Некоторые результаты рассматриваемого численного метода приведены в следующих работах [1–10].
Поставленная задача реализуется с помощью уравнений математической нестационарной динамической теории упругости.
Для решения поставленной задачи рассмотрим некоторое тело Γ в прямоугольной декартовой системе координат OXY, которому в начальный момент времени t = 0 сообщается механическое воздействие.
Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид
(x, y) ∈ Γ;
(x, y) ∈ (Γ ∪ S), (1)
где σx, σy и τxy – компоненты тензора упругих напряжений; εx, εy и γxy – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – cоставляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; ρ – плотность материала; 
– скорость продольной упругой волны; 
– скорость поперечной упругой волны; v – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; S (S1 ∪ S2) – граничный контур тела Γ.
Систему (1) в области, занимаемой телом Γ, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.
Начальные условия в области Γ зададим в виде
(x, y) ∈ Γ , (2)
где u0, v0, 
и 
– заданные в области Γ функции.
Граничные условия зададим в виде:
• составляющих компонентов тензора упругих напряжений на границе S1
(x, y) ∈ S1; (3)
• составляющих компонентов вектора упругих перемещений на границе S2
u = Bx; v = By;, , (x, y) ∈ S2, (4)
где l и m – направляющие косинусы; Ax, Ay, Bx и By – заданные на границе S функции.
Рис. 1. Некоторое тело Γ в прямоугольной декартовой системе координат OXY
Для решения двумерной нестационарной динамической задачи математической теории упругости с начальными и граничными условиями (1–4) используем метод конечных элементов в перемещениях.
Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений.
Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Γ, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости
(5)
где 
– матрица инерции; 
– матрица жесткости; 
– вектор узловых упругих перемещений; 
– вектор узловых упругих скоростей перемещений; 
– вектор узловых упругих ускорений; 
– вектор узловых упругих внешних сил.
Соотношение (5) − система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.
Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях линейную задачу с начальными и граничными условиями (1–4) привели к линейной задаче Коши (5).
Для интегрирования уравнения (5) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду
(6)
Интегрируя по временной координате соотношение (6) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек
(7)
где Δt– шаг по временной координете.
Определим упругое контурное напряжение на границе области, свободной от нагрузок.
С помощью вырождения прямоугольного конечного элемента с четырьмя узловыми точками получим контурный конечный элемент с двумя узловыми точками (рис. 2).
Рис. 2. Контурный конечный элемент с двумя узловыми точками
При повороте оси x на угол α против часовой стрелки получим упругое контурное напряжение σk в центре тяжести контурного конечного элемента с двумя узловыми точками
(8)
Рассмотрим устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках
(i = 1, 2, 3, ...), (9)
где Δl – длина стороны конечного элемента.
Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках.
Для исследуемой области, состоящей из материалов с разными физическими свойствами, выбирается минимальный шаг по временной координате.
На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при взрывных воздействиях на уникальные сооружения.
При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90.
Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные конечные элементы с тремя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений и на прямоугольные конечные элементы с четырьмя узловыми точками с билинейной аппроксимацией упругих перемещений. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы с двумя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений.
Автор выражают благодарность Мусаеву В.К. за внимание к работе.
Рецензенты:
Мусаев В.К. Оглы, д.т.н., профессор, директор научно-производственной фирмы «Интерсейм», г. Пушкино;
Шаршак В.К., д.т.н., профессор кафедры «Механика, машины и оборудование пищевых производств» Донского государственного аграрного университета, г. Новочеркасск.
Работа поступила в редакцию 18.10.2012.