Как известно, доменные границы (ДГ) в ферромагнетиках, ферритах, сегнетоэлектриках и сегнетомагнетиках, а также в антиферромагнетиках и антисегнетоэлектриках обладают свойством противодействовать при их смещении внешней силе F0, то есть в линейном приближении F0 = kx, где k - жесткость, а x - смещение ДГ из ее исходного положения. Величина k имеет несколько составляющих. Одна из них возникает, например, в ферромагнетиках, не имеющих дефектов, где предполагается, что ДГ - плоская, не меняющая свою кривизну, и связана она с тем, что под действием внешней силы σ возникает разность магнитоупругих (или электроупругих) энергий, приводящая к возникновению возвращающей силы, пропорциональной смещению ДГ. Если в поле σ или магнитном H эти энергии для двух соседних доменов будут одинаковы (как для 180° ДГ), то эта сила не возникает. В некоторых кристаллах, как например в сегнетовой соли, из-за наличия в них электроупругой энергии, связанной с пьезострикцией (она линейна по σ и по 
(спонтанная поляризация), появляются под действием σ смещения 180° ДГ, в то время как её электрострикционная часть 
вклада в смещение этих ДГ не дает. Но 90° ДГ смещаются за счет обеих составляющих электроупругой энергии. При смещении ДГ вдоль ее границы возникают магнитные полюса, за счет которых также появляется возвращающая сила
[2],
где N - размагничивающий фактор, а q0 - размер домена вдоль x, т.е. жесткость
Однако есть еще одна составляющая жесткости ДГ. Она возникает за счет того, что ДГ, закрепленная на краях доменов, имеющих размер вдоль z-направления lГ, изгибается, располагаясь на отрезке z от 
до 
. Когда на такую изначально плоскую ДГ действует сила F0, которая однородна вдоль z-оси, ДГ прогибается, как горизонтальная струна, закрепленная на её краях, в поле силы тяжести, приобретающая форму цепной линии. Этот случай прогиба ДГ рассмотрен в работах [2, 3], а подробно в [4, 5]. Там показано, что смещение ДГ х^ зависит от т, в виде:
(1)
для 90° ДГ в плоскости (110) с размером доменов вдоль её смещения q012.
Здесь γ - энергия единицы площади ДГ,
К - жесткость ДГ, связанная с разностью магнитоупругих энергий вдоль смещения ДГ для идеальных бездефектных кристаллов, 
, Hc - магнитное поле, приложенное в плоскости (001) с направляющими его углами β1, β2, то есть в данном случае прогиб ДГ возникает за счет поля Hc. В случае если на ДГ действует упругое напряжение σ, возникает величина D12 за счет неодинаковости в соседних доменах магнитоупругих энергий (объемная плотность). В общем случае она является функцией σij, то есть направляющих косинусов напряжения σ и ориентации в них векторов спонтанной намагниченности. Если произвести усреднение по z зависимости х12(z), то получается среднее смещение ДГ:
(2)
Однако при таком смещении ДГ возникает дополнительная возвращающая сила, связанная с коэффициентом жесткости К в идеальных кристаллах и 
за счет размагничивающих полей. Таким образом, в формуле (2), где 
- гиперболический тангенс, при смещении ДГ на расстояние <х12> на нее действуют в нашем случае три возвращающие ее в положение равновесия силы
,
где KD - жесткость ДГ, обусловленная ее стремлением распрямиться. То есть KD - это отношение средней по z спрямляющей силы 
к смещению ДГ. В таком виде сила в точке z по [3], спрямляющая границу, равна . Далее находим для среднюю силу по z и для нее получаем соотношение:
(3)
где введены обозначения:
Величина KD приближенно равна отношению этой силы к среднему смещению x12. ДГ:
(4)
Структурно-чувствительной величиной здесь может являться lz, которая зависит от концентрации, вида и распределения дефектов по кристаллу.
Если, например, для железа
m = 1,2∙10-10 г/см2, γ = 2 эрг/см2, а lz = 0,04 см, то α @ 4,5∙10-1 см-1
и если
дин/см3,
то KD @ 0,02 дин/см3.
То есть тогда КΣ = 1,02 дин/см3, а
Это соответствует собственным частотам колебаний ДГ в кристаллах железа, в то же время ω0 также становится структурно-чувствительной величиной, зависящей от дефектности магнетика и его магнитоструктурных и упругих параметров. Если взять сегнетоэлектрик, например, BaTiO3, то в <х12> величина 
B12 = K + KN + KD, где е - напряженность электрического поля, Рs - спонтанная поляризация. В сегнетомагнетиках есть упругая, магнитоупругая и упруго-электрическая и магнитоэлектрическая подсистемы, то есть суммарный коэффициент жесткости КΣ будет состоять из первых трех составляющих. Упругая, например, подсистема сегнетомагнетика предопределяет жесткость ДГ бездефектных кристаллов, а ДГ является совмещенной за счет магнитоэлектрической подсистемы.
Рассмотрим далее уже в динамическом режиме жесткость КD, когда ДГ колеблется под действием периодической силы. В этом случае зависимость х12(z) может быть найдена из уравнения:
(5)
Здесь ДГ закреплены в точках z = 0 и lz. Решение этого уравнения, например, даже при βс = 0, k = 0 имеет громоздкий вид. Оно представляет суперпозицию по гармоникам в 
, при n = 0,12. При четных гармониках средние значения по z x12(t,z) зануляются, а для нечетных с ростом n амплитуды смещения по [1] уменьшаются. Например, для n составляющей:
(6)
где 
, Т - сила натяжения ДГ, m - масса её единицы площади, 
Решение (5) отличается от (6) для n = 0 тем, что масса ДГ будет завышать в (5) в сравнении с (6) среднее значение х12(z). Это соответствует некоторой убыли величины KD в динамическом режиме в сравнении с квазистатическими колебаниями ДГ. В то же время вязкость β в режиме (5) способствует уменьшению среднего значения х12(z), т.е. возрастанию КD. В (6) также не учитывается та жесткость К ДГ, которая получается для бездефектных кристаллов, когда при смещениях ДГ остается плоской.
Заключение
Учет жесткости с её ростом занижает амплитуду, а значит среднее смещение ДГ, и дает некоторое увеличение КD. Однако значения КD для динамического и статического смещения, по-видимому, могут отличаться на порядок.
Работа поддержана грантом НК-529 П(10). Госконтракт П-807.
Рецензенты:
-
Кузьменко А.П., д.физ.-мат.н., профессор, профессор кафедры теоретической и экспериментальной физики ФГБОУ ВПО «Юго-Западный государственный университет», г. Курск;
-
Серебровский В.И., д.т.н., профессор, проректор по УР ФГБОУ ВПО «Курская государственная сельскохозяйственная академия», г. Курск.
Работа поступила в редакцию 25.06.2012.