Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,674

THE PROPAGATION OF WAVES ON THE CHARGED SURFACE OF A CYLINDRICAL COLUMN OF FLUID, SURROUNDED BY LONG POROSITY OF THE CORE. IN CASE OF ASYMMETRIC WAVES

Mironova S.M. 1
1 Mordovian State Pedagogical Institute named after M.E. Evsevyev
1048 KB
A mathematical model of waves propagation and instability on a surface of a cylindrical column of electrical fluid, surrounding a coaxial infinite long porous core of the round section is constructed and studied. The conditions are found under which the disturbances of the surface of fluid column become unstable and result in its fragmentation into a chain of connected droplets. The presence of a surface tension is taken into account. The gravity is neglected. The axis of the porous cylinder coincides with the axis of a coaxial cylindrical capacitor with a potential difference on its electrodes. The radius of the outer electrode is assumed to be arbitrary. The problem is solved in a cylindrical coordinate system (r, θ, z), in which the liquid column is at rest. The z−axis is directed along the axis of the porous cylinder. The equations of the motion of electric fluid inside and outside of the porous medium and the equations for the electrical field are written. The boundary conditions for hydrodynamic and electrical values on discontinuity surfaces are formulated. The full solution of a boundary value problem for hydrodynamic and electrical values is found. The numerical analysis of the dispersion equation, describing wave propagation on surface is done. The different special cases are considered. The conditions are found under which the disturbances of the surface of fluid column become stable (wave damping) or become unstable (which result to the disturbances growth and the fragmentation of the cylinder into a chain of droplets). It is shown that the size of droplets produced decreases with increasing electric field.
cylindrical liquid column
porous medium
wave damping
fragmentation into droplets
electric field
1. Drazin P.G. Vvedenie v teoriju gidrodinamicheskoj ustojchivosti (Introduction to Hydrodynamic Stability). Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2002.
2. Kurosh A.G. Kurs vysshej algebry (A course of higher algebra). Moskow, Nauka, 2008.
3. Landau L.D., Lifshits E. M. Teoreticheskaja fizika. T. 6. Gidrodinamika (Theoretical Physics. V. 6. Hydrodynamics). – Pergamon Press, Oxford, 2006.
4. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskaja fizika. T. 8. Jelektrodinamika sploshnyh sred (Theoretical Physics. V. 8. Electrodynamics of Continuous Media). Pergamon Press, Oxford, 2008.
5. Mironova S.M. Rasprostranenie voln na zarjazhennoj poverhnosti cilindricheskogo stolba zhidkosti, okruzhajushhej dlinnoe poristoe jadro (Wave propagation on a charged surface of a cylindrical liquid column surrounding a long porous core) // Fluid Dynamics, 2012, Vol. 47, no. 4, pp. 521–526.
6. Mironova S.M. Gidrodinamicheskie neustojchivosti i volny na zarjazhennoj poverhnosti cilindricheskoj konfiguracii jelektroprovodnoj zhidkosti, okruzhajushhej dlinnoe poristoe jadro (Hydrodynamic instabilities and waves on the charged surface of the cylindrical configuration of an electrically conductive fluid surrounding the long porous core) // Extreme states of substance. Detonation. Shock waves: Abstracts Intern. Conf. «XV Khariton’s topical scientific readings» (Sarov, March 18–22, 2013). Sarov, 2013. pp. 337–338.
7. Mironova S.M. Matematicheskoe modelirovanie poverhnostnyh voln v sloe zhidkosti s poverhnostnym zarjadom na poristom osnovanii (Mathematical modeling of surface waves in a liquid layer with a surface charge on the porous base) // News of higher educational institutions. Volga region. Ser. physical and mathematical sciences, 2011, no 2, pp. 41–48.
8. Slezkin N.A. O vlijanii poristosti dna na ploskuju stojachuju volnu tjazheloj zhidkosti (The effect of the bottom porosity on a plane standing wave in a heavy fluid) // Fluid Dynamics, 1984, 19 (4), pp. 655–657.
9. Stolyarov I.V., Taktarov N.G. Rasprostranenie poverhnostnyh voln v sloe zhidkosti na poristom osnovanii (Propagation of surface waves in a layer of liquid on a porous base) // Fluid Dynamics, 1987, 22 (5), 818–821.
10. Taktarov N.G. Raspad strui magnitnoj zhidkosti (Breakup of a Magnetic-Fluid Jet) // Magnetohydrodynamics., no 2, 1975, рp. 35–38.
11. Huebner A.L., Chu H.N. Instability and breakup of charged liquid jets (Instability and Breakup of Charged Liquid Jets) // J. Fluid Mech. 49. Pt. 2. pp 361–372.

Распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании рассмотрено в работах [8, 9]. Исследование математической модели распространения волн на поверхности слоя электропроводной жидкости с поверхностным электрическим зарядом, находящейся на слое пористой среды, проведено в [7]. Классическая задача о волнах на поверхности струи жидкости впервые была решена Релеем [1]. Волны на заряженной поверхности струи жидкости исследованы в [11]. Задача о волнах на поверхности струи магнитной жидкости рассмотрена в [10]. Задача о распространении волн на заряженной поверхности цилиндрического столба электропроводной жидкости, окружающей длинное пористое ядро, решена в [5] для случая электрода достаточно большого радиуса.

Предполагается, что внутри цилиндрического объема электропроводной несжимаемой жидкости находится ядро из пористого материала в форме коаксиально расположенного круглого цилиндра. Влиянием окружающего воздуха на распространение волн пренебрегается. Учитывается наличие поверхностного натяжения. Сила тяжести отсутствует. Ось пористого цилиндра направлена по оси коаксиального цилиндрического конденсатора, к электродам которого приложена разность потенциалов V. В качестве внутреннего электрода конденсатора используется поверхность проводящей жидкости. Задача решается в цилиндрической системе координат (r, θ, z), в которой жидкий столб покоится. Ось z направлена по оси пористого цилиндра. Радиус пористого цилиндра, невозмущенной поверхности жидкости и внешнего электрода обозначим a, a0 и b соответственно. Предположение о том, что величина b достаточно велика, далее не делается. Заряд будет сосредоточен на поверхности электропроводной жидкости [4]. Внутри жидкости и пористой среды напряженность электрического поля Eqn35.wmf и будет отлична от нуля в промежутке между электродами. На поверхности проводника выполняется соотношение

Eqn36.wmf

где Eqn37.wmf – единичная внешняя нормаль к поверхности; σ  – плотность поверхностного заряда. Величины, относящиеся к пористой среде и свободной жидкости, в необходимых случаях обозначаются индексами 1 и 2 соответственно.

Уравнения движения электропроводной жидкости в пористой среде при условии Eqn35.wmf имеют вид [9]:

Eqn38.wmf Eqn39.wmf (1)

где ρ – плотность жидкости; Γ – пористость (отношение объема пор ко всему элементарному объему среды); η – вязкость; K – коэффициент проницаемости пористой среды; p1 – давление; Eqn40.wmf – макроскопическая скорость фильтрации, связанная со средней скоростью v1 жидкости в порах соотношением Eqn41.wmf

Уравнения движения свободной жидкости при и в предположении, что амплитуда волны значительно меньше ее длины [3], запишем в линейном приближении

Eqn42.wmf Eqn43.wmf (2)

где Eqn44.wmf – скорость свободной жидкости. Ограничиваемся случаем волн достаточно большой длины λ, существенно превышающей радиус a0 жидкого столба, с тем, чтобы пренебречь слагаемыми, содержащими Eqn45.wmf и Eqn46.wmf в уравнениях (1) и (2).

Уравнения для электрического поля в воздухе [4]

Eqn47.wmf Eqn48.wmf (3)

где ε = const – диэлектрическая проницаемость.

Из уравнений (1)–(3) следует

Eqn49.wmf Eqn50.wmf Eqn51.wmf (4)

Eqn52.wmf Eqn53.wmf

ΔΦ(r, θ, z, t) = 0.

Потенциал Φ запишем в виде

Φ = Φ0(r) + Φw(r, θ, z, t),

где Φw – малое возмущение, связанное с волной; Φ0 – невозмущенный потенциал, который находится из уравнения ΔΦ0 = 0 с граничными условиями Φ0(a0) = V, Φ0(b) = 0, и имеет вид:

Eqn54.wmf

Справедливы равенства

Eqn55.wmf E0(a0) = 4πσ0, (5)

где E0(r) – невозмущенное поле. Возмущенное поле записываем в виде

Eqn56.wmf

где Eqn57.wmf и ΔΦw = 0.

Система граничных условий имеет вид:

на поверхности пористой среды (r = a)

1) u1r = u2r;

2) p1 = p2; (6)

на свободной поверхности жидкости (r = a0 + ξ(θ, z, t))

3) Eqn58.wmf

4) Φ0(a0 + ξ) + Φw = V = const;

5) Eqn59.wmf

на внешнем электроде (r = b)

6) Φw(b) = 0.

Здесь pa – атмосферное давление; α – коэффициент поверхностного натяжения; H – средняя кривизна поверхности,

Eqn60.wmf

Давления запишем в виде

p1 = p10 + p1w, p2 = p20 + p2w,

где p10, p20 – равновесные давления.

В равновесии выполняются граничные условия

Eqn61.wmf

Eqn62.wmf (7)

Для возмущений давления из (1) и (2) следует

Eqn63.wmf

Eqn64.wmf (8)

С учетом выражений для Eqn37.wmf и H [1]

Eqn65.wmf

Eqn67.wmf

а также (4)–(8), линеаризованные граничные условия

1) Eqn68.wmf (9)

2) Eqn69.wmf

3) Eqn70.wmf

4) Φw – E0ξ = 0 (r = a);

5) Eqn71.wmf

6) Φw(b) = 0.

Здесь E0 ≡ E0(a0), а также учтено, что

Eqn72.wmf Eqn73.wmf

Математическая модель является, таким образом, краевой задачей, состоящей из уравнений Лапласа (4) и граничных условий (9).

Решение уравнений (4) с граничными условиями (9) ищем в виде

Eqn74.wmf

Здесь, например,

Eqn75.wmf

где Eqn76.wmf – амплитуда; k = 2π/λ – волновое число; m = 0, 1, 2, …; γ = β + iω; ω – частота; β – коэффициент, который может быть как положительным (при затухании возмущения), так и отрицательным (при неустойчивости, приводящей к нарастанию возмущения).

Уравнение ∆φ1 = 0 принимает вид модифицированного уравнения Бесселя порядка m

Eqn77.wmf

Общее решение этого уравнения

Eqn78.wmf

где Im и Km – модифицированные функции Бесселя первого и второго рода порядка m. Аналогично:

Eqn79.wmf

Eqn80.wmf

Следует положить C2 = 0, т.к. Km(kr) → ∞ при r → 0.

Граничные условия (9) для амплитуд

1) Eqn81.wmf (10)

2) Eqn82.wmf

3) Eqn83.wmf

4) Eqn84.wmf

5) Eqn85.wmf

6) Eqn86.wmf

Из пяти равенств (исключая предпоследнее) (10) можно найти выражения коэффициентов C1, C3, C4, C5, C6 через величину ξ*, которую считаем малой первого порядка. В связи с рассмотрением длинных волн необходимо учесть физическое ограничение (k2K)/(Γ⟨⟨1), что приводит к ограничению интервала рассмотрения k (k ∈ [0; 2]). Подставляя найденные коэффициенты в предпоследнее равенство системы (10), получим дисперсионное уравнение для поверхностных волн, кубическое относительно γ

Eqn87.wmf (11)

Eqn88.wmf

Eqn89.wmf

Eqn90.wmf

Eqn91.wmf

Eqn92.wmf

Eqn93.wmf

Eqn94.wmf

Уравнение (11) – кубическое и может быть приведено к так называемому неполному кубическому уравнению [2] с дискриминантом

Eqn95.wmf

где p и q выражаются через коэффициенты уравнения (11). При выполнении условия Q > 0 существует волновое движение, поскольку при этом уравнение (11) имеет два комплексно сопряженных корня. При Q ≤ 0 волновых движений нет, так как все три корня уравнения (11) действительные.

Конкретные числовые расчеты с дисперсионным уравнением (11) проводились для следующих значений параметров: ρ = 1 г/см3, α = 73 г/с2, η = 0,01 г/см∙с, Γ = 0,8, K = 0,02 см2, 0 < k < 2 см–1, ε = 1, 0 ≤ E0 ≤ 40 ед. СГС (1 ед. СГС = 300 вольт/см).

Случай симметричных возмущений (m = 0) был рассмотрен в [6].

Остановимся подробнее на исследовании влияния напряженности электрического поля E и волнового числа k на коэффициент затухания β и частоту колебаний волны для несимметричных возмущений (m = 1, m = 2). Случай m > 2 не рассматривается, поскольку при этом нарушается физическое ограничение (k2K)/(Γ ⟨⟨ 1).

Для значений a = 0,1 см, a0 = 1,1 см, b = 2 см, 0 < k < 2 см–1, ε = 1, 0 ≤ E0 ≤ 40 ед. СГС, интервал 0 < k < 2 см–1 делится критической точкой kc (λc = 2π/kc), которая находится из условия Q = 0, на два интервала. В интервале 0 < k < kc волны отсутствуют: происходит нарастание возмущений (β < 0). Амплитуда растет с наибольшей скоростью при k = km. Размер образующихся при распаде жидкого столба капель равен λm ≈ 2π/km [1].

В таблице приведены значения kc для случаев m = 1 и m = 2 в зависимости от значений напряженности электрического поля.

Значения kc, см–1, найденные для a = 0,1 см, a0 = 1,1 см,b = 2 см

E0, ед. СГС

0

10

20

30

40

m = 1

0,909

0,970

1,152

1,466

1,957

m = 2

0,909

0,996

1,240

1,632

2,190

pic_75.tif

Рис. 1. Зависимость коэффициента затухания β от волнового числа k; параметр m = 1, a = 0,1 см, a0 = 1,1 см, b = 2 см. Номерами 1–5 обозначены кривые, рассчитанные соответственно для E0 = 0, 10, 20, 30, 40 ед. СГС

Из рис. 1 видно, что с ростом волнового числа k значения коэффициента затухания волны сначала резко возрастают, а затем, по достижении максимума, монотонно убывают.

С ростом значения напряженности электрического поля графики сдвигаются вправо вдоль оси x. При этом βmax достигается при k ≈ 1,45 c–1.

pic_76.tif

Рис. 2. Зависимость частоты от волнового числа k при m = 1 и фиксированных значениях a = 0,1 см, a0 = 1,1 см, b = 2 см. Номерами 1–5 обозначены кривые, рассчитанные для E0 = 0; 10; 20; 30; 40 ед. СГС соответственно

Из рис. 2 видно, что с ростом волнового числа значения частоты колебаний увеличиваются. При каждом заданном k частота уменьшается с ростом E.

На рис. 3 представлена зависимость коэффициента затухания β от волнового числа k; параметр m = 2, a = 0,1 см, a0 = 1,1 см, b = 2 см. Номерами 1–4 обозначены кривые, рассчитанные соответственно для E0 = 0, 10, 20, 30 ед. СГС.

Из рис. 3 видно, что с ростом волнового числа k значения коэффициента затухания возрастают. С ростом значения напряженности электрического поля графики сдвигаются вправо вдоль оси k. Следует отметить, что после резкого возрастания ветви графиков сливаются в одну линию независимо от напряженности электрического поля (см. рис. 3).

При m = 2 графики зависимости от k аналогичны приведенным на рис. 2.

При m = 1 с ростом невозмущенной поверхности жидкости a0 значения коэффициента затухания и частоты колебаний уменьшаются при каждом заданном значении волнового числа k и зафиксированных значениях прочих параметров. С ростом радиуса пористого цилиндра значения коэффициента затухания волны увеличиваются, а частоты колебаний – уменьшаются при каждом заданном значении волнового числа k и зафиксированных значениях прочих параметров.

pic_77.tif

Рис. 3

При m = 1 затухание возмущений сильнее, а частота ω(k) волны меньше, чем при m = 2 при каждом заданном k и одинаковых значениях прочих параметров. В области существования волн частота ω увеличивается, а коэффициент затухания β уменьшается с увеличением радиуса a0 жидкого столба при каждом заданном значении волнового числа k и зафиксированных значениях прочих параметров.

Автор благодарит профессора Н.Г. Тактарова за постановку задачи и ее обсуждение.

Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.132.21.1353.

Рецензенты:

Тактаров Н.Г., д.ф.-м.н., профессор, ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева», г. Саранск;

Малыханов Ю.Б., д.ф.-м.н., профессор, ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева», г. Саранск.

Работа поступила в редакцию 09.10.2013.