Изучение потоков заряженных частиц в электростатических и электромагнитных полях представляет собой весьма актуальную научно-техническую задачу. Большое значение такие исследования имеют для совершенствования управления электростатическими устройствами очистки газов и повышения эффективности металлургических процессов, в частности электролитического рафинирования меди и других металлов. Кроме того, моделирование электростатических полей между поверхностями электродов помогает исследовать природу взаимодействия катода с анодом.
Перенос вещества в процессе электролитического рафинирования осуществляется по трем механизмам: молекулярная диффузия, миграция, конвекция. В соответствии с этим говорят о потоках диффузии, миграции и конвекции. Суммарный поток складывается из трех указанных потоков [8]. Данная статья посвящена вопросам моделирования миграционного потока ионов в электростатическом поле электродов применительно к задачам электролитического рафинирования.
В современном математическом моделировании все более распространяются алгоритмы, известные под общим названием «методы частиц» [9]. Характерной особенностью этих методов является специальный способ дискретизации, при котором вводится множество дискретных объектов - модельных частиц, рассматриваемых как некоторая сетка подвижных узлов. Методы частиц применяются к задачам, в которых рассматривается эволюция во времени некоторой среды или результат такой эволюции (см., например, работы [6, 9, 13] и ссылки в них). Изначально методы частиц получили наибольшее развитие в тех научно-прикладных областях, где требовались масштабные вычислительные эксперименты, для проведения которых сосредотачивались большие интеллектуальные и вычислительные ресурсы. Примерами могут служить работы в области управляемого термоядерного синтеза [1], вычислительной физики плазмы [4, 10, 13], газовой динамики [2-4, 9, 15] и других областях [5, 7, 12]. В формировании современного представления о методах частиц большую роль сыграла работа [14], где впервые была использована идеи расщепления в данных методах.
Среди методов частиц различают чисто лагранжевы и смешанные алгоритмы. Алгоритмы первой группы сводятся к численному интегрированию систем дифференциальных уравнений динамического типа [6], которые описывают траектории взаимодействующих частиц. Для смешанных алгоритмов характерно то, что эволюция системы частиц на каждом временном шаге разбивается на два этапа. На одном из них при фиксированном положении частиц предварительно вычисляется результат их взаимодействия и (или) их коллективного воздействия на среду. Расчет ведется на неподвижной («эйлеровой») сетке. Поэтому этап называется эйлеровым. На другом, лагранжевом, этапе выполняется интегрирование на очередном временном шаге динамической системы, правая часть которой вычислена на эйлеровом этапе.
Для методов частиц, как правило, характерна относительно невысокая точность. Обычный уровень погрешностей составляет несколько процентов. Это является результатом установившегося компромисса между разумным объемом вычислительной работы и возможностью моделировать сложные явления. Такой подход дает существенную экономию машинного времени.
В отличие от упомянутых выше задач, решаемых методами частиц, где рассматриваемые процессы протекают за короткие промежутки времени и при высоких скоростях, процесс электролитического рафинирования занимает продолжительное время (не меньше трех недель) и является медленно текущим. Это обуславливает выбор методов частиц-в-ячейках для моделирования данного процесса, поскольку они обладают большим запасом устойчивости и допускают относительно быстрое продвижение по эволюционной переменной. Метод моделирования потока ионов в процессе электролитического рафинирования, предлагаемый в данной работе, близок к идеям, выдвинутым в [10]. Однако из-за длительности данного процесса применение метода быстрого преобразования Фурье для расчета потенциала поля, использованного в [10], не оправдано вследствие существенного накопления погрешности с течением времени. Кроме того, в настоящей работе используется другая динамическая модель движения частиц, учитывающая особенности процесса электролитического рафинирования. Аналогичный метод применялся авторами для компьютерного моделирования потока частиц пыли в электрофильтре газоочистки [9].
Математическая модель потока ионов металла в процессе электролитического рафинирования
В основу математической модели движения заряженной частицы положены законы движения иона под действием электрической силы. Предполагается, что частицы распределены равномерно на аноде. Для каждого участка траектории строятся отдельные уравнения движения, с помощью которых находятся координаты и скорость частицы в любой момент времени t. Поскольку вдоль оси z перемещений нет, мы будем рассматривать движение в плоскости xOy (рис. 1). Реальная траектория движения частицы является случайной, поскольку скорость и ускорение заряженной частицы в каждой точке ее траектории зависят от случайных столкновений с другой заряженной частицей или стенкой ёмкости, являющейся диэлектриком. Поэтому в каждой точке рассчитывается свой вектор ускорения, который определяется напряженностью электрического поля и используется для расчета скорости в этой точке.
Рис. 1. Движение частицы: l1 - длина пластин электродов; d - расстояние между пластинами; 
- проекции вектора скорости по осям X и Y; К - катод; А - анод
Напряженность электростатического поля определяется как антиградиент потенциала поля f (см. [9]) 
.
Согласно уравнениям Максвелла
(1)
Таким образом, потенциал f удовлетворяет уравнению Лапласа в области x 
(-d/2, d/2), y (0, l1) (см. рис. 1) и граничным условиям
f(-d/2, y) = q, f(d/2, y) = qА,
f(x, 0) = f(x, l1) = 0, (2)
где qА - заряд на аноде.
Пусть частица достигает второго электрода за время T, то есть t изменяется в промежутке от 0 до T. Рассмотрим промежуток времени Δt настолько малый, чтобы на участке траектории движения частицы от точки (x(t), y(t)) до точки (x(t + Δt), y(t + Δt)) напряженность 
можно было приближенно считать постоянной. Тогда приближенная модель закона движения заряженной частицы представляет собой вектор-функцию
где Sx(t) и Sy(t) - это квадратичные сплайны, построенные на сетке ω: 
, 
На каждом промежутке [ti, ti+1] вектор-функция 
задается функциями [9]:
(3)
(4)
Если происходит столкновение двух частиц в момент t Î [ti, ti+1], летящих со скоростями 
и 
(рис. 2), то траектория первой частицы меняется по следующему закону:
(5)
(6)
Аналогичным образом изменяется траектория второй частицы:
(7)
(8)
При ударе частицы о дно электролитической ванны угол падения частицы на стенку будет равен углу отражения от нее (рис. 3). В этом случае траектория движения частицы моделируется следующим образом:
(9)
(10)
Рис. 2. Столкновение двух частиц: m1, m2 - массы частиц; , скорости движения частиц до столкновения; 
, 
- скорости движения частиц после столкновения
Рис. 3. Изменение направления движения частицы при ударе о стенку: m - масса частицы; 
‒ скорость движения частицы; a - угол падения частицы
В любом из описанных случаев координата z остается постоянной, то есть z = z0.
Данная модель может быть использована не только для моделирования потока катионов металла, но и анионов кислотного остатка. В отличие от катионов металла, анионы кислотного остатка при миграции свободно движутся в электролитической ванне, не осаждаясь на электроды.
Компьютерное моделирование потока ионов
Ионы меди являются заряженными частицами одного и того же типа и имеют одинаковую массу. Для таких частиц масса не учитывается и берется равной единице для всех частиц. В начальный момент времени заряженная частица находится в точке (0, y0, z0). В случае соударения частиц или удара частицы о стенку емкости траектории движения частиц формируются по законам (3)-(10) с m = 1.
В электролизной ванне электроды расположены параллельно друг другу. При таком расположении электродов v0x = 0. Начальные координаты y0, z0 заряженной частицы моделируются методом Монте-Карло как случайные величины, подчинённые равномерному закону распределения. В силу кинематических уравнений (6), (7) плоского движения частицы при постоянной напряженности электростатического поля первый участок сплайна рассчитывается по формулам (3), (4) при i = 1.
Далее моделируются координаты частицы (x1, y1, z0) в момент t = t1 и средняя скорость перемещения частицы в точку с этими координатами с помощью формул (3)-(10). Процесс продолжается до тех пор, пока частица не достигнет границы области моделирования. Когда частица достигает нижней горизонтальной границы области, моделируется ее столкновение с дном емкости. Если в какой-то момент времени координаты двух различных частиц совпадают, то моделируется столкновение частиц. В случае совпадения координат частицы с координатами точки на катоде происходит осаждение.
Область моделирования представляет собой пространство между чередующимися катодами и анодами, заполненное электролитом (рис. 4). Оно окружено стенками и дном ванны, являющимися диэлектриками. Область имеет геометрическую форму параллелепипеда.
Заряд на электродах предполагается распределенным равномерно с одинаковой плотностью, так же как в [9]. Потенциалы электродов моделируются в плоскости координат х и у, потому что они не зависят от ширины электродов z. Для расчета потенциала используется пятиточечная разностная схема для задачи (1), (2), построенная на сетке с одинаковым шагом h по x и у [10].
Для моделирования потока ионов меди между катодом и анодом в электролизной ванне было разработано CAE - средство в интегрированной среде разработки приложений Delphi. Для визуализации использовалась библиотека для работы с 3D графикой OpenGL (Open Graphics Library).
a б
Рис. 4. Моделирование потока ионов при электролитическом рафинировании: а - поток ионов меди и электролита; б - потенциалы катодов (темные) и анодов (светлые)
На рис. 4 представлены результаты моделирования потока катионов меди и анионов кислотного остатка для лабораторной электролизной ванны при стандартном напряжении 0,2 В с тремя катодами и двумя анодами.
Заключение
Создан алгоритм позволяющий применять метод частиц-в-ячейках для моделирования потока ионов между анодом и катодом при электролитическом рафинировании. Метод применен для моделирования потоков ионов металла и кислотного остатка в лабораторной установке электролитического рафинирования меди, проведены численные эксперименты по компьютерному моделированию.
Рецензенты:
-
Садовский В.М., д.ф.-м.н, профессор, зам. директора по научной работе Института вычислительного моделирования СО РАН, г. Красноярск;
-
Ловчиков А.Н., д.т.н., профессор кафедры САУ СибГАУ, г. Красноярск.
Работа поступила в редакцию 03.08.2012.