Для расчета нестационарной концентрации солей в трещине произвольного сечения автором предлагается приближенный метод, основанный на совместном применении интегральных преобразований и вариационных методов.
Предположим, что ось и образующая трещины перпендикулярны к плоскости х, у, т.е. совпадают с направлением оси z. В сечениях, параллельных плоскости х, у, тело имеет постоянную геометрическую форму области D. Обозначим через Г границу области D, тогда Г служит направляющей цилиндрического тела. В частности, если границей области D будет окружность, то получаем обычный круговой цилиндр.
Пусть замкнутая кривая Г аналитически выражается уравнением
F(x, y) = 0. (1)
В этом случае задача нестационарной концентрации при переменных коэффициентах записывается в следующем виде:
(2)
(3)
(4)
где x′, y′ – координаты точки на кривой Г;
– коэффициент диффузии вещества, м2/с. Применим к уравнению (2) и граничным условиям (4) преобразование Лапласа, тогда
(5)
(6)
где 
При этом мы предположили, что замена порядка интегрирования по времени t и дифференцирования по времени x, y оправдана.
Пусть
(7)
тогда уравнение (5) принимает вид
(8)
Определим функцию 
, непрерывную и дифференцируемую до второго порядка в области D, которая на границе Г удовлетворяет условиям (5). Далее введем вспомогательную функцию 
, определяемую равенством
(9)
Для функции 
из уравнения (5) и условия (4) получаем
(10)
(11)
где
(12)
Для определения приближенного значения функции 
граничной задачи (10), (11) можно применить один из вариационных методов – метод Бубнова – Галеркина [4]. Пусть нами выбрана система координатных функций
(13)
которая удовлетворяет нулевым граничным условиям (12), т.е.
Приближенное решение граничной задачи (10), (11) будем искать в семействе функций вида
(14)
Для уравнения (10) составим невязку при 
:
(15)
которая, вообще говоря, отлична от нуля в области D (в противном случае 
будет точным решением граничной задачи). Для определения коэффициентов 
при которых невязка εn наименее уклонялась бы от нуля, следуя методу Бубнова –Галеркина, потребуем ортогональность невязки ко всем координатным функ-
циям (13) [4]:
(16)
или
(17)
где 
(18)
Можно показать, что система (17) единственным образом определяет коэффициенты 
, когда координатные функции (13) линейно независимые [5].
Пусть эти коэффициенты найдены, тогда в области оригиналов решение (14) запишется в форме
(19)
где 
Приближенное поле концентрации исходной краевой задачи запишется формулой
(20)
В этом заключается метод совместного применения интегрального преобразования и вариационного исчисления к задачам с переменными коэффициентами.
Остановимся на методе подбора системы координатных функций ψk(x, y) (k = 1, 2, ..., n). В качестве функций ψk(x, y) можно брать различные комбинации тригонометрических функций или полиномов. При таком выборе системы координатных функций доказывается полнота системы (13) и сходимость приближенного решения к точному [4].
Пусть нами подобрана функция
ψ0(x, y) > 0, непрерывная внутри области D и равная нулю на границе Г. Тогда в качестве основной системы координатных функций можно принять:
ψ1(x, y) = ψ0(x, y);
ψ2(x, y) = ψ0(x, y)x;
ψ3(x, y) = ψ0(x, y)y; ..., (21)
таким образом, выбор системы координатных функций сводится по существу к определению функции ψ0(x, y). Для улучшения сходимости приближенных решений предлагаем выбор функции ψ0(x, y) связать с геометрической формой (уравнением) границы области D. Так, например, для прямоугольника [–a ≤ x ≤ a, –b ≤ y ≤ b] следует брать
ψ0(x, y) = (a2 – x2)(b2 – y2) > 0.
Для окружности с центром в начале координат (x2 + y2 = R2):
ψ0(x, y) = R2 – x2 + y2 > 0.
Если уравнение кривой Г имеет вид
F(x, y) = 0, то
ψ0(x, y) = ±F(x, y) > 0.
Ниже будут рассмотрены задачи нестационарной концентрации цилиндрических тел с прямоугольным, треугольным и параболическим сечениями при постоянных коэффициентах [1–3].
1. Пусть областью D является часть плоскости x, y, ограниченная линиями x = 0, y = 0, x = l, y = b. Приближенное решение (20) граничной задачи (10), (12) в области оригиналов запишется в данном случае так:
(22)
Определим решение в первом приближении, когда
φ(x′, y′, t) = 0
и
f(x, y) = C0 = const.
Из системы (17) при n = 1 получим
где
Следовательно,
Относительное поле концентрации в первом приближении запишется формулой
(23)
Дальнейшие вычисления коэффициентов 
показывают, что решения во втором и третьем приближениях совпадают с первым.
Пусть l = b = 2c (квадратная трещина), тогда
(24)
где 
– критерий Фурье; 
Из формул (23), (24) легко построить поверхности изоконцентрации внутри тела (прямоугольный, рис. 1, а и квадратный, рис. 1, б) для любого момента времени.
а б
Рис. 1. Поверхности изоконцентрации при q = 0,1; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 и Fo = 0,08
а б
Рис. 2. Поверхности изоконцентрации внутри трехгранного тела и цилиндрического тела с параболическим сечением при Fo = 0,08, рассчитанные по формулам (26), (29)
2. Пусть областью D (рис. 2, а) является треугольник со сторонами x = 0, y = 0, x + y = l.
Решение исходной задачи для случая φ(x′, y′, t) = 0 и f(x, y) = C0 = const в первом приближении принимает вид
(25)
где 
Полагая l = 2c, получаем
(26)
где
0 ≤ θ1 ≤ 1.
Сравнивая формулы (26) с формулой (24), можно отметить, что темп растворения трехгранного тела (exp(–14Fo)) значительно выше, чем у квадратного (exp(–5Fo)). Это объясняется тем, что при равной концентрации количество аккумулированного вещества в первом теле в два раза меньше, чем во втором. В то же время поверхности концентрации на 1 пог. м для этих тел соответственно равны 
, т.е., несмотря на то, что объем первого тела в два раза меньше, чем у второго, их поверхности концентрации почти равны между собой.
3. Цилиндрическое тело с параболическим перпендикулярным сечением. Пусть область D (рис. 2, б) ограничена линиями y = kx2 и y = h (–b ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ h). Приближенное решение краевой задачи, когда на границе поддерживается нулевая концентрация, в области изображений ищем в виде
(27)
где
Поле концентрации внутри цилиндрического тела с параболическим сечением в первом приближении запишется следующей формулой:
(28)
Положим а = 1, b = 1, h = 2c, тогда из (28) получим
(29)
Следовательно, предложенный метод дает возможность решить задачи нестационарного поля концентраций для цилиндрических тел с другими «неклассическими» профилями перпендикулярного сечения.
Рецензенты:Агаханов Э.К., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Автомобильные дороги, основания и фундаменты», ФГБОУ ВПО «Дагестанский государственный технический университет», г. Махачкала;
Рамазанов А.-Р.К., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой математического анализа, Фгбоу ВПО «Дагестанский государственный университет», г. Махачкала.
Работа поступила в редакцию 02.12.2014.