Последнее время началось бурное развитие нового класса небольших беспилотных квадроротационных летательных аппаратов (квадрокоптеров), способных нести полезную нагрузку в виде контролирующих приборов, видеоаппаратуры. В связи с этим расширяется область применения беспилотных летательных аппаратов (БЛА), увеличивается роль стабилизации их полета. Устойчивость – свойство аппарата восстанавливать без вмешательства оператора кинематические параметры невозмущенного движения и возвращаться к исходному режиму полета после прекращения действия возмущений [1–4, 6]. При отсутствии управления на большинстве режимов полета БЛА являются неустойчивыми, при малейшем внешнем воздействии начинается «неуправляемое снижение», и квадрокоптер падает. Причиной их неустойчивости является отсутствие восстанавливающего момента по отклонению относительно центра масс и малое демпфирование этого движения. Под режимом висения будем понимать способность квадрокоптера держаться в воздухе на одном месте, т.е. висеть [5]. Этот режим используется при необходимости вести какие-либо наблюдения с воздуха, находясь на одном месте. Кратковременное висение БЛА у земли может производиться перед его вертикальной посадкой или после отрыва от земли.
Неустойчивость БЛА вынуждает систему автоматического управления (САУ) непрерывно вмешиваться в управление, чтобы обеспечить устойчивость на режиме висения [4–7]. Поэтому актуальной задачей является исследование динамических явлений, возникающих при внешних периодических воздействиях, а также выбор стратегии управления и параметров регулятора.
Математическая модель квадрокоптера в режиме висения
Режим висения квадрокоптера будем рассматривать в плоскости zСy (рис. 1). Считаем, что т. С, являющаяся центром квадрокоптера, остаётся неподвижной в режиме висения. С этой точкой связана система координат Схyz, тогда подвижная система координат Сх1 y1 z1 связана с корпусом, который поворачивается относительно оси х на угол φ.
Рис. 1. Расчётная схема квадрокоптера при для изучения движений относительно оси Сx
За обобщенную координату примем угол поворота φ. Колебания квадрокоптера происходят под действием сил Т2, Т4, момента сопротивления 
и момента внешнего периодического воздейсвия М. Винты приводятся во вращение электродвигателями, генерирующими моменты МЭДi, а вращению винтов с угловыми скоростями wi препятствует момент внешних нагрузок МHi (рис. 2).
Рис. 2. Упрощенная схема электропривода винта: 1 – винт; 2 – редуктор; 3 – электродвигатель; u – управляющее напряжение; МЭД – момент, создаваемый электродвигателем; МHi – момент внешних нагрузок винта относительно оси вращения; МВi – крутящий момент винта; JP, JM – момент инерции ротора вокруг оси винта и оси мотора соответственно; wi, Wi – угловые скорости электродвигателя и пропеллера соответственно
Пусть момент внешнего периодического воздействия представлен в виде M = M0sin(w0t), где М0, w0 – амплитуда и частота внешнего возмущения.
Восстанавливающий момент, действующий на корпус со стороны электроприводов винтов, определяется величиной управляющих напряжений, поступающих из системы автоматического управления на левый и правый электроприводы. Причем уровень напряжений, формируемых усилителем мощности САУ, полностью зависит от типа регулятора.
Дифференциальные уравнения для двух винтов, которые описывают взаимосвязанные электромагнитные и механические процессы в электромеханической системе приводов винтов квадрокоптера, имеют вид:
(1)
где Li, Ri – индуктивность и активное сопротивление обмотки ротора; ui – управляющее напряжение, i – ток в обмотке электромагнита, wi, Wi – угловые скорости электродвигателя и пропеллера соответственно; сЕ – коэффициент пропорциональности, называемый постоянной ЭДС двигателя; Ji – приведенный осевой момент инерции.
Момент, создаваемый электродвигателями:
(2)
где cMi – коэффициент пропорциональности момента.
Связь между угловой скоростью электродвигателя wi и винта Wi:
wi/Wi = N, (3)
где N – передаточное отношение редуктора.
Момент внешних нагрузок МНi будем определять как
i = 2, 4. (4)
где 
– момент сопротивления вращению винта; m – коэффициент нагрузки, приведенный к валу двигателя; h – кпд электропривода.
Движение корпуса квадрокоптера, относительно оси Сх описывается дифференциальным уравнением
(5)
где Jx – осевой момент инерции; 
– главный момент внешних сил относительно оси Ох:
(6)
где l – расстояние между центром квадрокоптера и центром пропеллера; bz – аэродинамическая постоянная.
С учетом (6) уравнение (5) будет иметь вид
(7)
Система дифференциальных уравнений (1), (7) описывает колебания квадрокоптера относительно оси Сх при внешнем периодическом воздействии. В общем случае система является нелинейной и её решение удобно выполнить с помощью численных методов. Однако, сделав некоторые предположения, можно получить аналитическое решение. Пусть электродвигатели, используемые в квадрокоптере, обладают небольшой индуктивностью, т.е. 
, 
, 
, тогда уравнения (1) примут вид:
(8)
где
Откуда
(9)
Обозначим:
тогда:
(10)
С учетом (10) уравнение (7) примет вид:
(11)
где 
.
Пусть управляющее воздействие определяется по следующему алгоритму:
(12)
где 
– постоянное напряжение питания; k – пропорциональный коэффициент.
Тогда уравнение (11) примет вид:
(13)
или
(14)
Получили уравнение вынужденных колебаний, где 
– коэффициент демпфирования; 
– циклическая частота свободных колебаний.
Решение дифференциального уравнения (14) имеет вид [1]:
(15)
Здесь А, В – амплитуды свободных и вынужденных колебаний; g, b – соответственно начальная фаза свободных колебаний и сдвиг фаз вынужденных колебаний по отношению к возмущающей силе.
Амплитуду и сдвиг фаз вынужденных колебаний будем определять по формулам
(16)
Рассмотрим предельные случаи:
1. Если l << w0, тогда
β = 180°. (17)
2. Если l ≈ w0, тогда
β = 90°. (18)
3. Если l >> w0, тогда
tgβ = 0. (19)
Анализ уравнений показывает, что при высокочастотных возмущениях (17) в режиме l << w0 на величину амплитуды вынужденных колебаний оказывает влияние коэффициент сопротивления m и частота внешнего возмущения w0, причем с возрастанием последних амплитуда колебаний падает.
При низкочастотных возмущениях (19) в режиме l >> w0 коэффициент сопротивления m и частота внешнего возмущения w0 не оказывают воздействия на величину амплитуды вынужденных колебаний, а влияет осевой момент инерции Jx, повышающий стабильность квадрокоптера и частота свободных колебаний l, которая зависит от геометрических размеров квадрокоптера, аэродинамических коэффициентов, свойств электроприводов, управляющего напряжения, передаточного числа редуктора, коэффициента усиления пропорционального регулятора системы автоматического управления.
При частоте возмущения, равной частоте собственных колебаний системы (l ≈ w0), амплитуда вынужденных колебаний значительно возрастает (18), диссипативные силы уравновешиваются силами инерции при любом значении амплитуды колебаний. Внешняя возмущающая сила оказывается неуравновешенной. Поэтому амплитуда колебаний квадрокоптера, определяемая коэффициентом сопротивления m и частотой свободных колебаний l, в режимах, близких к резонансному, может быть значительной.
Исследование влияния частоты внешнего периодического воздействия на амплитуду вынужденных колебаний для различных коэффициентов усиления пропорционального регулятора системы автоматического управления (САУ) (рис. 3) показывает, что присутствует область частот, при которых амплитуда резонансных вынужденных колебаний корпуса квадрокоптера минимальна.
Рис. 3. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от величины коэффициента усиления пропорционального регулятора
Выводы
Анализ полученных результатов показал, что амплитуда колебаний квадрокоптера при внешнем периодическом воздействии зависит от частоты внешних возмущений. Имеет место ярко выраженная резонансная зона, в которой происходит значительное увеличение амплитуды, зависящее от диссипативных свойств и конструкции коптера. Величина собственной частоты колебаний коптера зависит от коэффициента усиления пропорционального регулятора, геометрических размеров коптера, величины управляющего напряжения и аэродинамических характеристик винтовых приводов коптера. Установлено, что существует область параметров коэффициента пропорциональности регулятора, обеспечивающих минимальное значение амплитуды вынужденных колебаний.
Рецензенты:
Локтионова О.Г., д.т.н., доцент, проректор по учебной работе, ФГБОУ ВПО «Юго-Западный государственный университет», г. Курск;
Кобелев Н.С., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой теплогазоснабжения и вентиляции, ФГБОУ ВПО «Юго-Западный государственный университет», г. Курск.
Работа поступила в редакцию 27.01.2014.