В [3] описана методика решения задачи о минимизации начальной суммы, инвестируемой банком в рассматриваемые m проекты с целью получения прибыли.
В данной работе исследована тесно связанная с этой задачей задача о максимизации прибыли, получаемой банком от реализации в течении n месяцев данных проектов при условии, что инвестиционный фонд банка будет ежемесячно пополняться как за счет средств, специально выделяемых банком, так и за счет прибыли от инвестируемых проектов.
Постановка задачи
Банку необходимо проинвестировать, реализовать и получить прибыль от m проектов в течение n (n ≥ 2) месяцев.
Первоначальный объем инвестиционного капитала банка составляет с рублей. Бюджет инвестиционного фонда будет пополняться банком каждый i-й (i = 1, 2, ..., n - 1) месяц на сумму gi (gi ≥ 0) рублей (i = 1, 2, ..., n - 1) за счет специально выделяемых банком денежных средств. Сумма устанавливается заранее. Кроме того, предполагается, что пополнение инвестиционного фонда осуществляется в моменты kj за счет прибыли, получаемой от реализации каждого j-го инвестиционного проекта, j = 1, 2, ..., m.
Обратим внимание, что в n-м месяце инвестиционный фонд будет пополняться уже не за счет специально выделяемых банком денежных средств, а лишь за счет прибыли, получаемой от реализации этих инвестиционных проектов, т.к., если бы вложение денежных средств осуществлялось в n-м месяце, то возврат денежных средств от данного инвестирования должен был произойти в n + 1-м месяце. Однако подобная операция невозможна: по соглашению каждый проект должен быть проинвестирован, реализован и получена прибыль от него в течении n месяцев (и не более).
Кроме того, предполагается, что в течение каждого месяца средний индекс риска инвестиционных проектов не превышает l (l = const), средняя продолжительность инвестирования проектов не превышает r месяцев (r = const), периодичность инвестирования банком j-го проекта равна kj месяцам (j = 1, 2, ..., m), величина прибыли, которую он ожидает получить от реализации j-го проекта, составляет δj процентов от размера инвестируемой суммы, индекс риска для j-го проекта составляет sj , (j = 1, 2, ..., m).
Цель данной работы - построить математическую модель, позволяющую максимизировать прибыль банка, которую он получит к концу n-го месяца за счет инвестирования всех рассматриваемых проектов на условиях, указанных выше.
Инвестиционный портфель с переменным объемом фонда инвестирования
Обозначим, как и в [3], через k1, k2, k3, ..., kj, ..., - все возможные делители числа n, km = n (k1 < k2 < k3 < kj <...< km), где kj совпадает с периодом инвестирования банком j-го (j = 1, 2, ..., m) проекта. Lα(β) (αα = 1, 2, ..., (m - 2)) - заключительный момент инвестирования β-го (β = 2, 3,..., (m - 1)) проекта.
Рассматриваемые инвестиционные проекты представлены в табл. 1.
Таблица 1 Данные о инвестиционных проектах, реализуемых банком в течение n месяцев
|
Инвестиционные проекты |
Периодичность инвестирования проектов (мес.) |
Моменты инвестирования проектов |
Процент прибыли |
Индекс риска |
|
1 |
1 |
1, 2, 3,..., n |
δ1 |
s1 |
|
2 |
k2 |
где L1(2) < n, n - L1(2) < k2 |
δ2 |
s2 |
|
3 |
k3 |
где L2(3) < n , n - L2(3) < k3 |
δ3 |
s3 |
|
... |
... |
... |
... |
... |
|
j |
kj |
где Lj-1(j) < n , n - Lj-1(j) < kj |
δj |
sj |
|
... |
... |
... |
... |
... |
|
m |
n |
1 |
δm |
sm |
Кроме того (см. [3]), обозначим через Xv(j) - объем инвестирования в момент v (v = 1, 2, ..., n) в инвестиционный проект j (j = 1, 2, ..., m). В соответствии с табл. 1 для каждого j-го проекта переменная Xv(j) в каждый момент v будет иметь вид:
для 1-го проекта
;
для 2-го проекта
;
для 3-го проекта
; (1)
..............................................................................
для j -го проекта
;
............................................................................
для m -го проекта -
X1(m),
где n, 
, 
, 
, ..., 
- число различных объемов инвестирования в v-м месяце (v = 1, 2, ..., n).
Условие максимизации объема прибыли, получаемой банком от реализации рассматриваемых инвестиционных проектов, будет иметь вид:
(2)
Укажем ограничения, которым должны удовлетворять объемы вложений Xv(j) (v = 1, 2, ..., n, j). Согласно постановке задачи (см. п.2), компания имеет рублей (i = 1, 2, ..., n - 1) для вложения в инвестиционные проекты i-м месяце (i=1, 2, ..., n-1) (см. п. 1). Согласно этому условию, объем всех денежных средств в 1-м месяце, инвестируемых в инвестиционные проекты, должен быть равен рублей:
(3)
- суммарный объем вложений в инвестиционные проекты на конец первого месяца.
Текущие инвестируемые средства в рассматриваемые проекты в i-м месяце будут равны сумме специально выделенных банком денежных средств (gi рублей (i = 1, 2, ..., n - 1)) плюс прибыль, полученная от реализации инвестиционных проектов за предыдущий период времени:
‒ объемы вложений на конец второго месяца;
..................................................
(4)
‒ объемы вложений на конец v-го месяца;
..................................................................
‒ объемы вложений на конец n ‒ 1-го месяца;
здесь 
- означает суммирование по тем j (j = 1, 2, ..., m), для которых kj является делителем (v - 1), т.е. суммируются только те объемы вложений, которые уже вернулись банку с учетом указанной прибыли на текущий момент времени.
Объемы вложений на конец n-го месяца отсутствуют, поэтому и сумма для n-го месяца также отсутствует.
Последнее соотношение не содержит отрицательных слагаемых (вычитаемого), т.к. вложения, как отмечалось выше, согласно постановке задачи, не будут осуществляться в n-м месяце.
Согласно формуле для вычисления индекса среднего риска, для первого периода времени индекс среднего риска, не превышает величины l [4]:
,
для второго периода -
..........................................................
для периода v (v ≠ 1), -
, (5)
.........................................................
для периода n -
где 
- означает суммирование по тем j (j = 1, 2, ..., m), для которых kj < v и kj является делителем (v - 1), 
- означает суммирование по тем j (j = 1, 2, ..., m), для которых kj < v и kj не является делителем (v - 1); ψ - индекс, совпадающий с индексом слагаемого из предыдущего соотношения для (v - 1)-го месяца, которое зависит от того же j-го (j = 1, 2, ..., m) инвестиционного проекта, т. е. суммируются только те объемы вложений, которые уже вернулись в банк на текущий момент времени с учетом указанной прибыли.
Из соотношений (5) следует:
.......................................................
; (6)
........................................................
Согласно формуле для вычисления средней продолжительности инвестирования и введенному выше ограничению, имеем [3, 5]:
для первого месяца -
для второго месяца -
..................................................................................
для v-го месяца -
(7)
...................................................................................
для n-го месяца -
где 
- означает суммирование по тем j (j = 1, 2, ..., m), для которых kj < v и kj является делителем (v - 1); 
- означает суммирование по тем j (j = 1, 2, ..., m), для которых kj < v и kj не является делителем (v - 1), ψ - индекс, совпадающий с индексом слагаемого из предыдущего соотношения для (i - 1)-го месяца, которое зависит от того же j-го (j = 1, 2, ..., m) инвестиционного проекта, т. е. суммироваться будут только те объемы вложений, которые уже вернулись банку с учетом указанной прибыли на текущий момент времени.
Из неравенств (7) следует:
............................................................
(8)
............................................................
Очевидно, что:
Соотношения (2), (3), (4), (6), (8), (9) представляют собой математическую модель максимизации прибыли, получаемой банком за счет реализации инвестиционных проектов при условии ежемесячного пополнения инвестиционного фонда банка как за счет прибыли от реализации инвестиционных проектов, так и за счет систематического финансирования их банком в размере gi рублей (i = 1, 2, ..., n - 1).
Пример
Банку необходимо проинвестировать, реализовать и получить прибыль от 4-х проектов в течение n = 6 месяцев.
Первоначальный объем инвестиционного капитала банка составляет 500 000 рублей. Бюджет инвестиционного фонда будет пополняться банком в 4-м месяце на сумму 250 000 рублей за счет специально выделяемых банком денежных средств (пополнения инвестиционного фонда в начале 1-го, 2-го, 3-го, 5-го месяцев равны нулю). Кроме того, пополнение инвестиционного фонда будет осуществляться в каждом месяце за счет прибыли, получаемой от реализации этих же инвестиционных проектов, т.к. наименьшая периодичность инвестирования равна 1 месяц.
Периодичность инвестирования имеющихся четырех инвестиционных проектов (№1, №2, №3, №4) составляет соответственно 1, 2, 3 и 6 месяцев. Процент прибыли по проектам составляет соответственно 1,5; 3,5; 6; 11 процентов ежемесячно от инвестируемой суммы. Индексы рисков для инвестиционных проектов составляют соответственно 1, 4, 9, 7. Средний индекс риска для всех проектов не превышает 6, средняя продолжительность инвестирования этих проектов не превышает 2,5 месяца [2].
При указанных способах и утвержденном графике инвестирования проектов необходимо найти максимальную сумму денег, которуи банк может получить по окончанию их реализации.
Воспользовавшись математической моделью (2)-(4), (6), (8), (9), методикой решения обобщенной математической модели [6] и программным продуктом MATLAB [2], найдем решение данной задачи:
F = 885473,8,
X1(A1) = 216298,4; X2(A1) = 219542,9; X3(A1) = 0;
X4(A1) = 0; X5(A1) = 0; X6(A1) = 0; X1(A2) = 0; X3(A2) = 472142,9;
X5(A2) = 488667,9; X1(A3) = 222836; X4(A3) = 294473,4; X1(A4) = 60865,6. (10)
Таким образом, максимальная прибыль составляет 885473 рубля, а соответствующие объемы инвестирования в требуемые моменты времени определя- ются (10).
Рецензенты:
-
Усатиков С.В., д.ф.-м.н., доцент, профессор кафедры общей математики ГОУ ВПО «Кубанский государственный технологический университет», г. Краснодар;
-
Лебедев К.А., д.ф.-м.н., профессор кафедры прикладной математики ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар.
Работа поступила в редакцию 03.08.2012