Рассматривается уравнение
(1)
где m – натуральное число, в конечной односвязной области W, ограниченной отрезками AA0, A0B0, B0B и характеристиками AC, BC уравнения (1).
Обозначим через Ω+ и Ω– части области W лежащие соответственно в полуплоскостях y > 0 и y < 0; Θ0(x), Θ1(x) –аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0), с характеристиками AC и BC соответственно; I = АВ-интервал 0 < x < 1.
Задача. Найти функцию U(x, y) со следующими свойствами:
1) 
2) U(x, y) – регулярное в 
решение уравнения (1);
3) U(x, y) удовлетворяет краевым условиям:
U(0, y) = φ1(y); U(1, y) = φ2(y); U(0, y) = φ3(y); 0 ≤ y ≤ 1, (2)
(3)
где 
причем 
a – вещественное число, 
, 
– операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования.
Пусть U(x, 0) = τ(x); Uy(x, 0) = ν(x). Решение задачи Коши в области Ω– имеет вид [5]
где 
, Γ(z) – гамма функция Эйлера.
Учитывая значения Θ0(x) и Θ1(x) в последнем равенстве, получим
Имеет место
Теорема. В области Ω существует единственное решение задачи (1)–(3), если выполняются условия
(4)
и либо a = ε; 
(5)
и выполняются условия
(6)
(7)
либо a = 1 – ε; δ(x) = ω(x) = 1, (8)
и выполняются условия
(9)
(10)
где 
Доказательство. Пусть выполняются условия (5). Тогда, подставляя найденные значения U[Θ0(x)], U[Θ1(x)] в краевое условие (3), найдем
Откуда, с учетом того, что 
где D0 – единичный оператор, получим
(11)
Преобразуем двойные интегралы, входящие в выражение (11) [4]:
Проделав некоторые преобразования, получим
(12)
Аналогичным образом получаем
(13)
С учетом (12) и (13) уравнение (11) принимает вид
(14)
С учетом выполнения условия (6) перепишем (14) в виде
(15)
где 
Выражение (15) является основным функциональным соотношением между функциями τ(x) и ν(x), принесенным на линию y = 0 из области Ω–.
Докажем, что решение задачи (1)–(3) единственно при выполнении условий (4)–(7) теоремы. При f(x) = 0, с учетом равенства (15), получаем
Проделав некоторые преобразования, заключаем, что I* ≥ 0.
С другой стороны, переходя в уравнении (1) к пределу при y → +0, получаем
(16)
Умножая последнее на τ(x), а затем интегрируя от 0 до 1, с учетом однородных граничных условий, получим
(17)
Учитывая условие 4, имеем I* ≤ 0. Следовательно I* = 0.
Следовательно, ν(ξ) = 0 почти всюду, а так как ν(x) непрерывна по условию, то ν(ξ) = 0 всюду. Отсюда видно, что ν(x) = 0 и при f(x) = 0 следует, что τ(x) = 0.
Таким образом, U(x, y) º 0 в Ω– как решение задачи Коши с нулевыми данными, а в Ω+ как решение задачи (1), τ(x) = 0, U(0, y) = 0; U(1, y) = 0; Ux(0, y) = 0 [1–3]. Отсюда заключаем, что решение задачи (1)–(3) при выполнении условий (4)–(7) единственно.
Для доказательства существования решения задачи рассмотрим уравнение (1) в области Ω+. Получаем задачу (16)
τ(0) = φ1(0); τ(1) = φ2(0); τ′(0) = φ3(0). (18)
Пусть a1(x, 0) = s1; a0(x, 0) = s0; s1, s0 = const ≠ 0. Делая замену неизвестной функции τ(x) в равенстве (16) по формуле
τ(x) = z(x) + g(x), (19)
где
,
и учитывая граничные условия, получим относительно функции τ(x) задачу
(20)
z(0) = 0; z(1) = 0; z′(0) = 0, (21)
где 
Решение задачи (20), (21) относительно τ(x) существенно зависит от корней характеристического уравнения k3 + s1k + s0 = 0. Введем обозначение
Рассмотрим случай, когда 
. В этом случае общее решение (16), (18) можно записать в виде
(22)
где G(x, t) – функция Грина однородной задачи, 
– функция, выраженная через заданные.
С учетом выполнения условий (4)–(7) теоремы исключим τ(x) из (22) и (15). Учитывая условия (6), получим
(23)
где K1(x, t) и F1(x) – функции, выраженные через известные, заданные функции.
При γ1(x) ≠ 0 или, что то же самое c(x) ≠ 0, уравнение (23) есть уравнение Фредгольма второго рода со слабой особенностью в ядре и непрерывной правой частью, безусловная разрешимость которого заключается из единственности решения задачи.
По найденному ν(x) из (15) определяется τ(x), а решение задачи (1)–(3) в области Ω– как решение задачи Коши, а в области Ω+ решение задачи 1 определяется по формуле [5]
где G(x, y, ξ, η) – функция Грина задачи (1), (2), U(x, 0) = τ(x).
Аналогичным образом рассматриваются случаи когда 
и когда 
.
Пусть a1(x, 0), a0(x, 0) ≠ const. В этом случае поставленная задача, аналогично предыдущему случаю, сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно функции ν(x), со слабой особенностью в ядре и непрерывной правой частью, вида
где K2(x, t) и F2(x) функции, выраженные через известные, заданные функции.
Доказательство единственности и существования решения поставленной задачи при выполнении условий (8)–(10) теоремы проводится аналогично.
Рецензенты:
Хачев М.М., д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой высшей математики, ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный аграрный университет им. В.М. Кокова, г. Нальчик;
Аджиев А.Х., д.ф.-м.н., профессор, зав. отделом стихийных явлений, ФГБУ «Волжский гуманитарный институт», г. Волжский.