В N-мерном пространстве S параметров s = {s1, s2, s3, ..., si; i = 1...N} экспериментально измерены значения sj ∈ S, j = 1...M, образующие в нем подмножество A ⊂ S. Данные A ⊂ S являются экспериментальным основанием для формирования экспертного правила прогноза одних параметров η из числа si, i = 1...N, по измеренным другим, обозначаемым ξ: s = ξ×η. Традиционно таким экспертным правилом в задачах промысловой геофизики служат петрофизические зависимости [2], представляющие данные A в форме регрессионных зависимостей одних параметров от других. Такой способ достаточно конструктивен и широко применяется в настоящее время, тем не менее он не учитывает реальные свойства неоднородностей в изучаемых параметрах.
Согласованное с обучающими данными A ⊂ S экспертное правило 
вывода заключения о прогнозируемых параметрах 
из информации об измеренных 
реализуется: определением нечеткого отношения μA(ξ, η) = μA(s) по обучающей выборке A [4] между параметрами η и ξ; представлением конкретных измерений 
в форме нечеткой величины и последующим использованием алгоритма нечеткого логического вывода [5] о величине η.
Нечеткое моделирование широко применяется в нефтегазовой промышленности. К примеру, использование алгоритма ID3 в области машинного обучения, который был применен для выбора эффективных параметров в рамках нечеткой модели и вычислениях их граничных значений [7], а также использование нового подхода к трещинно-пластовым характеристикам, который основан на средствах искусственного интеллекта [1].
Для представления данных A в форме нечетких отношений, а измеренных значений параметра 
, по которым выполняется прогноз, в форме нечетких величин основанием является понятие поле рассеяния.
Полем рассеяния для данных sj ∈ S, j = 1...M назовем функцию Aε(s) в фазовом пространстве, такую, что для каждой подобласти ΔS из разбиения S
(1)
где A(ΔS) – число значений из A ⊂ S, целиком лежащее в ΔS.
Функция принадлежности μA(s) для измеренных значений параметров s ∈ S как нечетких величин есть нормированное к единице поле рассеяния Aε(s):
(2)
Для построения поля рассеяния Aε(s) пространство S покрывается сеткой ΔSk, k = 1...K таким образом, чтобы была покрыта вся область значений параметров из A, 
и ставится задача поиска функции рассеяния по (1):
(3)
Выбирается K(h, s) – базисная система функций, параметризованная вектором параметров h, и ставится задача нахождения Aε(s) в виде
(4)
В данном случае φ(hk), требующая нахождения из (4), функция. Соотношение (4) означает, что поле рассеяния ищется в форме линейной комбинации базовых функций K(h, s), свойства которых определяют принцип для аппроксимации поля рассеяния Aε(s) и функции принадлежности μA(s).
1 метод
В качестве традиционных приемов аппроксимации функции принадлежности используют треугольные трапециевидные и другие априори вводимые зависимости [3]. В отличие от данных приемов для элемента аппроксимации K(h, s) введем принцип максимальной энтропии. В соответствии с этим принципом в качестве элемента аппроксимации была выбрана функция нормального закона распределения [6], в качестве параметра h, в котором служит математическое ожидание:
(5)
где σ2 – второй центральный момент – дисперсия нормального распределения.
Тогда из (4) получаем
(6)
Соотношение (6) интерпретируется как диффузионное рассеяние в бесконечном однородном пространстве параметров точечных источников, расположенных в hk.
2 метод
При этом с аппроксимацией поля рассеяния Aε(s) с помощью функций K(h, s), связанных с фундаментальным решением уравнения диффузии как распределением, имеющим максимум меры неопределенности, могут быть введены и иные аппроксимирующие поля рассеяния функции, также имеющие физическое осмысление конструирования. Например, для выбора K(h, s), являющегося аппроксимирующим элементом поля рассеяния Aε(s), можно воспользоваться принципом равномерного рассеяния информации о значении sj параметра s по мере удаления от значения sj в фазовом пространстве S. Это приводит к обратной пропорциональности K(h, s) от 
:
(7)
Такой вид аппроксимации предполагает равное распределение информации о sj вдоль окружности радиуса 
. По мере удаления от точки sj информация об этом значении распределяется на все большие и большие окружности. В итоге приходим к уравнению
. (8)
По приведенным методам расчета аппроксимации функции принадлежности, принимая в качестве функции поля рассеяния Aε(s) соотношения (6) и (8), проведем вычислительные эксперименты.
Проведенные эксперименты
1 эксперимент. Пусть в результате измерений получено отношение между петрофизическими характеристиками, представленное на рис. 1, а.
а б
Рис. 1. а – отношение между петрофизическими характеристиками; б – карта плотности данных
а б
Рис. 2. а – карта точечных источников с параметром ζ = 0,6; б – карта точечных источников с параметром h = 0,6
На основе отношения петрофизических характеристик была получена карта плотности данных (рис. 1, б), отображающая, сколько данных попало в каждую ячейку сетки.
Затем для каждого метода получена карта точечных источников с минимальным числом источников, удовлетворяющим условию 
. В конкретном примере это число оказалось равным 7 (перебиралось от 7 до 25). Значения в источниках были найдены посредством решения системы линейных уравнений из (6) и (8). Результат представлен на рис. 2, а и б соответственно.
Как видно из рис. 2, карты точечных источников, полученные разными методами, совпадают.
На основании данных карт были рассчитаны поля рассеяния. Ниже приведены примеры с различными параметрами при построении полей рассеяния (табл. 1, 2).
2 эксперимент
Пусть в результате измерений получено отношение между петрофизическими характеристиками, представленное на рис. 3, а. Аналогично эксперименту 1 была построена карта плотности данных (рис. 3, б). Затем была получена карта 9-ти точечных источников ( рис. 3, в).
На основании карты источников были рассчитаны поля рассеяния. Ниже приведены примеры с различными параметрами при построении полей рассеяния (табл. 3, 4).
Таблица 1
Поля рассеяния, полученные с помощью первого метода
|
ζ = 0,4 |
ζ = 0,5 |
ζ = 0,6 |
|
|
|
|
Таблица 2
Поля рассеяния, полученные с помощью второго метода
|
h = 0,4 |
h = 0,5 |
h = 0,6 |
|
|
|
|
а
б в
Рис. 3. а – отношение между петрофизическими характеристиками; б – карта плотности данных; в – карта точечных источников (9 источников)
Таблица 3
Поля рассеяния, полученные с помощью первого метода
|
ζ = 5 |
ζ = 6 |
ζ = 7 |
|
|
|
|
Таблица 4
Поля рассеяния, полученные с помощью второго метода
|
h = 6 |
h = 7 |
h = 8 |
|
|
|
|
Вывод
Проведенные эксперименты демонстрируют достаточно высокую эффективность аппроксимации разброса данных функции правдоподобия в форме нормального закона распределения и уравнений диффузии. Различие свойств аппроксимации не значительно. Следует рекомендовать для формирования правила логического вывода соотношение в форме, основанной на фундаментальных уравнениях диффузии, как наиболее содержательной в физическом смысле.
Рецензенты:
Некучаев В.О., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой физики, ФГБОУ ВПО УГТУ, г. Ухта;
Яковлев С.А., д.т.н., профессор, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина), г. Санкт-Петербург.