Одним из основных элементов адаптивной оптической системы фазового сопряжения является датчик Гартмана. Проводя суммарно-разностную обработку сигналов с выхода квадрантных фотоприемников датчика, получают сигналы, пропорциональные локальным наклонам фазового фронта вида:
, 
, (1)
где S(x, у) – распределение фазы на апертуре оптической системы.
В данной работе на базе математического аппарата кумулянтного анализа получены выражения для плотности распределения и характеристической функции исследуемых случайных величин. Получено выражение для оптимальной оценки величин U^ и V^ на фоне пуассоновских шумов [6, 7, 8, 9].
Пусть на квадрантный фотоприемник одного канала датчика Гартмана падает сфокусированный линзой световой поток малой интенсивности. При наличии наклона фазового фронта для вычисления его величины предполагается суммарно-разностная обработка сигналов:
(2)
где тi – аддитивные пуассоновские шумы; иi – полезный пуассоновский сигнал, соответствующий i-му квадранту фотоприемника.
С учетом того, что как тi так и иi являются пуассоновскими, в дальнейшем целесообразно рассмотреть выражение (2), представленное в виде
(3)
где ni = тi + иi – пуассоновская случайная величина. Примем следующие обозначения:
,
, (4)
где Ni – пуассоновская случайная величина с параметром l.
При этом было учтено, что при отсутствии локального наклона на субапертуре гартмановского датчика интенсивность оптического поля на всех квадрантах фотоприемника одного канала будет равна [1, 2, 3, 4, 5]. Математические ожидания величин nx и ny будут равны:
,
, (5)
где М – символ математического ожидания.
Начальные моменты после несложных преобразований с учетом соотношения (5) запишутся в следующем виде:
,
, (6)
где k1 – коэффициент корреляции случайных величин Ni .
Учитывая природу пуассоновских шумов, коэффициент корреляции необходимо положить равным 0. При дальнейшем рассмотрении нижний индекс случайных величин nx, ny опустим и будем рассматривать случайную величину n.
Моменты случайной величины n порядка k запишутся в следующем виде:
, (7)
где 
– совместные моменты случайных величин N1 и N2 порядка k–p, p.
Здесь и в дальнейшем при обозначении порядка моментов и кумулянтов случайных величин нижние индексы будут соответствовать их порядку, а верхние обозначать соответствующую случайную величину.
Из (7) видно, что все нечетные моменты 
случайной величины п равны нулю. Значения совместных моментов случайных величин N1 и N2 
, входящие в состав выражения (7), для четных 
не могут быть определены в общем случае как нулевые.
В случае независимости двух случайных величин N1 и N2 все их совместные кумулянты будут равны нулю, чего нельзя сказать однозначно о соответствующих совместных моментах. Именно такой случай имеется в рассматриваемой физической задаче. В силу того что регистрация потока фотоэлектронов осуществляется различными фотоприемниками, величины N1 и N2 можно считать независимыми. Поэтому в дальнейшем целесообразно перейти к рассмотрению системы кумулянтов случайной величины n. Они могут быть найдены на основе свойства линейности и инвариантности [3] из выражения (7):
(8)
где 
– кумулянты порядка k случайной величины n, 
– совместные кумулянты случайных величин N1 и N2.
Основываясь на вышеизложенном относительно значений совместных кумулянтов, нетрудно прийти к выводу, что случайная величина n описывается системой только четных кумулянтов:
(9)
Запишем выражение для характеристической функции искомого распределения плотности вероятности:
. (10)
С учетом (9) выражение (10) запишется в следующем виде:
. (11)
Суммируя ряд в квадратных скобках, получим
θ(iv) = exp[2λ(ch(iυ) – 1] =
= exp[2λ(cos(υ) – 1]. (12)
Для получений аналитического выражения плотности распределения преобразуем по Фурье характеристическую функцию (12):
. (13)
С учетом известного выражения для разложения показательной функции в ряд
, (14)
где Jk(z) – функция Бесселя k-го порядка, после несложных преобразований получим
, (15)
где ln(2λ) – модифицированные функции Бесселя k-го порядка, δ – дельта-функция.
Так как случайная величина n принимает только дискретные значения ± n, окончательное выражение для искомой плотности запишется в следующем виде:
. (16)
Легко видеть, что полученная плотность (16) нормирована с весом 1. Просуммировав выражение (16) по всем индексам k, получим
. (17)
Очевидно, что в случае наличия наклона фазового фронта кружок Эйри на квадрантном фотоприемнике будет смещен, при этом параметры пуассоновских распределений, соответствующих случайным величинам N1 и N2, не равны
, (18)
где λ – параметр распределения случайной величины N1, μ – параметр распределения случайной величины N2. В этом случае
. (19)
Для системы кумулянтов случайной величины n в общем случае будет верно выражение (8). Все совместные кумулянты в силу независимости оптических сигналов в каналах датчика Гартмана равны нулю. Нечетные кумулянты x2k–1 равны λ – μ, четные кумулянты x2n равны λ + μ. Это связано с тем, что (– 1)k при четных k и выражении (8) дает только положительные члены, а при нечетных k – знакочередующиеся. С учетом этого характеристическая функция такого распределения запишется в следующем виде:
. (20)
С учетом разложения функций cos u и sin u в степенной ряд запишем
. (21)
Используя известные соотношения для функций Бесселя [4], будем иметь
. (22)
Для нахождения аналитического выражения для плотности распределения случайной величины п преобразуем по Фурье полученную характеристическую функцию (22):
. (23)
В результате интегрирования этого выражения получим
. (24)
Для фиксированных значений случайной величины n, а именно этот случай нас интересует в конечном итоге, исходя из физической постановки задачи при p – m = k, имеем
. (25)
Для получения оптимальной оценки величины λ – μ необходимо вычислить логарифм отношения правдоподобия. Для этого преобразуем полученную плотность (25) в соответствии с теоремой умножения функций Бесселя:
. (26)
Положим, y = i(λ/μ)0,5, z = 2μ, тогда
. (27)
Для определения отношения-правдоподобия разобьем интервал регистрации сигнала на выходе датчика Гартмана t на ряд элементарных подинтервалов длительностью ti, i = 1,…r. Процесс появления фотоэлектронов на отдельных подинтервалах является статистически независимым. Совместное распределение на всем интервале τ можно представить в виде произведения соответствующих одномерных плотностей распределения. Многомерную плотность распределения запишем в следующем виде [10, 11, 12]:
. (28)
Оптимальную оценку λ + μ получим из решения уравнения вида
, (29)
где
.
При λ, μ < 0 функции Бесселя можно представить в виде:
. (30)
Тогда, подставив (28), (30) в выражение (29), после несложных преобразований получим
, (31)
где ki – отсчеты фотоэлектронов в i-й момент времени на выходе датчика Гартмана.
Вместо λ и μ можно использовать их оценки. Так как λ и μ по определению являются пуассоновскими величинами, то их оценки могут быть получены известными методами.
Выводы
В результате проделанных аналитических выкладок получено выражение (31) для оптимальной в статистическом смысле оценки сигналов на выходе датчика Гартмана адаптивной оптической системы фазового сопряжения. Плотность распределения сигнала на выходе датчика Гартмана в случае отсутствия наклона фазового фронта является симметричной и унимодальной. Однако при этом она существенно отличается от гауссовой вследствие неравенства нулю высших кумулянтов. При регистрации в обоих каналах сигналов различной интенсивности плотность распределения остается унимодальной, однако смещается по оси абсцисс, и оптимальная оценка сигнала на выходе системы должна находиться в виде (31).
Рецензенты:
Звездина М.Ю., д.ф.-м.н., доцент, заведующая кафедрой «Радиоэлектроника», Минобрнауки России, ФГБОУ ВПО «Донской государственный технический университет», г. Ростов-на-Дону;
Габриэльян Д.Д., д.т.н., профессор, заместитель начальника научно-технического комплекса «Антенные системы» по науке, Федеральный научно-производственный центр ФГУП «РНИИРС», г. Ростов-на-Дону.
Работа поступила в редакцию 15.04.2015.