Базовыми математическими выражениями, описывающими термодинамические процессы истечения газа из суживающегося сопла, служат дифференциальные уравнения адиабатного потока идеального газа [5], [9]. Решение этих уравнений позволяет учитывать влияние на параметры потока газа зависимости теплоемкости газа (и коэффициента Пуассона) от температуры газа и позволяет найти возможно точные значения параметров газа.
Однако прикладные задачи для адиабатного потока газа [8], [9], включая истечение из суживающегося сопла, классически решаются по алгебраическим зависимостям с использованием уравнения адиабаты [5]:
pvk = const, (1)
где p – давление газа, v – удельный объем, k – коэффициент Пуассона.
Решение выполняется в предположении, что коэффициент Пуассона имеет постоянное значение, и поэтому результаты решения имеют погрешность.
Это в значительной степени объясняется тем, что (как будет показано далее) дифференциальные уравнения идеального газа [5], [9] не имеют решения в точке критического режима и, следовательно, дают неприемлемую ошибку вычислений в окрестностях критической точки.
В связи с этим в статье предлагается вычисление параметров потока газа через суживающееся сопло с использованием полученного здесь такого дифференциального уравнения, для которого не существует отмеченной выше проблемы, то есть решение дифференциального уравнения будет существовать на всех режимах течения газа (включая критический ) в каждом сечении сопла.
Такое решение задачи позволит:
– вычислять значения параметров газа в любом сечении сопла на всех режимах,
– оценивать погрешность классических методов [5], [8], [9],
– получать результаты с требуемой точностью, если погрешность классических методов окажется велика.
Предлагаемое решение задач течения газа рассчитано на использование вычислительной техники. В связи с этим автором были разработаны необходимые компьютерные программы в среде визуального моделирования Visual Solution (Vissim) [4] и выполнены примеры расчетов.
Задачи для суживающегося сопла решаются с использованием его расчетной схемы, приведенной на рис. 1.
Рис. 1. Расчетная схема суживающегося сопла
Обозначения величин на рис. 1 имеют следующий смысл: p – абсолютное давление газа, Т – абсолютная температура газа, w – скорость газа, j – плотность потока газа, f – площадь проходного сечения сопла.
Индексы на схеме соответствуют значениям величин:
о – в бесконечном объеме перед соплом, где скорость газа wo = 0; 1 – во входном сечении сопла; 2 – в выходном сечении сопла, 3 – в бесконечном объеме за соплом; х – в произвольном сечении, находящемся на относительном расстоянии х от входного сечения.
В качестве базовых уравнений потока идеального газа по каналу (включая суживающееся сопло) можно принять систему дифференциальных уравнений термодинамического закона обращения внешних воздействий [2], которые можно привести к виду:
, (2)
, (3)
, (4)
где Mx – число Маха, kx – коэффициент Пуассона, причем значения Mx и kx зависят от переменной температуры газа внутри сопла.
В уравнениях (2) – (4) площадь проходного сечения сопла fx считается независимой переменной, а величины wx, px и Tx – искомыми величинами.
Поскольку данные дифференциальные уравнения не имеют аналитического решения, для их решения следует применить какой-либо метод их численного интегрирования.
Предварительно уравнения должны быть приведены к форме Коши, то есть записаны в явном виде относительно искомых величин [1], [3], например, уравнение (3):
. (5)
При расширении газа в суживающемся сопле до критического состояния число Маха Mx стремится к 1, и, следовательно, знаменатель правой части уравнения (5) по абсолютной величине будет уменьшаться и стремиться к 0, то есть (Мx2–1) → 0, и правая часть уравнения (13) будет неограниченно увеличиваться.
Таким образом, в точке критического режима и ее окрестности значения параметров потока газа не могут быть вычислены непосредственным решением системы уравнений (2) – (4) [3].
Для преодоления данного препятствия из уравнений (3) и (4) получим следующее уравнение, связывающее изменение температуры и давления газа в сопле:
. (6)
Разделив уравнение (6) на дифференциал времени dt, получим
. (7)
Будем рассматривать давление газа как независимую переменную, изменяющуюся во времени, например, по линейному закону:
px(t) = po – vp t, (8)
где vp – постоянная скорость изменения давления во времени.
Это делается только в целях получения удобного алгоритма решения задачи в среде Vissim, и найденные значения параметров потока газа будут связаны зависимостями, имеющими место для обычной стационарной модели потока идеального газа [2], [5].
Продифференцировав функцию (8), получим
,
и тогда уравнение (7) становится дифференциальным уравнением, в котором все величины являются функциями времени:
. (9)
Интегрируя уравнение (9), можно определить значение температуры газа, соответ-ствующее давлению газа и всем остальным параметрам потока газа.
Параметры газа в объеме перед соплом (po, To), становятся начальными условиями для уравнения (9) при t = 0.
При интегрировании уравнения (9) необходимо брать с предыдущего шага интегрирования значения px и Tx, начиная с начальных условий, а также вычислять коэффициент Пуассона, соответствующий температуре Tx, по формуле [5]
,
где cpx – истинная массовая изобарная теплоемкость газа при температуре Tx, R – газовая постоянная.
Для определения теплоемкости зависимость энтальпии газа от температуры h = h(T) была задана в табличной форме, например [6]. Промежуточные значения энтальпии могут вычисляться любым интерполяционным методом [3]. В данной работе достаточная точность расчетов была достигнута простой линейной интерполяцией.
Истинная изобарная теплоемкость газа при температуре Тx может вычисляться с достаточной точностью численным дифференцированием как
срx = h(Tx+ 0,5) – h(Tx – 0,5).
Остальные термодинамические параметры газа вычисляются по следующим сопутствующим выражениям [5]:
– скорость – 
,
– удельный объем – vx=RTx/px ,
– плотность потока – jx = wx / vx ,
– скорость звука – 
– число Маха – Мx = wx / wax.
Рис. 2. Зависимость термодинамических параметров потока газа от давления газа
Таким образом, данный алгоритм позволяет по известному давлению газа найти его температуру и все остальные термодинамические параметры с учетом зависимости теплоемкости газа и коэффициента Пуассона от температуры на всех режимах истечения газа через суживающееся сопло, включая критический, для которого не существует решения классических дифференциальных уравнений (2) – (4).
Решение задачи для суживающегося сопла заключается в непрерывном интегрировании уравнения (9) и вычислении остальных параметров при уменьшении давления газа от начального значения po.
Графики зависимости термодинамических параметров потока газа от давления газа показаны на рис. 2. По графикам можно сделать вывод, что предложенный метод расчета позволяет отразить все особенности изменения параметров потока газа через суживающееся сопло [5].
Выбор условия окончания процесса вычислений позволяет решить задачи для суживающегося сопла, приведенные в табл. 1.
Примеры расчета параметров критического истечения воздуха по приведенному выше алгоритму на основе решения дифференциального уравнения (9) приведены в табл. 2 (столбцы ДУ).
Для сравнения методов расчета суживающегося сопла, предлагаемого здесь и классического, были выполнены примеры расчета критического истечения газа по классическим выражениям [5]:
– критическое давление в выходном сечении сопла
, (10)
– критический расход газа через сопло
. (11)
Результаты расчета параметров критического истечения воздуха с использованием выражений (10) и (11) приведены в табл. 2 (столбцы КУ).
Сравнение результатов расчета показывает:
– погрешность классического метода (столбец КУ) зависит от начальных параметров газа;
– в примерах погрешность определения мощности потока для истечения воздуха составила:
7,4 % при ро = 10 бар и То = 1750 К; 0,4 % при ро = 10 бар и То = 500 К.
Таблица 1
Задачи расчета термодинамических параметров газа в выходном сечении сопла
|
№ задачи |
Наименование задачи |
Условие остановки процесса вычислений |
|
1 |
Критическое истечение |
Мx ≥ 1 |
|
Расчет параметров при одном заданном: |
||
|
2 |
Задано давление р2 (р2 ≥ р2кр) |
Рx ≤ р2 |
|
3 |
Задана температура Т2 (Т2 ≥ Т2кр) |
Тx ≤ Т2 |
|
4 |
Задана скорость w2 (w2 ≤ wa) |
wx ≥ w2 |
|
5 |
Задана интенсивность потока j2 (j2 ≤ j2кр) |
jx ≥ j2 |
Таблица 2
Результаты примеров расчета параметров критического истечения воздуха. Методы расчета: ДУ – дифференциальные уравнения, КУ – классические уравнения
|
Параметры воздуха перед соплом |
po = 10 бар To = 1500 К |
po = 10 бар To = 500 К |
||
|
Метод расчета |
ДУ |
КУ |
ДУ |
КУ |
|
p2кр, бар |
5,4442 |
5,2828 |
5,2904 |
5,2828 |
|
T2кр, К |
1516,8 |
1458,3 |
418,13 |
416,67 |
|
w2кр , м/с |
754,39 |
772,56 |
409,09 |
410,06 |
|
j2кр, (кг/с)/м2 |
943,44 |
966,18 |
1803,5 |
1807,6 |
|
f2, м2 (задано) |
0,016 |
0,016 |
0,016 |
0,016 |
|
Gкр , кг/с |
15,095 |
15,459 |
28,856 |
28,921 |
|
Pflкр = Gкр w2кр2/2, кВт |
42,953 |
46,133 |
24,146 |
24,315 |
Рис. 3. Пример изменения параметров критического потока газа через суживающееся сопло при линейной зависимости площади сечения сопла от пространственной координаты
На основе расчета термодинамических параметров потока можно решить две задачи при заданном давлении газа за соплом р3 (р3 ≥ р2кр):
– определить расход газа через сопло G = f2 j2, если известна площадь выходного сечения сопла f2,
– определить площадь выходного сечения сопла f2 = G/ j2, если известен расход газа через сопло (G ≤ Gкр).
После определения расхода газа G и площади выходного сечения f2 можно вычислить по этому же алгоритму изменение параметров газа внутри сопла вдоль пространственной координаты x.
Для этого должно быть известно (или задано) изменение площади проходного сечения сопла по пространственной координате, то есть зависимость fx = φ(x). При этом должно выполняться условие fx = φ(1) = f2. Предварительно следует найти обратную функцию x = φ-1(fх) для определения значения координаты x.
Данный расчет выполняется с дополнением алгоритма формулами
fx = G/ jx и x = φ-1(fх).
При этом будут автоматически определены параметры газа (p1, T1, w1) во входном сечении сопла при x = 0 и fx = φ(0) = f1.
Рассмотренный алгоритм представляет собой решение обратной задачи для газового потока, когда сначала при заданном давлении рx определяются параметры газа (Tx, wx и др.), а затем – значения площади сечения fx и координаты x, при которых параметры газа имеют рассчитанные значения.
При выводе результатов расчетов на график целесообразно в качестве абсциссы принять x, как это показано на рис. 3.
Выводы
Предложенный метод расчета процесса истечения газа из суживающегося сопла на основе дифференциального уравнения, связывающего изменение давления и температуры газа:
– позволяет решать задачи истечения идеального газа из суживающегося сопла, в том числе определять параметры газа во всех внутренних сечениях сопла, на всех режимах истечения, включая критический;
– учитывает зависимость теплоемкости газа от его температуры, что может заметно увеличить точность результатов расчета по сравнению с классическим методом;
– использует один и тот же алгоритм для расчета:
– изменения параметров потока внутри сопла,
– показателей процесса истечения на всех режимах, включая критический,
– конструктивных характеристик сопла.
Рецензенты:
Николаев Н.И., д.т.н., профессор, Государственный морской университет имени адмирала Ф.Ф. Ушакова, г. Новороссийск;
Самойленко А.Ю., д.т.н., профессор, Государственный морской университет имени адмирала Ф.Ф. Ушакова, г. Новороссийск.