Изучение динамики незамкнутых кинематических цепей с конечным числом степеней свободы является актуальной задачей для различных областей науки и техники, например, исследования динамики механических манипуляторов [5].
Целью данной работы является развитие методов исследования динамики незамкнутых кинематических цепей, а также разработка математической модели динамики механической системы шарнирно-соединенных стержней (рис. 1) с двумя степенями свободы. В работе решается частная задача по определению закона движения системы в обобщенных координатах.
Материалы и методы исследования
Рассматривается механическая система, состоящая из двух абсолютно твердых стержней, длины которых обозначим l1, l2. Стрежни соединены между собой шарниром O1. Стержень 1 закреплен при помощи неподвижного цилиндрического шарнира O. На стержень 1 действует момент активных сил M.
Задача решается при следующих предположениях:
– все шарниры являются идеальными (силы трения и их моменты отсутствуют);
– движение происходит в горизонтальной плоскости (силы тяжести не совершают работы);
– момент активных сил является постоянным M = const.
Рис. 1. Кинематическая схема: 1, 2 – абсолютно твердые стержни; O1, O2, – идеальные шарниры; φ1, φ2 – углы поворота стержней; M – момент активных сил
Для решения задачи об определении закона движения механической системы используется метод уравнений Лагранжа II рода [2, 4]. Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выбраны углы поворота стержней φ1, φ2. Таким образом, уравнения Лагранжа II рода можно записать в виде
(1)
где φi – обобщенные координаты системы; 
– обобщенные скорости; 
– обобщенные силы; T – кинетическая энергия системы.
Кинетическая энергия системы определяется как сумма кинетических энергий двух стержней по формуле
T = T1 + T2, (2)
где T1 – кинетическая энергия стержня 1, T2 – кинетическая энергия стержня 2.
Кинетическая энергия стержня 1 определяется по формуле [6]
(3)
где 
– момент инерции стержня 1 относительно точки O.
Кинетическую энергию стержня 2 определим по формуле [6]
(4)
где mk – масса k-й точки стержня 2; 
– вектор скорости k-й точки стержня 2.
Скорость 
определяется теоремой сложения скоростей
(5)
где 
– вектор скорости k-й точки стержня 2 от переносного движения (вектор скорости полюса – точки O1); 
– вектор относительной скорости k-й точки стержня 2 от его вращения вокруг полюса O1.
Подставляя (5) в выражение (4), получим
(6)
где (ϕ2 – ϕ1) – угол между вектором скорости переносного движения 
и вектором относительной скорости 
.
Запишем выражения для переносной скорости 
и относительной скорости 
; 
,
где rk – радиус вектор k-й точки стержня 2 в относительном вращении вокруг полюса O1.
Подставляя эти выражения в формулу (6) для кинетической энергии стержня 2, получим
Раскрывая скобки, получим
(7)
Учитывая, что 
– масса стержня 2, 
– статический момент стержня 2 относительно точки O1, 
– момент инерции стержня 2 относительно точки O1, окончательно для кинетической энергии стержня 2 получим
(8)
Запишем выражение для кинетической энергии системы
(9)
Определим производные от кинетической энергии системы, необходимые для составления левых частей уравнений Лагранжа.
(10)
(11)
(12)
(13)
Правые части уравнений Лагранжа представляют собой обобщенные силы, определяемые выражением
,
где 
– сумма работ активных сил, действующих на систему на ее возможном перемещении.
Учитывая, что на систему действует только момент активных сил M, получим
Q1 = M; Q2 = 0. (14)
Подставляя выражения (10), (11), (12), (13) и (14) в уравнения Лагранжа (1), получим систему двух дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат ϕ1 и ϕ2
(15)
(16)
Введем обозначения:
Уравнения (15) и (16) принимают вид
(17)
(18)
Введя обозначения
и 
получим
; (19)
(20)
Выразим вторые производные по времени 
и 
Решение этой системы уравнений может быть осуществлено различными численными методами [1, 3].
Результаты исследований и их обсуждение
Рассмотрим результаты решения, полученные при реализации метода Рунге‒Кутта четвертого порядка. На рис. 2 представлены зависимости углов поворота стержней φ1 и φ2 от времени t, а на рис. 3 показаны зависимости угловых скоростей 
и 
от времени. Представленные зависимости получены при следующих исходных данных и начальных условиях:
m1 = m2 = 1 (кг), l1 = l2 = 1 (м),
M = 5 (Н∙м), t = 0,
, 
,
, 
.
Анализ результатов решения показывает, что движение системы можно разделить на два этапа. Первый этап неустановившегося движения, когда стержни 1 и 2 вращаются в противоположных направлениях (рис. 2a и 3a). Через небольшой промежуток времени после начала движения начинается второй этап, на котором стержни 1 и 2 начинают вращаться в одном направлении (рис. 3б), причем стержень 2 как бы догоняет стержень 1. Можно говорить о начале установившегося движения. Стержни при этом располагаются практически в прямую линию.
а
б
Рис. 2. Зависимость углов поворота стержней от времени: а – зависимость углов поворота стержней от времени на этапе неустановившегося движения; б – зависимость углов поворота стержней от времени на этапе установившегося движения
а
б
Рис. 3. Зависимость угловых скоростей от времени: а – зависимость угловых скоростей от времени на этапе неустановившегося движения; б – зависимость угловых скоростей от времени на этапе установившегося движения
Заключение
Анализ графиков угловых скоростей показывает, что движение стержня 2 обладает признаками периодичности. Угловая скорость стержня 2 периодически меняется относительно угловой скорости стержня 1 (рис. 3). Рассматривая движение стержня 2 как сложное, состоящее из переносного движения стержня 1 и относительного движения стержня 2 по отношению к вращающейся точке O1, сделаем вывод, что относительное движение стержня 2 можно рассматривать как затухающее колебание.
Результаты решения, полученные при других исходных данных и начальных условиях, позволяют сделать следующие выводы:
– длительность неустановившегося движения зависит от момента активных сил М, при увеличении момента активных сил время неустановившегося движения уменьшается;
– минимальное значение угла поворота второго стержня φ2 не зависит от величины момента активных сил, а зависит только от начальных условий.
Результаты работы могут быть использованы для разработки математических моделей динамики незамкнутых кинематических цепей.
Рецензенты:Панов А.Ю., д.т.н., заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика», ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет», г. Нижний Новгород;
Иванов А.А., д.т.н., профессор кафедры «Автоматизации машиностроения», ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет», г. Нижний Новгород.
Работа поступила в редакцию 05.12.2013.