На машиностроительных заводах для обеспечения и постоянного подтверждения высокого качества серийных машин создаются многоэтапные системы контроля и испытаний, охватывающие все стадии производства, включая материалы, детали, узлы, подсистемы и машины в целом. Однако в мировой практике машиностроения хорошо известны случаи, когда приостанавливается эксплуатация больших партий машин из-за обнаружения дефектов, пропущенных на заводе при испытаниях и контроле.
Система контроля и испытаний должна быть технически эффективной. Иными словами, она должна обладать свойством хорошо обнаруживать дефекты. Следовательно, в качестве показателей эффективности системы должны быть выбраны параметры, количественно оценивающие это свойство.
Показатели эффективности системы должны обладать: полнотой, ясным физическим смыслом, простотой расчетов, устойчивостью, чувствительностью к управляемым и малой чувствительностью к неуправляемым параметрам, учитывать случайный характер условий функционирования.
Показатели должны характеризовать эффективность процесса испытаний, а не отдельной его реализации, поэтому в качестве показателя эффективности контроля и испытаний должна фигурировать вероятность выполнения задачи, т.е. вероятность того, что дефекты изделия в процессе контроля и испытаний будут обнаружены.
Время «жизни» τ дефекта до его обнаружения является случайной величиной, т.к. выявление дефекта - случайное событие, что подтверждается опытом контроля и испытаний.
Это дает основание представить обнаружение дефектов в виде последовательности событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени, т.е. в виде потока событий. Практика контроля и испытаний показала, что этот поток является стационарным пуассоновским.
На этой основе рассмотрим показатели, количественно характеризующие способность системы к обнаружению дефектов. Дефект не может быть обнаружен до начала контроля и испытаний, которые начинаются в момент t = 0, и остаётся необнаруженным до случайного момента t = τ, когда происходит его обнаружение. При такой модели контроля и испытаний показатели, характеризующие способность системы обнаруживать дефект, определяются характеристиками случайной величины τ - временем до обнаружения дефекта.
Обозначим функцию распределения величины τ через
(1)
которая представляет собой вероятность обнаружения дефекта.
Плотность вероятности обнаружения дефекта обозначим через
. (2)
Поскольку полная группа событий при контроле состоит из обнаружения и необнаружения дефекта, то функция вероятности необнаружения дефекта есть
(3)
Функции W(t), ω(t), S(t) исчерпывающе характеризуют случайную величину τ. На их основе может быть введен еще ряд важных показателей. Условная плотность вероятности обнаружения дефекта определяется для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента дефект не был обнаружен, и может быть названа интенсивностью обнаружения дефектов. По определению она связана с плотностью вероятности обнаружения дефекта выражением
.
Значение интенсивности обнаружения дефектов характеризует средства и методы контроля и испытаний. Совершенствование средств и методов ведёт к увеличению интенсивности обнаружения дефектов. В случае, если они не изменяются в течение всего времени испытаний, то θ (t) = θ = const, а выражения (3) и (1) примут вид
(4)
(5)
Среднее время до обнаружения дефекта является математическим ожиданием случайной величины τ и может быть получено в виде
Т0 = 1/θ.
Функции S(t), W(t), θ(t) и T0 всесторонне характеризуют случайный процесс обнаружения дефектов при контроле и испытаниях, зависят от характеристик средств контроля и испытаний и от затраченного времени, а следовательно могут быть приняты за показатели его технической эффективности. При этом они отвечают основным требованиям к показателям эффективности, перечисленным выше.
Реальные процессы контроля качества включают в себя ряд последовательных этапов контроля и испытаний: на уровне деталей, узлов, подсистем и машины в целом.
Для такого процесса, состоящего из К этапов, когда каждый этап характеризуется собственным значением интенсивности обнаружения дефектов, причём на каждом контрольном этапе эта величина не изменяется, т.е. θi(t) = θi = const.
, (6)
(7)
В выражениях (6) и (7) предполагается, что полное время контроля
, а 
.
В соответствии с (6) и (7) достигнутые после проведения i-того этапа вероятности необнаружения Si и обнаружения дефектов Wi представим в виде выражений
;
,
где Si-1 - достигнутая к началу i-го этапа вероятность необнаружения дефекта.
Техническая эффективность каждого этапа системы контроля и испытаний машин может быть оценена как разность достигнутых к началу и концу исследуемого этапа значений вероятностей необнаружения и обнаружения дефектов, то есть
; (8)
. (9)
При отсутствии контроля до i-го этапа вероятность необнаружения дефектов на (i-1)-ом этапе Si-1 = 1. В этом случае
; (10)
. (11)
Выражения (6) и (7) являются показателями эффективности многоэтапной системы контроля и испытаний серийных машин в целом, а выражения (8), (9), (10) и (11) - показатели конкретных этапов системы.
Оценки показателей эффективности могут быть получены статистически по числу дефектов, выявленных на каждом из этапов и в эксплуатации. После проведения К этапов контроля и испытаний совокупности машин, состоящей из N изделий, выявляется и устраняется 
дефектов, где di - число дефектов, обнаруженных на i-ом этапе контроля.
Из-за несовершенства контроля некоторое число dЭ дефектов не выявляется и при эксплуатации машин переходит в такое же число отказов.
Пусть все изделия совокупности использованы в период гарантийной эксплуатации (по сроку или по ресурсу) и в них выявлено dЭ отказов. Эта информация постоянно поступает к производителю в виде рекламаций. Тогда можно получить статистическую оценку общего числа дефектов.
.
Аналогично можно получить оценку количества дефектов 
в совокупности, не выявленных к началу i-го этапа контроля. При di>10 и 
статистическая оценка интенсивности обнаружения дефектов на каждом этапе с некоторым приближением может быть определена как
.
После проведения К этапов контроля получаем следующие статистические оценки показателей эффективности:
; 
.
Рассмотренное математическое описание многоэтапного процесса было разработано для одного из машиностроительных заводов, где успешно применялось при модернизации системы контроля и испытаний на основе предложенных показателей эффективности.