Вырождающиеся эллиптические уравнения представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Такие уравнения имеют многочисленные приложения в газовой динамике, теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек и др.
Пусть 
– полупространство xn > 0 евклидова пространства En точек x = (x1, x2, ..., xn). Пусть G – конечная область в 
, симметричная относительно плоскости xn = 0 и ограниченная поверхностью G. Обозначим через 
часть G, расположенную в 
. Граница области G+ разбивается G(0) и G+, расположенные соответственно на плоскости xn = 0 и в полупространстве xn > 0. Поверхность G+ является поверхностью класса Λm,B, когда G ∈ Λm [3]. Через 
обозначим область 
, 
– ее граница, расположенная на плоскости xn = 0.
Рассмотрим внутреннюю (внешнюю) краевую задачу: найти четное по xn решение уравнения
(1)
в области 
, (2m – 1) раз непрерывно дифференцируемое в 
и удовлетворяющее граничным условиям
и в случае внешней задачи удовлетворяющее на бесконечности условиям, обеспечивающим ее единственность. Здесь 
, если l = 2p и 
, если l = 2p + 1, nξ – внешняя нормаль к границе G+ в точке ξ, 
, 
– оператор Бесселя, k – любое положительное число, m > 2. Уравнение вида (1) назовем В-полигармоническим уравнением.
Известно [2], что фундаментальные решения уравнения (1) с особенностью в начале координат имеют вид
где 
γ = n + k.
Значения 
и 
выберем таким образом, чтобы
(2)
и
(3)
для любой четной по xn бесконечно дифференцируемой и финитной в 
функции ϑ(x).
Можно проверить, qm удовлетворяет условиям (2) и (3) при следующих значениях 
и 
:
С помощью непосредственного подсчета получаем, что
Для получения фундаментального решения с особенностью в произвольной точке ξ применим к функции qm(x) оператор обобщенного сдвига 
[4]:
где 
Так как операторы 
и ΔB коммутируют, то в силу формальной самосопряженности оператора 
из формулы (3) следует, что
Пусть u и ω четные по xn функции класса 
. Тогда имеют место тождества
(4)
(5)
при четном m, и
(6)
когда m – нечетное число.
Нам понадобятся, для четных по xn функций 
, первая формула Грина
(7)
и вторая формула Грина
(8)
Интегрируя обе части тождеств (4), (5), (6) по области G+ и пользуясь формулой (8) получим обобщенные формулы Грина
(9)
для всех четных m и
(10)
когда m – нечетное число, а также имеет место формула
(11)
где 
, если l = 2p и 
, если l = 2p + 1, nξ – внешняя нормаль к границе G+ в точке ξ.
Теорема. Задача (1), (2) в классе 
не может иметь более одного решения.
Доказательство. Пусть ω(x) – разность двух предполагаемых решений. Тогда эта функция в области 
удовлетворяет уравнению (1), на границе G+ однородным краевым условиям
(12)
Очевидно, что
Пусть m – четное число. В силу формулы (9) и условий (12) следует, что
в G+ (13)
(14)
С помощью первой формулы Грина (7) можно установить, что задача (13), (14) имеет только нулевое решение, то есть ω ≡ 0.
Пусть теперь m – нечетное число. С учетом (10) и начальных условий (12), будем иметь
Таким образом, получили две задачи
в G+
и
в G+,
которые аналогичны задаче (13), (14) следовательно ω ≡ 0. Теорема доказана.
Как было показано в работе [1], имеют место следующие интегральные представления для решения уравнения (1):
(15)
Отсюда при j = 0 имеем, что
Введем в рассмотрение потенциалы
(16)
Формулу (15) с помощью этих потенциалов можно записать в виде
(17)
в том числе при j = 0
(18)
где 
для всех 
C помощью перенумерации потенциалы в формуле (18) расположим в порядке возрастания индексов их плотностей. В результате мы имеем
(19)
где 
. Тогда формулы (17) и (18) примут вид
(20)
(21)
Выпишем формулы скачка потенциалов Wℓ(x, χℓ)
при этом z ∈ G+, индекс i – означает предел из 
; e – предел из 
, волна – прямое значение. Отсюда и из формулы (2) следует
Заключение
В работе исследуются краевые задачи для В-полигармонического уравнения 2m-порядка в n-мерном случае. Доказывается единственность поставленных задач. Строятся потенциалы и даны формулы скачков для этих потенциалов, необходимые для сведения краевой задачи к системе интегральных уравнений.
Рецензенты:
Мухлисов Ф.Г., д.ф.-м.н., профессор, кафедра высшей математики и математического моделирования, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань;
Сушков С.В., д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой теории относительности и гравитации, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань;
Кульбачинский В.А., д.ф.-м.н., профессор, кафедра физики низких температур и сверхпроводимости, физический факультет, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, г. Москва;
Бичурин М.И., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой ПТРА, Новгородский государственный университет, г. Нижний Новгород.
Работа поступила в редакцию 30.12.2013.