Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,674

EXISTENCE OF THE KERNEL OF CONVEX, WEAKLY INVARIANT WITH RESPECT TO CONTROLLED SYSTEM SET

Ibragimov U.M. 1 Orazov I. 1
1 M. Auezov South Kazakhstan State University
1044 KB
In this paper we consider the question of the existence of non-empty survivability kernel of closed convex set, which is weakly invariant with respect to system with lumped parameters. We consider controlled system in the right side of which there is the control in the additive form. Control parameter takes values from nonempty compact convex subset of vector space. In this case control region is convex compact polyhedron. We introduce the concept – «strongly and weakly invariant sets» relatively the system, the physical meaning of which is that as long as possible to «hold» the object in the desired state by management. In this case holding of the object is not understood in the geometric sense, but in terms of keeping the average value relatively the volume of the object. Were obtained necessary and sufficient conditions for existence of kernel of convex set of survivability region, relatively linear controlled system. The given conditions differ from before obtained results.
optimal control
the invariant set
the kernel of survivability
1. Ibragimov U.M. Elucidation of the weak invariance of the survival region of the controlled system// Math. modeling and boundary value problems: proceedings of the VII All-Russian scient. conf. with intern. partic. Part 2. Samara, SSTU, 2010. рр. 105–109.
2. Ibragimov U.M. К To the theory of survivability // Materials of XVI Int. Conf. on comput. mechanics and modern. appl. prog. systems (VMSPPS’2009). Alushta, 2009. рр. 332–334.
3. Lee E.V, Marcus L. Foundations of optimal control theory. М.: Nauka, 1972. 574 p.
4. Tukhtasinov M., Ibragimov U.M. Sets Invariant under an Integral Constraint on Controls // Russian Mathematics (Iz. Vuz). 2011, Vol. 55, no 8, рр. 59–65.
5. Edwards R. Functional analysis. Theory and Applications. M.: Mir, 1969. 1072 p.
6. Aubin, J.-P. Viability Theory / J.-P.Aubin. 2nd edition. Birkhauzer, Boston, 2009. 572 p.
7. Feuer A., Heymann J. Omega-invariance in control systems with bounded controls. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1976, no. 53, рр. 266–276.
8. Hajek O. Cores of targets in linear control systems. Math Systems Theory. 1974, no. 8, pp. 203–206.

Современные наукоемкие технические процессы невозможно реализовать без дополнения их современными достижениями теории управления. Как известно, во многих линейных управляемых системах, управляющие параметры могут находиться как в правой части уравнения, так и в граничных условиях. Кроме того, многие важные в теории управления множества обладают свойствами инвариантности. Также известны необходимые и достаточные условия слабой инвариантности области выживания при различных ограничениях на управления [1, 4, 6].

Известно, что задача приведения фазовой точки на целевое множество G с дальнейшим удержанием на нем эквивалентна задаче приведения фазовой точки на ядро живучести области выживания G. При этом возникает следующий вопрос качественного характера, который рассматривается в данной работе: существует ли непустое подмножество множества G, слабо инвариантное относительно рассматриваемой управляемой системы [2].

Постановка задачи. Пусть дана линейная управляемая система

Eqn234.wmf (1)

где x ∈ R – фазовый вектор, A – d×d матрица, u ∈ P – параметр управления, который принимает значения из непустого выпуклого компактного подмножества пространства Rd.

Определение 1. Множество Y ⊂ Rd называется слабо инвариантным относительно системы (1), если для любой начальной точки x0 ∈ Y существует управление такое, что для всех t ≥ 0.

Определение 2. Множество Y ⊂ Rd называется сильно инвариантным относительно системы (1), если для любых x0 ∈ Y и Eqn235.wmf, существует Eqn236.wmf при всех t ≥ 0.

Определение 3. Максимальное подмножество Y ⊂ Rd, слабо инвариантное относительно системы (1), называется ядром живучести множества Y относительно системы (1) и обозначается через core(1)Y.

Предположим, что G – непустое выпуклое замкнутое подмножество Rd. Ядро выпуклого множества G, которое обозначим через Eqn237.wmf, является выпуклым замкнутым подмножеством G [3].

Вектор a ∈ Rd называется асимптотическим направлением множества Y ⊂ Rd, если Y + λa ⊂ Y для всех λ ≥ 0. Совокупность всех асимптотических направлений множества Y обозначим через Eqn238.wmf, т.е.

Eqn239.wmf

Согласно определению ядро множества Y ⊂ Rdотносительно однородной системы

Eqn240.wmf (2)

определяется формулой

Eqn241.wmf

Положим

L = A–1P, Eqn242.wmf,

где A–1Z – прообраз множества Z при отображении A.

Результаты. Лемма 1. Справедливы включения

Eqn243.wmf

Доказательство. Первое включение вытекает из определений множеств L, Eqn244.wmf, так как Eqn245.wmf

Пусть Eqn246.wmf По определению множества Eqn244.wmf найдется u0 ∈ P такое, что Eqn247.wmf и x0 ∈ G. Положив u(t) ≡ u0, рассмотрим соответствующую траекторию системы (1). Поскольку Eqn248.wmf сильно инвариантно относительно системы (2), то

Eqn249.wmf

при всех t ≥ 0. Следовательно, Eqn250.wmf Лемма доказана.

Согласно лемме [8], если Eqn251.wmf то

Eqn252.wmf (3)

Отсюда следует, core(1)G компактно, если Eqn253.wmf Также из теоремы [7] получим Eqn251.wmf если Eqn254.wmf

Лемма 2. Пусть Eqn255.wmf не является линейным подпространством Rd. Тогда существует собственный вектор матрицы A, принадлежащий Eqn255.wmf.

Доказательство. На единичной сфере Eqn256.wmf рассмотрим систему

Eqn257.wmf (4)

Ясно, что если Eqn255.wmf есть луч, то его направляющий вектор будет собственным для матрицы A. Далее, пусть Eqn255.wmf отлично от луча. Положим Eqn258.wmf. Так как выпуклый конус Eqn255.wmf не является линейным подпространством Rd, то найдется ненулевой вектор m ∈ Rd такой, что (m, y) ≥ 0 для всех y ∈ Σ. Отсюда следует, что оператор ортогонального проектирования Π из Rd на Eqn259.wmf является гомеоморфизмом Σ на ΠΣ. Ясно, что ΠΣ есть выпуклый компакт. Поэтому Σ обладает свойством неподвижной точки [5]. Пусть xtодна из неподвижных точек. В силу компактности Σ существует последовательность {tn} такая, что tn ↓ 0 и Eqn260.wmf, x* ∈ Σ при n → +∞ Далее, аналогично теореме [7] доказывается, что x* – точка покоя системы (4), т.е. Eqn261.wmf Таким образом, единичный вектор Eqn262.wmf является собственным для матрицы A. Лемма доказана.

Из доказанной леммы следует, если матрица A не имеет действительных собственных чисел, то Eqn255.wmf является линейным подпространством Rd.

Легко убедиться, что если G = G0 + G1 где G0 –линейное подпространство Rd и G1выпуклый компакт, то Eqn255.wmf является максимальным подпространством G0, инвариантным относительно A и Eqn282.wmf = G0.

Теорема 1. Пусть Eqn255.wmf есть линейное подпространство Rd. Тогда для того, чтобы Eqn263.wmf необходимо и достаточно, чтобы Eqn264.wmf

Доказательство теоремы. Достаточность. Доказательство достаточности теоремы вытекает из леммы 1.

Необходимость. Предположим, что Eqn263.wmf. Введем обозначения: J – ортогональное дополнение к Eqn255.wmf в Rd; Π – оператор ортогонального проектирования из Rd на J; Eqn265.wmf

Из (3) следует, что Ω есть выпуклое компактное подмножество J и Eqn266.wmf.

Далее, рассмотрим управляемую систему

Eqn267.wmf (5)

где y ∈ Rd – фазовый вектор, u ∈ P – параметр управления.

Множество Ω является слабо инвариантным относительно системы (5). Действительно, пусть y0 ∈ Ω т.е. y0 = Πx0 для некоторого Eqn268.wmf Согласно определению 3 найдется Eqn269.wmf такое, что

Eqn270.wmf (6)

для всех t ≥0 где Eqn271.wmf Так как Eqn255.wmf инвариантно относительно A, то

Eqn272.wmf (7)

Следовательно, функция Eqn273.wmf является решением задачи Коши Eqn274.wmf, y(0) = y0. Из (6) следует, что y(t) ∈ Ω для всех t ≥ 0. Таким образом, Ω – слабо инвариантно относительно системы (5).

Далее, по теореме [7] существует точка покоя y* системы (5), принадлежащая Ω. По определению точки покоя найдется u* ∈ P такое, что Eqn275.wmf

Следовательно, Eqn276.wmf и включение y* ∈ G очевидно. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть Eqn255.wmf есть линейное подпространство Rd и detA ≠ 0. Тогда Eqn277.wmf в том случае, если Eqn278.wmf

Доказательство. В соответствии с леммой 1 и теоремой 1 достаточно показать, что если Eqn279.wmf то Eqn278.wmf

Предположим, что Eqn278.wmf Поскольку detA ≠ 0 и подпространство Eqn255.wmf инвариантно относительно A, то

Eqn280.wmf

Значит,

Eqn281.wmf (8)

Так как Eqn255.wmf – линейное подпространство Rd, содержащееся в Eqn282.wmf, то из (8) вытекает, что Eqn278.wmf Теорема доказана.

Заключение

В статье приведены условия для существования ядра выпуклого множества G, слабо инвариантного относительно линейной управляемой системы. Основными результатами статьи являются:

• Теорема 1. Пусть Eqn255.wmf есть линейное подпространство Rd. Тогда для того, чтобы Eqn283.wmf, необходимо и достаточно, чтобы Eqn264.wmf

• Теорема 2. Пусть Eqn255.wmf есть линейное подпространство Rd и detA ≠ 0. Тогда Eqn283.wmf в том случае, если Eqn278.wmf

Рецензенты:

Нысанов Е.А., д.ф.-м.н., профессор кафедры «Теория и методика преподавания информатики» Южно-Казахстанского государственного университета им. М.Ауэзова, г. Шымкент;

Шалданбаев А.Ш., д.ф.-м.н., профессор кафедры «Математические методы и моделирование» Южно-Казахстанского государственного университета им. М.Ауэзова, г. Шымкент.

Работа поступила в редакцию 04.04.2012