На основании фундаментальных отечественных исследований современных тенденций мировой науки, а также опыта работы с одаренными детьми в конце 90-х гг. прошлого столетия, при непосредственном участии ведущих ученых Д.Б. Богоявленской, А.В. Брушлинского, В.П. Дружинина, Н.С. Лейтес, В.Д. Шадрикова, М.А. Холодной и др. была создана рабочая концепция одаренности, которая служит основой методического и теоретического обоснования практической работы с одарёнными детьми.
Согласно этой концепции, одарённость есть интегративное качество личности, которое может проявиться в поведенческих актах ребёнка как субъекта познавательной деятельности: любознательность, любопытство (доминирующая роль познавательной мотивации); поиск новых связей, зависимостей в объекте изучения, поиск новых способов описания объекта и др. (доминирующая роль исследовательской активности); поиск оригинальных решений, создание новых продуктов (доминирующая роль творческой активности); эмоциональное и эстетическое удовольствие от занятий интеллектуальным трудом (доминирующая роль интеллектуальных оценок).
Такой подход к пониманию одарённости, во-первых, позволяет преодолеть односторонние представления о высших способностях как преимущественно интеллектуальных, и, во-вторых, позволяет раскрыть одаренность ребёнка как общее основание творчества. Это с одной стороны. А с другой, – определить стратегические направления поиска необходимых условий в обучении математике, которые бы позволили осуществить целенаправленное выявление и развитие творческого потенциала школьника.
Поскольку у одаренного ребенка познавательная мотивация выражается в форме исследовательской, поисковой активности и проявляется в более низких порогах к новизне стимула, обнаружению нового в уже известном знании [5], то исследовательская деятельность для ребёнка может являться способом проявления его творческого потенциала. Это означает, что систематическое вовлечение школьников в самостоятельный исследовательский поиск является необходимым условием проявления одарённости школьника в обучении математике.
Очевидно, что систематическое использование в обучении математике исследовательского метода меняет характер учебно-познавательной деятельности школьников, а вслед и методы освоения учебного материала. В этой связи задача о роли и месте исследовательского метода в системе методов достижения основных образовательных результатов (формирования математических понятий, обобщения и систематизации изученного, обучения методам математики, обучения методам решения задач и пр.), являясь частью основной проблемы – становится актуальной.
Содержание исследования
В рамках статьи мы остановимся на основных результатах решения проблемы о роли исследовательского метода в системе методов формирования математических понятий.
Опираясь на исследования А.Н. Леонтьева [4], мы выделили этапы формирования математического понятия: ознакомительный, категоризации, систематизации, использования, применения [7].
На каждом из этапов нами выявлены умения, которыми должен владеть ученик в процессе формирования понятия математики и вид исследовательского поиска в его освоении.
На ознакомительном этапе: ученик должен уметь выполнять решение предметной задачи с использованием понятия с помощью образца, предписаний, указаний учителя. На этом этапе у школьника только формируется образ, представление о понятии и степень его понимания – фрагментарна. Следовательно, на ознакомительном этапе проводить полноценное исследование с использованием изучаемого понятия – невозможно. На этом этапе уместно включать учебные задания на поиск закономерностей в задачах, на поиск свойств рассматриваемых объектов математики, на схематизацию в записи задачи, на обоснованность и полноту доказательства и др.
На этапе категоризации: ученик должен уметь выполнять решение предметных задач по аналогии с теми, которые были использованы при объяснении; должен уметь строить алгоритмы действий, предписания к задачам, которые использовались в объяснении материала; должен уметь с помощью учебных заданий выделить логические связи понятия с изученными ранее. На этом этапе у школьника происходит своеобразное обогащение его представлений о понятии. Степень понимания содержания понятия находится в начальной стадии логического обобщения. И знания уровня связей – фрагментарны и не встроены в систему знаний. Следовательно, на этом этапе можно включать учебные задания с элементами исследования: на чтение математических текстов, содержащих верные и неверные решения, на выявление причинно-следственных связей между свойствами объекта, на моделирование аналоговой ситуации, на поиск новых зависимостей, на формулирование свойств и признаков и др.
На этапе систематизации: ученик должен уметь привести пример задачи, в которой используется новое понятие; уметь переносить знание на решение задачи с измененным условием (можно использовать инструкции); уметь привести пример задачи, в которой используются известные приемы, алгоритмы; уметь переносить известные алгоритмы действий на решение задачи с измененными условиями; уметь проследить или построить логическую схему решения математической задачи. На этом этапе представления о понятии становятся более осмысленными, ученик проходит этап переноса понятия в новую ситуацию. Степень понимания содержания понятия характеризуется логически обобщённым пониманием содержания о использовании знания в стандартных ситуациях, и логически необобщённым пониманием использования в незнакомой ситуации. Это как раз тот уровень, когда ученик, к примеру, о методе математической индукции говорит: «метод знаю, а доказать неравенство или тождество с его помощью – не могу». Поэтому на этапе систематизации уместно включать задания на построение контрпримеров, на поиск нарушенных логических связей, на опровержение или обоснование правильности предложенных доказательств и др.
На этапе использования: ученик должен уметь использовать знание в новой ситуации; уметь использовать действия и алгоритмы в новой ситуации; уметь применить логические схемы в новой ситуации самостоятельно или с помощью учебных заданий. Первые два умения находятся в стадии свёртывания. То есть знание проходит этап своеобразного встраивания в систему знаний по математике – логически обобщаются. На этом этапе уместны небольшие учебные исследования на использование изучаемого понятия с разного уровня предпочтений учащихся: исследования реферативного характера, практического, теоретического.
На этапе обобщения: умеет применять понятие в получении нового знания или в исследовании объекта математики: умеет применять действия для открытия нового знания, для исследования объекта математики; умеет использовать правила и способы развёртывания знания о формируемом понятии в новой ситуации. Это заключительный этап формирования понятия, следовательно, знания логически обобщены и встроены в систему знаний учащегося, поэтому он может оперировать этим знанием свободно. На этом этапе уместно привлекать учащихся к самостоятельным учебным исследованиям по математике.
Выявленное содержание учебных исследований на каждом этапе формирования математического понятия позволяет определить приёмы вывода ученика в исследовательскую позицию, определить результат деятельности ученика и обозначить содержание методических средств по организации деятельности ученика.
Построенная теоретическая модель ориентирует направление дальнейшего поиска: необходимо было выявить специфику предметного содержания исследовательских заданий и задач на каждом уровне формирования математического понятия.
В теории и методике обучения математике к исследовательским задачам причисляют задачи, в которых необходимо: найти условия существования некоторого факта математического знания, либо указать сам факт существования некоторого математического объекта, либо определить условия его существования (свойства, признаки и пр.) и др. Однако практика использования математических задач в качестве исследовательских показывает, что не всегда это делается корректно. К примеру, задачу, решение которой описывает алгоритмом поиска корней линейного уравнения вида a∙x = b относительно неизвестной x, в зависимости от параметров a и b, часто относят – к исследовательским. Чтобы разобраться с этим вопросом, проанализируем возможности классификации математических задач.
Согласно исследованиям Ю.М. Колягина, В.И. Крупича и их последователей, информационную структуру задачи можно представить пятью компонентами: S = ⟨A, C, R, D, B⟩, где S – информационная структура задачи; A – условие задачи; B – требование задачи; C – базис решения задачи (теория); D – способ решения задачи; R – основное отношение, реализованное в задаче. На основе количества неизвестных компонентов, входящих в информационную структуру задачи, учёными была разработана типология задач: алгоритмические (известны все или три компонента), полуэвристические (неизвестен способ решения, либо отношения между данными), творческие или эвристические (неизвестен базис и способ решения, либо базис, способ и отношения между данными) [2, 3, 6]. Представленную типологию можно продолжить.
Например. Принимая во внимание требование задачи, можно выделить задачи на вычисление, доказательство, построение, исследование и пр. Но эта типология – не информативна. Как отмечалось выше, задача исследования количества корней уравнения в зависимости от параметра, может носить и алгоритмический характер.
Если принять во внимание C – базис решения задачи, то здесь можно выделить несколько ситуаций:
1) задачи, решаемые средствами одной теории;
2) задачи, сформулированные средствами одной теории, но решаемые с привлечением другой теории;
3) задачи, сформулированные средствами нескольких теорий и решаемые их же средствами;
4) задачи, сформулированные средствами нескольких теорий и решаемые с привлечением дополнительных теорий [1].
Понятно, что выводу ученика в исследовательскую позицию могут способствовать вторая, третья и четвёртая ситуации.
Взяв за основу D – способ решения, можно выделить также несколько ситуаций:
1) задачи, решаемые известными алгоритмами и методами;
2) задачи, решаемые известными методами и алгоритмами, но после выполненных преобразований;
3) задачи, в решении которых используются общие методы и подходы.
Выводу ученика в исследовательскую позицию будут способствовать две последние ситуации.
Очевидно, что такой компонент как A – условие задачи, не несёт в себе методической информации. Но R – основное отношение, реализованное в задаче – может быть известно ученику или нет. К примеру, в задачах на движение, на вычисление площади прямоугольника, на нахождение стоимости – реализовано одно и то же отношение a∙b = c, и в зависимости от того, знает ученик об этом отношении или нет, задача может носить как алгоритмический, так и творческий характер. Понятно, что выводу ученика в исследовательскую позицию может способствовать вторая ситуация. Однако здесь может быть и такая ситуация, когда по модели основного отношения требуется создать продукт. То есть вывод в исследовательскую позицию возможен в двух случаях.
При сопоставлении выделенных характеристик с этапом освоения математического понятия нами была выявлена информационная структура исследовательской задачи. Если эту структуру обозначить за SI; базису, способу решения и основному отношению – присвоить индекс ситуации, то структура SI = ⟨A, Ci, Rj, Dk, B⟩ – реализует модель исследовательской задачи, здесь i = 2, 3, 4; j = 2, 3; k = 1, 2 – обозначают вышеописанные задачные ситуации. Проиллюстрируем вышесказанное при формировании понятия о свойствах площади плоской фигуры.
Специфика исследовательских заданий ознакомительного этапа определяется целью этапа, предполагающего анализ понятия, поиск новых связей и зависимостей, конструирование и изучение новых объектов, зависимостей, закономерностей. Базис и способ задачи – описывается второй ситуацией, соответственно основное отношение может быть дано или найдено. Здесь исследовательская ситуация моделируется структурой задачи SI = ⟨A, C2, Rj, D2, B⟩. Примером задачи, удовлетворяющей модели, может являться следующая: Можно ли вычислить площадь поверхности шара, эллипсоида, имея знания о вычислении площади плоской фигуры (прямоугольник, треугольник)?
Комментарии. Практика использования вышеописанного подхода к построению задачных конструкций показала, что дети с удовольствием занимаются такого рода проектами. При поиске решения учениками были предложены разные подходы. Так, например, Илим К. предложил разрезать поверхность шара по «ширине» (широта на глобусе – замечание М.Т.), на тонкие полоски – почти прямоугольники, площадь которых можно вычислить. Алиса К. предложила покрыть шар почти треугольниками, площадь которых она вычислила. Артём В. предложил покрыть шар ровным слоем краски и заметить – сколько её ушло. Затем покрасить доску таким же количеством краски. Площадь покрашенной доски можно вычислить, значит и площадь шара тоже. После проведённой работы необходимо провести с детьми заключительную беседу о том, что практически каждый из них открыл для себя идеи теории дифференциального и интегрального исчисления.
Выводы
Итак, результаты теоретического и практического исследования тезисно можно представить следующим образом:
1. Одним из основных инструментов выявления и развития одарённости ребенка в обучении математике является исследовательский метод.
2. С целью систематического использования исследовательского метода в обучении математике необходимо определить его роль и место в системе методов достижения основных образовательных результатов.
3. С целью эффективного использования исследовательского метода в системе методов достижения основных образовательных результатов необходимо учитывать специфику исследовательских заданий и задач на каждом этапе обучения.
4. Информационную структуру исследовательской задачи SI = ⟨A, Ci, Rj, Dk, B⟩ можно описать моделью.
Рецензенты:
Жафяров А.Ж., д.ф.-м.н., заведующий научной лабораторией профильного образования, Новосибирский государственный педагогический университет, г. Новосибирск;
Беленок И.Л., д.п.н., профессор, ГАОУ ДПО НСО «Новосибирский институт повышения квалификации и переподготовки работников образования», г. Новосибирск.