В процессе рудоподготовки горные породы проходят несколько стадий: дробление, измельчение, грохочение.
Грохочение предназначено для разделения продуктов по классам крупности путем просеивания через одно или несколько сит, иначе – классификации материала по крупности [4].
Осуществляется данный процесс при помощи вибрационного грохота, представляющего собой колебательную систему из двух масс: с установленным на нем коробом с плоской рабочей поверхностью, имеющей отверстия, на которой осуществляется процесс рассева материала по классам крупности, и опорной рамы, связанной с ним упругими элементами [7].
Анализ работы вибрационных грохотов показал, что наклон плоскости рабочей поверхности существенно влияет на эффективность грохочения [5].
Для исследования влияния угла наклона рабочей поверхности φ целесообразным является составление математической модели поведения одной частицы на поверхности пассивного (без колебаний) грохота, включающей уравнения свободного полета рудной частицы и ее удара о наклонную плоскость.
Если частица брошена вниз на неподвижную поверхность наклонного грохота без начальной скорости c высоты h, то в момент удара о поверхность
(1)
где g – ускорение свободного падения, м/с2 (сопротивлением воздуха пренебрегаем).
Частица при этом падает вертикально, и поэтому в момент соприкосновения с наклонной плоскостью вектор скорости падения V0 составляет угол φ с нормалью к этой плоскости (рис. 1). Таким образом, при первом ударе частицы о плоскость угол падения α0 = φ. Величину скорости после удара Ui и угол отражения βi при произвольном ударе «i» определяем из системы уравнений, определяющих коэффициенты восстановления и трения [6], а также уравнений теоремы об изменении количества движения [1]:
(2)
где m – масса частицы.
Рис. 1. Кинематические и силовые параметры при ударе
При этом коэффициент восстановления
(3)
Коэффициент трения при ударе
(4)
где SN, SТР – импульс нормальной реакции и сила трения.
Решая систему уравнений (2)–(4), получаем
(5)
(6)
После отражения частицы от поверхности грохота происходит ее свободный полет. Если пренебречь силами сопротивления движению, уравнения свободного полета в системе координат, связанной с наклонной поверхностью грохота, можно получить из соотношений кинематики равнопеременного движения [1]. Поскольку ax = gsin φ, ay = –gcos φ, то эти уравнения имеют вид
(7)
где t – текущее время:
(8)
Дальность полета li вдоль поверхности грохота до следующего удара находим, исключив из системы уравнений (7) параметр t, при условии, что y = 0.
(9)
Проекции скорости частицы в момент следующего удара определяем дифференцированием уравнений (7):
(10)
для t, определяемого уравнением (8). Угол падения при этом составит
(11)
а величина скорости падения
(12)
После отражения частицы от поверхности грохота происходит ее свободный полет, затем снова удар и т.д. Если при этом в один из ударов угол падения меньше некоторого критического αn, произойдет проваливание частицы сквозь решетку грохота (рис. 2).
Критический угол можно определить по формуле
(13)
где D – диаметр частицы; d – диаметр прута решетки; ΔL – ширина щели решетки грохота.
Весь процесс многократного чередования свободного полета с ударами до прохождения частицы сквозь решетку возможно смоделировать на компьютере. При этом, варьируя начальные условия и другие переменные, возможно подобрать наиболее рациональные параметры установки.
Численные расчеты по приведенным формулам проведены для величин коэффициентов восстановления и трения при ударе горных пород. приведенных в работе [3].
Результаты расчетов для усредненных значений k = 0,47, f = 0,09 (удар о стальную поверхность) приведены в таблице ниже.
Анализируя приведенные результаты, можно заметить, что значение углов падения при очередных ударах не зависит от высоты h, с которой происходит загрузка материала. При этом если не произошло просеивания частицы под решетку грохота, то вероятность просеивания с увеличением количества ударов уменьшается. Это следует из того факта, что угол падения частицы на поверхности грохота от удара к удару увеличивается. Увеличивается также и угол отражения частиц, что свидетельствует о постепенном переходе режима с многократными ударами в режим скольжения по поверхности грохота. При малых углах наклона плоскости φ величина скоростей падения и отражения убывает от удара к удару, а при больших – возрастает. При этом дальность полета частицы вдоль плоскости убывает независимо от угла ее наклона. Один из вариантов расчета является особым случаем движения частицы – вариант, соответствующий углу наклона плоскости φ = 5°. Последовательный ряд значений углов падения в таблице не приведен полностью, однако расчеты показывают, что αо = 5°, α1 = 4,6°, α2 = 3,9°, α3 = 2,3°, т.е. эти значения убывают. Таким образом, если размер частицы меньше размера ячейки решетки грохота и при первых ударах частица не прошла сквозь решетку грохота, то при следующих ударах это все равно произойдет [2]. Для величины коэффициента трения при ударе f = 0,09, при котором производился данный расчет, это значение угла соответствует значению угла трения (tg 5° = 0,87).
Движения частицы относительно неподвижной поверхности грохота отличаются от движения частицы при его вибрации. Поэтому уравнения (2)–(6), описывающие процесс удара, следует привести к виду, соответствующему относительному движению частицы. Для моделирования движения частицы относительно вибрирующего грохота на этапе свободного полета необходимо учесть переносные силы инерции, содержащие ускорения поверхности грохота.
Рис. 2. Схема прохождения частицы сквозь решетку грохота
Результаты расчетов кинематических параметров рудных частиц при ударе о рабочую поверхность грохота
|
φ, град. |
Номер удара |
α, град. |
V, м/с |
β, град. |
U, м/с |
l, м |
|
h = 0,25 м |
||||||
|
5 |
0 1 |
5 4,6 |
2,21 1,1 |
–5,1 –6,4 |
1,1 1,0 |
–4.10–4 –5.10–5 |
|
15 |
0 1 2 3 |
15 39,6 63,6 77,6 |
2,21 1,29 1,05 1,02 |
16 56 76 84 |
1,04 0,83 0,91 0,97 |
0,12 0,08 0,04 0,02 |
|
30 |
0 1 2 3 |
30 64,9 78,9 85,5 |
2,21 2,08 2,30 2,43 |
44 76 85 88 |
1,23 1,81 2,21 2,40 |
0,28 0,21 0,10 0,05 |
|
h = 0,5 м |
||||||
|
15 |
0 1 2 3 |
15 39,6 63,6 77,6 |
3,13 1,83 1,49 1,45 |
16 56 76 84 |
1,48 1,18 1,29 1,38 |
0,24 0,16 0,08 0,04 |
Опишем движение вибрирующей поверхности грохота двумя координатами (X, Y), считая это движение поступательным (рис. 3). Тогда проекции скорости 
, а ускорение 
Поэтому проекция на нормаль относительной скорости частицы перед ударом выглядит следующим образом: 
а после 
Рис. 3. Схема удара частицы о вибрирующую поверхность
Соответственно коэффициент восстановления после удара определится через составляющие относительной скорости:
(14)
Направление силы трения зависит от направления относительной скорости частицы. Поэтому если 
то сила трения направлена против оси X, а уравнения (4) остаются с теми же знаками. Если 
то трения нет вообще. Если 
то трение – в направлении оси X, т.е. в уравнении (4), куда оно входит, поменяется знак.
Обозначая угол наклона поверхности через φ, запишем дифференциальные уравнения относительного движения частицы в проекциях на оси X и Y:
(15)
отсюда получим
(16)
Таким образом, исследование движения рудной частицы сводится к численному моделированию многократного чередования ударов этапов их свободного полета с учетом переносного движения поверхности грохота.
Рецензенты:
Кожушко Г.Г., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой подъемно-транспортных машин и роботов, ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина», г. Екатеринбург;
Неволин Д.Г., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой проектирования и эксплуатации автомобилей, ФГБОУ ВПО «Уральский государственный университет путей сообщения», г. Екатеринбург.
Работа поступила в редакцию 09.02.2015.