом 0,1. То есть для каждого параметра делалось 50 шагов в интервале его изменения. Для каждого набора параметров количество шагов по времени равнялось 1000 и начальные численности в каждой из стаций равнялись 1000 особей.

Для каждого значения цены перемещения p перебирались 504 наборов параметров a, b, c, d и вычислялись суммарные средние численности по обеим стациям за 1000 шагов по времени. Вычислялись следующие суммарные численности: N – средняя суммарная численность по двум стациям для модели без рефлексивного поведения особей; NR – средняя суммарная численность по двум стациям для модели с рефлексивным поведением; NRO – средняя суммарная численность по двум стациям при условии, что рефлексирующие и нерефлексирующие особи размножаются как отдельные подвиды. Для каждого набора параметров вычислялся максимум среди этих численностей. Для каждого значения p вычислялись: SN – количество максимальных значений для модели без рефлексии, SNR – количество максимальных значений для модели с рефлексией и SNRO – количество максимальных значений для модели с рефлексией и размножением как отдельные подвиды. Таким образом, мы выясняли, какая стратегия поведения особей дает им преимущество по численности для каждого набора параметров. В случае, когда для набора параметров все три средние суммарные численности были равны, вычислялось SRavn – количество совпавших средних суммарных численностей. В случае, когда совпали не все три, а две из средних численностей, вычислялось SS – количество таких случаев. В таблице показано процентное соотношение SN, SNR, SNRO, SRavn и SS к общему количеству наборов параметров (504 наборов) для каждого значения.

Как видно из таблицы, наиболее эффективным с точки зрения средней численности является рефлексивное поведение, когда рефлексирующие и нерефлексирующие особи размножаются как отдельные подвиды. Следующим по эффективности можно считать рефлексивное поведение особей, когда рефлексирующие и нерефлексирующие особи рассматриваются как один вид. Поведение при отсутствии рефлексии является наименее эффективным. Процент наборов параметров, при которых средние численности при различном поведении совпадают, монотонно убывает при росте параметра p.

Рецензенты:

Денисенко В.В., д.ф.-м.н., профессор, ведущий научный сотрудник, Институт вычислительного моделирования СО РАН, г. Красноярск;

Сомова Л.А., д.б.н., ведущий научный сотрудник, Институт биофизики СО РАН, г. Красноярск.