Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF THE DIFFERENTIAL EQUATION WITH THE SINGULYARNY BESSEL’S OPERATOR

Denisova M.Y. 1 Kinder M.I. 1
1 Kazan (Volga Region) Federal University
1400 KB
The degenerating elliptic equations represent one of important sections of the modern theory of the differential equations with private derivatives. In article in n-dimensional Euclidean space fundamental solutions of the differential equation 2 m about with Bessel’s acting on the last variable the singulyarny operator are under construction. The operator of the generalized shift is applied to obtaining the fundamental solution of this equation with feature in any point. Such fundamental decisions are applied to research of boundary value problems with conditions such as parity on a characteristic part of border. Green’s first and second formulas are deduced. With the help of Green’s formula we prove the uniqueness of problems. Potentials are constructed and formulas are given for jumps of these potentials, for data of a regional problem to system of the integrated equations.
singulyarny operator
differential equation
polyharmonic equation
1. Denisova М.Y. Modern problems of science and education, 2012, no 6, available at: www.science-education.ru/106-7417.
2. Kipriyanov I.A., Kononenko V.I. Differential equations,1967, vol. 3, no 1, pp. 114–129.
3. Panich О.I. Matematicheskii Sbornik,1960,vol. 50, no 3, pp. 335–368.
4. Radzhabov N. Integralnoe predstavleniya i granichnye zadachi dlya nekotorykh differentsialnykh uravneniy s singulyarnoy liniey ili singulyarnymi poverkhnostyami [Integrated representation and regional problem the differential equations with the singulyarny line or the singulyarny surfase]. Dushanbe, 1982, 171 p.
5. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalired potential theory. Trans. Am. Math.Soc., 1948, no. 63, pp. 342–354.

Вырождающиеся эллиптические уравнения представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Такие уравнения имеют многочисленные приложения в газовой динамике, теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек и др.

Пусть denis01.wmf – полупространство xn > 0 евклидова пространства En точек x = (x1, x2, ..., xn). Пусть G – конечная область в denis02.wmf, симметричная относительно плоскости xn = 0 и ограниченная поверхностью G. Обозначим через denis03.wmf часть G, расположенную в denis04.wmf. Граница области G+ разбивается G(0) и G+, расположенные соответственно на плоскости xn = 0 и в полупространстве xn > 0. Поверхность G+ является поверхностью класса Λm,B, когда G ∈ Λm [3]. Через denis05.wmf обозначим область denis06.wmf, denis07.wmf – ее граница, расположенная на плоскости xn = 0.

Рассмотрим внутреннюю (внешнюю) краевую задачу: найти четное по xn решение уравнения

denis08.wmf (1)

в области denis09.wmf, (2m – 1) раз непрерывно дифференцируемое в denis10.wmf и удовлетворяющее граничным условиям

denis11.wmf

и в случае внешней задачи удовлетворяющее на бесконечности условиям, обеспечивающим ее единственность. Здесь denis12.wmf, если l = 2p и denis13.wmf, если l = 2p + 1, nξ – внешняя нормаль к границе G+ в точке ξ, denis14.wmf, denis15.wmf – оператор Бесселя, k – любое положительное число, m > 2. Уравнение вида (1) назовем В-полигармоническим уравнением.

Известно [2], что фундаментальные решения уравнения (1) с особенностью в начале координат имеют вид

denis17.wmf

где denis18.wmf γ = n + k.

Значения denis19.wmf и denis20.wmf выберем таким образом, чтобы

denis21.wmf (2)

и

denis22.wmf (3)

для любой четной по xn бесконечно дифференцируемой и финитной в denis23.wmf функции ϑ(x).

Можно проверить, qm удовлетворяет условиям (2) и (3) при следующих значениях denis24.wmf и denis25.wmf:

denis26.wmf

denis28.wmf

С помощью непосредственного подсчета получаем, что

denis29.wmf

Для получения фундаментального решения с особенностью в произвольной точке ξ применим к функции qm(x) оператор обобщенного сдвига denis30.wmf [4]:

denis31.wmf

где denis32.wmf

Так как операторы denis33.wmf и ΔB коммутируют, то в силу формальной самосопряженности оператора denis34.wmf из формулы (3) следует, что

denis35.wmf

Пусть u и ω четные по xn функции класса denis36.wmf. Тогда имеют место тождества

denis37.wmf (4)

denis38.wmf (5)

при четном m, и

denis39.wmf (6)

когда m – нечетное число.

Нам понадобятся, для четных по xn функций denis40.wmf, первая формула Грина

denis41.wmf (7)

и вторая формула Грина

denis42.wmf (8)

Интегрируя обе части тождеств (4), (5), (6) по области G+ и пользуясь формулой (8) получим обобщенные формулы Грина

denis43.wmf (9)

для всех четных m и

denis44.wmf (10)

когда m – нечетное число, а также имеет место формула

denis45.wmf denis46.wmf (11)

где denis47.wmf, если l = 2p и denis48.wmf, если l = 2p + 1, nξ – внешняя нормаль к границе G+ в точке ξ.

Теорема. Задача (1), (2) в классе denis49.wmf не может иметь более одного решения.

Доказательство. Пусть ω(x) – разность двух предполагаемых решений. Тогда эта функция в области denis50.wmf удовлетворяет уравнению (1), на границе G+ однородным краевым условиям

denis51.wmf (12)

Очевидно, что

denis52.wmf

Пусть m – четное число. В силу формулы (9) и условий (12) следует, что

denis53.wmf в G+ (13)

denis54.wmf (14)

С помощью первой формулы Грина (7) можно установить, что задача (13), (14) имеет только нулевое решение, то есть ω ≡ 0.

Пусть теперь m – нечетное число. С учетом (10) и начальных условий (12), будем иметь

denis55.wmf

Таким образом, получили две задачи

denis56.wmf в G+

denis57.wmf

и

denis58.wmf в G+,

denis59.wmf

которые аналогичны задаче (13), (14) следовательно ω ≡ 0. Теорема доказана.

Как было показано в работе [1], имеют место следующие интегральные представления для решения уравнения (1):

denis60.wmf (15)

Отсюда при j = 0 имеем, что

denis61.wmf

Введем в рассмотрение потенциалы

denis62.wmf denis63.wmf (16)

denis64.wmf denis65.wmf

Формулу (15) с помощью этих потенциалов можно записать в виде

denis66.wmf (17)

в том числе при j = 0

denis67.wmf (18)

где denis68.wmf для всех denis69.wmf denis70.wmf C помощью перенумерации потенциалы в формуле (18) расположим в порядке возрастания индексов их плотностей. В результате мы имеем

denis71.wmf (19)

где denis72.wmf. Тогда формулы (17) и (18) примут вид

denis73.wmf (20)

denis74.wmf (21)

Выпишем формулы скачка потенциалов Wℓ(x, χℓ)

denis75.wmf

denis76.wmf

denis77.wmf

denis78.wmf

при этом z ∈ G+, индекс i – означает предел из denis79.wmf; e – предел из denis80.wmf, волна – прямое значение. Отсюда и из формулы (2) следует

denis81.wmf

denis82.wmf

Заключение

В работе исследуются краевые задачи для В-полигармонического уравнения 2m-порядка в n-мерном случае. Доказывается единственность поставленных задач. Строятся потенциалы и даны формулы скачков для этих потенциалов, необходимые для сведения краевой задачи к системе интегральных уравнений.

Рецензенты:

Мухлисов Ф.Г., д.ф.-м.н., профессор, кафедра высшей математики и математического моделирования, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань;

Сушков С.В., д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой теории относительности и гравитации, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань;

Кульбачинский В.А., д.ф.-м.н., профессор, кафедра физики низких температур и сверхпроводимости, физический факультет, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, г. Москва;

Бичурин М.И., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой ПТРА, Новгородский государственный университет, г. Нижний Новгород.

Работа поступила в редакцию 30.12.2013.