Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

NUMERICAL SOLUTION OF THE EQUATIONS OF DISSOLUTION AND REMOVAL OF SALTS IN THE FILTERING IN FRACTURED ROCKS

Magomedova A.V. 1 Ivanov V.V. 1
1 Dagestan state technical University
1292 KB
In the article we consider the numerical solution of the equations of dissolution and removal of salts in the filtering in fractured rocks. Solved boundary value problem of two-dimensional convective diffusion difference method. The solution allows to predict the dissolution and removal of salts in the grounds of the hydrotechnical facilities. The algorithm for solving the boundary value problem of two-dimensional convective diffusion in a rectangular area, and the numerical results of calculating the distribution of concentrations of the solution in the crack. On the algorithm used to determine the distribution of concentrations of crack is compiled and debugged program in the language of TPascal 7.1. To assess the intensity of the crack opening upon the dissolution of its walls is considered average increment of the crack length disclosure and received the appropriate expression. The given technique allows to approximately take into account the change of the sizes cracks in the process of dissolving.
filtering
crack
the dissolution of salts
convective diffusion
breed
hydraulic engineering constructions
1. Balamirzoev A.G. Razvitie teorii i metodov prognozirovanija suffozionnyh deformacij pri fil’tracii v treshhinovatyh osnovanijah gidrotehnicheskih sooruzhenij : dissertacija ... doktora tehnicheskih nauk: Mahachkala, 2006. 397 р.
2. Balamirzoev A.G., Kosichenko Ju.M., Magomedova A.V. Raschet suffozionnoj osadki pri neravnomernom raspredelenii rastvorimyh solej v gruntah osnovanij gidrotehnicheskih sooruzhenij– Izv.vuzov. Sev.-kav.region. Tehn.nauki, no. 3, 2002. р. 82–84.
3. Verigin N.N. Nekotorye voprosy himicheskoj gidrodinamiki, predstav-ljajushhie interes dlja melioracii i gidrotehniki.// Izvestija AN SSSR, OTN, 1953, no. 10.
4. Oradovskaja A. E. Fil’tracionnoe vyshhelachivanie dispersno- raspredelennogo gipsa iz peschano-glinistyh porod.//«Rastvorenie i vyshhelachivanie gornyh porod». M.: Gosstrojizdat, 1957.
5. Patrashev A.N., Arytjunjan N.H. Diffyzija solej ppi odnomepnoj fil’tpacii // Izv. NIIG, 1941, t.30, pp. 64–77.

При движении воды по трещинам пород, содержащих растворимые включения, происходит увеличение раскрытия трещин за счет раст­ворения их стенок. Процесс выноса солей включает как диффузион­ный транспорт их от поверхности растворения, так и конвективный перенос фильтрующимся потоком. Рассмотрим процесс для наиболее простой схемы одиночной заполненной дисперсным материалом трещи­ны длиной l и шириной 2h; скорость фильтрации считается постоян­ной и равной v (рисунок). Такого рода задача была исследована А.Н. Патрашевым [5] для условий стационарной диффузии и при пре­небрежении диффузионным переносом в направлении конвекции. Счи­талось также, что коэффициент диффузии одинаков по всем направ­лениям. Следующее аналитическое решение, свободное от указанных допущений, при­ведено в работе [2].

pic_34.tif

Расчетная схема растворения заполненной трещины

В связи с тем, что v = const, коэффициенты продольной и попе­речной конвективной диффузии D1 и D2 также будут постоянными, но различными по величине. Процесс растворения и выноса солей из трещины в таких условиях будет описываться уравнением нестацио­нарной конвективной диффузии в прямоугольной области 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ 2h:

Eqn49.wmf (1)

с краевыми условиями:

C(x,y,0) = C(x,0,t) = C0; (2)

Eqn50.wmf (3)

. Eqn51.wmf (4)

Применяя к (1) интегральное преобразование Лапласа по переменной t с учетом начального условия (2), получим

Eqn52.wmf (5)

причем

Eqn53.wmf,

где p – параметр преобразования.

Граничные условия (2)–(4) также могут быть представ­лены в форме изображений:

Eqn54.wmf (6)

Eqn55.wmf (7)

Дальнейшее упрощение хода решения задачи может быть достигнуто путем использования конечного синус-преобразо­вания Фурье по переменной у в форме

Eqn56.wmf.

При этом параметр преобразования может принимать ряд значений, определяемых из уравнения cosλnh = 0, т. е.

Eqn57.wmf (8)

Определив изображения постоянной Eqn58.wmf и второй производной Eqn59.wmf, включающие гранич­ные условия (6), получим следующее одномерное уравнение для u(x, λn, p):

Eqn60.wmf (9)

Это уравнение должно решаться при граничных условиях

Eqn61.wmf (10)

Представим общее решение (9) в виде

Eqn62.wmf (11)

где

Eqn63.wmf

Подстановка (11) в условия (10) позволяет определить постоянные

Eqn64.wmf

С учетом этих значений постоянных частное решение (9) записывается в виде

Eqn65.wmf (12)

где Eqn66.wmf

Обратный переход к функции с осуществляется по формуле обращения

Eqn67.wmf

Имея в виду, что

Eqn68.wmf

получим

Eqn69.wmf (13)

Переход к оригиналу в последнем выражении производится по теореме разложения, что дает окончательное выражение для распределения концентраций в сечении трещины. Опуская промежуточные выкладки, представим это выражение в таком виде:

Eqn70.wmf (14)

Здесь

Eqn71.wmf Eqn72.wmf

Eqn73.wmf Eqn74.wmf

Eqn75.wmf Eqn76.wmf

Eqn77.wmf Eqn78.wmf

– критерий Пекле; Eqn79.wmf – критерий Струхаля или кратность обмена жидкости в трещине.

В этих обозначениях перепишем уравнение (1) в следующем виде [1]

Eqn80.wmf (15)

Умножая обе части уравнения (15) на l2/D1, получим

Eqn81.wmf

или

Eqn82.wmf (16)

где Eqn83.wmfC = C/C0.

Для получения стационарного распределения концентраций в трещине уравнение (16) решаем разностным методом, называемым продольно-­поперечной разностной схемой. В этой схеме переход от слоя n к слою n + 1 осуществляется в два этапа. На первом этапе опреде­ляют промежуточные значения Eqn84.wmf из системы уравнений

Eqn85.wmf (17)

а на втором этапе, пользуясь найденными значениями Yij, находят Eqn86.wmf из системы уравнений

Eqn87.wmf (18)

Алгоритм решения уравнений (17) и (18). Перепишем уравнение (17) в виде

,Eqn88.wmf (19)

где

Eqn89.wmf

Eqn90.wmf

Eqn91.wmf

Eqn92.wmf

Уравнение (19) решается при каждом фиксированном j = 1, 2,..., N2 – 1 методом прогонки по переменному i. Чтобы применить прогонку, надо знать граничные значения Eqn93.wmf Eqn94.wmf В данном случаеEqn95.wmf, Eqn96.wmf. После того как все Eqn97.wmf найдены, решается уравнение (18). Переписывая это уравнение подробнее:

Eqn98.wmf (20)

где

Eqn99.wmf

Eqn100.wmf

видим, что при каждом фиксированном i = 1, 2,...N1 – 1 его можно ре­шить с помощью одномерной прогонки. Граничные условия в данной задаче Eqn101.wmf, Eqn102.wmf По приведенному алгоритму для определения распределения концентраций по трещине составлена и от­лажена программа на языке ТPascal 7.1.

В таблице приведены численные результаты расчета распределений концентраций раствора в заполненной трещине по указанной программе в сопоставлении с численными результатами, полученными по методу А.С. Малышева.

Распределение концентраций раствора в заполненной трещине при h0 = 0,1, D0 = 0,1, x = 1

y0\x0

По методу А.С. Малышева

По предлагаемому методу

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

 

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

 

0,0

0,2

0,4

0,6

0,0

0,0

0,0

0,0

1,0

0,896

0,658

0,591

1,0

0,935

0,857

0,805

1,0

0,927

0,869

0,810

1,0

0,831

0,695

0,603

 

0,0

0,0

0,0

0,0

1,0

0,795

0,646

0,614

1,0

0,943

0,866

0,794

1,0

0,891

0,786

0,715

1,0

0,827

0,712

0,660

 

Сравнительный анализ численных результатов показывает удов­летворительное соответствие между полученными численными резуль­татами по приведенной программе и результатами, полученными по методу А.С. Малышева.

Стационарное распределение концентраций в трещине (при ϑ → ∞) определяется зависимостью (14) без последнего чле­на [2].

В тех случаях, когда скорость фильтрации v значительна, коэффициент конвективной диффузии может определяться из соотношения D1,2 = λ1,2v. Критерий Пекле, в свою очередь, может быть представлен в виде ξ = l/2λ1. Так как параметр λ1 по величине близок к среднему размеру зерен заполнителя трещины, представляет интерес получение зависимостей, при­годных при больших значениях критерия Пекле (x ≥ 10). Оценивая для этого аргумент гиперболических функций в (13), найдем, что в области 0,1 < х0 < 0,9 с незначительной погреш­ностью можно принимать shz = ez/2. Тогда (13) упрощается и имеет вид

Eqn103.wmf (21)

Переход к оригиналу и введение принятых безразмерных величин дает следующую зависимость для распределения кон­центраций при больших значениях критерия Пекле (x ≥ 10).

Eqn104.wmf (22)

Здесь

Eqn105.wmf

– диффузионный критерий Фурье.

Из выражений (14) и (22) можно определить диффузи­онный поток солей от растворяющейся стенки трещины и, сле­довательно, приращение раскрытия трещины 2d в любом ее сечении на некоторый момент времени t. Очевидно, что

Eqn106.wmf (23)

Подставляя (14) в (23), получим после некоторых пре­образований следующую зависимость для d:

Eqn107.wmf (24)

Для оценки интенсивности раскрытия трещины при раство­рении ее стенок удобно рассматривать средние по длине тре­щины приращения раскрытия. Из (24) для этой цели может быть получено выражение

Eqn108.wmf (25)

Имея в виду, что при больших значениях ξ можно поло­жить Eqn109.wmf, а также заменяя гиперболические функции показательными Eqn110.wmf, получим для стационар­ного режима растворения

Eqn111.wmf (26)

Величина раскрытия трещины в процессе растворения

Eqn112.wmf, (27)

определяемая по зависимости (24), не остается постоянной, а меняется как по длине трещины, так и во времени. Следова­тельно, задача, рассмотренная выше при h = const, дает доста­точно точные результаты только при δ < 0,2h. Если это условие не соблюдается, расчет должен проводиться в две стадии. Сна­чала для заданного времени t по (25) или (26) определяется среднее раскрытие трещины <2h>, которое затем подставляет­ся во все итоговые зависимости. Этот прием позволяет прибли­женно учесть изменение размеров трещины в процессе раство­рения.

Рецензенты:

Агаханов Э.К., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Автомобильные дороги, основания и фундаменты», ФГБОУ ВПО «Дагестанский государственный технический университет», г. Махачкала;

Баламирзоев А.Г., д.т.н., профессор кафедры прикладной математики Махачкалинского филиала МАДИ, г. Махачкала.

Работа поступила в редакцию 22.04.2013.