Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,441

ANALOG OF THE FRANCL PROBLEM FOR THE MIXED SECOND ORDER EQUATION WITH VARIABLE COEFFICIENTS AT YOUNGER MEMBERS

Laypanova A.M. 1 Zheldasheva A.O. 2 Lesev V.N. 2
1 Moscow State University of Communications
2 Kabardino-Balkar State University. KhM Berbekova
В работе поставлена и исследована краевая задача типа задачи Франкля для обобщенного смешанного уравнения параболо-гиперболического типа с переменными коэффициентами при младших членах в конечной односвязной области. Для исходной задачи была сформулирована и доказана методом «abc» теорема единственности. Выполнение условий этой теоремы обеспечивает тривиальность соответствующей однородной задачи, что и гарантирует единственность решения исследуемой краевой задачи в целом. Доказательство существования явного аналитического решения задачи проведено для одного частного случая исходного уравнения. При этом были использованы метод функций Грина и метод интегральных уравнений. В результате определены условия, при которых вопрос разрешимости задачи в требуемом классе функций может быть эквивалентно редуцирован к вопросу разрешимости соответствующего интегрального уравнения.
In the paper we investigate the unique solvability of the boundary value problem for the generalized Frankl mixed parabolic-hyperbolic type with variable coefficients of the lower terms in a finite simply connected domain. The theorem of uniqueness of the solution of the investigated problem has been formulated and proved by the method of «abc». The conditions of this theorem provides the corresponding homogeneous problem is trivial, and that guarantees the uniqueness of solutions investigated boundary-value problem in general. Proof of the existence of explicit analytical solutions is carried out for one particular case of the original equation. At the same time were used Green’s function method and the method of integral equations. As a result, the conditions under which the question of the solvability of a class of functions required can be reduced is equivalent to the solvability of the corresponding integral equation.
Frankly problem
mixed equation
«abc» method
the single-valued solvability
1. Eleev V.A., Laypanova A.M. On the existence and uniqueness of solutions of F.I. Frankl equation for mixed hyperbolic-parabolic type // News KBSC RAS. 2000. no. 2 (5). рp. 50–56.
2. Eleev V.A., Lesev V.N. Two boundary value problems for mixed equations with perpendicular lines change the type // Vladikavkaz Mathematical Journal. 2001. T. 3. no. 4. рp. 9–22.
3. Laypanova A.M., Lesev V.N. On the unique solvability of the boundary value problem for second-order model equation // Proceedings of the North Caucasus State Technical University. Series: Natural Sciences. 2007. рр. 31.
4. Lesev V.N., Zheldasheva A.O. Nonclassical boundary value problem for a mixed model equation with nonlocal conditions conjugation // Proceedings Sworld. 2012. T. 2. no. ​​3. рp. 99–104.
5. Lesev V.N., Zheldasheva A.O. Nonclassical boundary value problem for a mixed second-order equation with integral conditions conjugation // Proceedings of the Smolensk State University. 2013. no. 3 (23). рp. 379–386.
6. Pskhu A.V. Frankl problem for equations of mixed type. Ph. D.. diss. Nalchik, SRI PMA KBNSC RAN, 1999.
7. Smirnov MM Mixed-type equation. – Moscow: Higher School, 1985. 304.

В связи с появлением все новых приложений уравнений смешанного типа теория краевых задач для них в последние годы получила новый импульс развития. При этом существенную роль в приложениях занимают краевые задачи для параболо-гиперболических уравнений (например [1–5]), отличающиеся от иных в первую очередь специальными методами, применяемыми при их исследовании. Говоря о задаче Франкля и ее аналогах для смешанных параболо-гиперболических уравнений, следует отметить, что их изучение не носит систематического характера, несмотря на значительную важность подобных исследований [6].

В настоящей работе представлено доказательство единственности решения аналога задачи Франкля для смешанного параболо-гиперболического уравнения с переменными коэффициентами, а также доказано существование частного аналитического решения.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

laypan01.wmf (1)

в конечной односвязной области Ω евклидовой плоскости независимых переменных x, y, ограниченной отрезком A′A оси x = 0; –1 ≤ y ≤ 1; отрезками B′B, AB прямых x = ℓ, y = 1; характеристикой A′Cm:

laypan02.wmf

уравнения (1), где A′(0, –1), C(ℓ1, 0) ℓ1 ≤ ℓ и отрезком CB′ оси x, ℓ1 ≤ x ≤ ℓ, ℓ1 = 2/(m + 2).

Обозначим через laypan03.wmf; OP – часть характеристики уравнения (1), исходящей из точки O(0,0) до пересечения с A′C в точке P; Ω2 – область, ограниченная кривыми OP, PC и OC; Ω3 – область, ограниченная кривыми OA′, A′P и PO.

Относительно коэффициентов уравнения (1) предполагается, что

laypan04.wmf laypan05.wmf

laypan06.wmf laypan07.wmf,

причем b1(x, y) < 0, c1(x, y) ≤ 0, a1(x, y) ≤ 0, b2(x, y) ≤ 0.

Задача Ф. Требуется найти функцию u(x, y) со следующими свойствами:

1) laypan08.wmf

2) Lu(x, y) = 0, laypan09.wmf;

3) u(x, y) удовлетворяет краевым условиям:

laypan10.wmf (2)

laypan11.wmf ℓ1 ≤ x ≤ ℓ; (3)

laypan12.wmf 0 ≤ y ≤ 1; (4)

laypan13.wmf –1 ≤ y ≤ 1, (5)

где Ψ1(x), Ψ2(y), f(y) – заданные функции, удовлетворяющие условию Гельдера.

Доказательство единственности решения задачи Ф

Покажем, что однородная задача Ф (Ψ1 = Ψ2 = f = 0) имеет только нулевое решение.

Справедлива следующая

Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условию

laypan14.wmf

где

laypan15.wmf

laypan16.wmf

laypan17.wmf

laypan18.wmf laypan19.wmf.

Тогда решение u(x, y) однородной задачи Ф в области Ω тождественно равно нулю.

Для доказательства теоремы 1 применим метод «abc». Умножим уравнение (1) на выражение

laypan20.wmf

где α, β, γ – пока произвольные достаточно гладкие функции, и проинтегрируем полученное соотношение по области Ω.

В результате, принимая во внимание, что ux = xnun, uy = ynun на B′B, где xn и yn − направляющие косинусы внешней нормали laypan21.wmf к границе области Ω, laypan22.wmf на характеристике A′C и учитывая однородные граничные условия, приходим к равенству

laypan23.wmf (6)

где In – интегралы от искомой функции, а F – слагаемые, содержащие квадраты искомой функции в явном виде.

Выбирая функции α, β, γ таким образом, чтобы все интегралы In в (6) были неотрицательны. Для этого достаточно положить в Ω1 α = –exp(ky); β = 0, γ = 0, а в Ωi, i = 2, 3,

laypan24.wmf laypan25.wmf

laypan26.wmf

где laypan27.wmf laypan28.wmflaypan29.wmf таковы, что выполняются неравенства:

laypan30.wmf

laypan31.wmf

laypan32.wmf laypan33.wmf

Тогда нетрудно убедиться в том, что при выполнении условий теоремы 1, u ≡ 0 в Ω. Следовательно, в силу тривиальности решения однородной задачи решение задачи Φ единственно.

Доказательство существования решения задачи Ф

Проведем доказательство существования решения для случая

a1 = c1 = a2 = b2 = 0,

b1 = –1.

Решение уравнения (1) при y < 0, удовлетворяющее условиям Коши

u(x, 0) = τ(x),

uy(x, 0) = v(x),

имеет вид [7]:

laypan34.wmf (7)

где laypan36.wmf laypan37.wmf laypan38.wmf

Учитывая условие (6), получим соотношение между τ(x), v(x), φ(y) = u(0, y), 0 ≤ y ≤ 1. Для этого положим в равенстве (7) x = 0, затем заменим (–y) на laypan39.wmf, полученное выражение умножим на laypan40.wmf, проинтегрируем по y от 0 до x и, наконец, продифференцируем полученное равенство по x. Получим

laypan41.wmf (8)

где laypan42.wmf laypan43.wmf

laypan44.wmf laypan45.wmf

Решая в параболической части Ω1 смешанную задачу ux(0, y) = 0, u(x, 0) = τ(x), u(ℓ, y) = Ψ2(y) для уравнения (1) при y > 0, получим

laypan46.wmf (9)

где laypan47.wmf (10)

– функция Грина смешанной задачи уравнения теплопроводности.

Полагая в (9) x = 0 и учитывая условие (2) после замены переменной ξ по формуле laypan48.wmf в первом интеграле, получим

laypan49.wmf (11)

где laypan50.wmf

В равенстве (11) y заменим через laypan51.wmf, затем умножим обе части на laypan52.wmf и проинтегрируем от 0 до x по переменной y и, наконец, полученное выражение продифференцируем по x, получим

laypan54.wmf (12)

где laypan55.wmf

laypan56.wmf

В силу свойств функции Грина (10) и заданных функций Ψ1(x), Ψ2(y) заключаем, что

laypan57.wmf

laypan58.wmf

laypan59.wmf

по переменным x и t.

Исключая φ(y) из (8) и (12), будем иметь

laypan60.wmf (13)

Решая задачу: laypan61.wmf laypan62.wmf получим соотношение между τ(x) и v(x) на линии y = 0 из параболической части Ω1 в виде

laypan63.wmf (14)

где G0(x, t) – функция Грина.

Подставим значение τ(x) из (14) в (13)

laypan64.wmf (15)

где laypan65.wmf

Обозначая правую часть уравнения (15) через ρ(x) и обращая полученное уравнение Абеля, будем иметь

laypan66.wmf (16)

Возвращаясь от ρ(x) к v(x) и P(x), в результате элементарных преобразований, получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно v(x):

laypan67.wmf (17)

где Q(x, t) и laypan68.wmf выражаются через заданные функции.

Таким образом, в силу единственности решения задачи Φ убеждаемся в однозначной разрешимости уравнения (17).

Определив из (17) v(x), а затем по формуле (15) и τ(x), находим решение задачи Φ в области Ω1, которое будет иметь вид (9), а в области Ω2 – вид (7). В области Ω3 решение задачи Φ можно продолжить как решение задачи Дарбу.

Заключение

В работе установлены единственность решения нелокальной краевой задачи для смешанного уравнения второго порядка в замкнутой области. Для доказательства единственности решения применен метод «abc». Доказательство существования частного решения поставленной задачи проведено на основе методов функции Грина и интегральных уравнений.

Рецензенты:

Журтов А.Х., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой ГиВА, КБГУ им. Х.М. Бербекова, г. Нальчик;

Хаширова Т.Ю., д.т.н., профессор кафедры ИМОАС, КБГУ им. Х.М. Бербекова, г. Нальчик.

Работа поступила в редакцию 28.07.2014.