В статье [3] была предложена методика решения задачи о минимизации начальной кредитной суммы, выделяемой банком для инвестирования предложенных ему m проектов при различных способах инвестирования.
В данной работе подробно исследована тесно связанная с ней задача о максимизации прибыли, которую может получить банк при инвестировании тех же проектов, при фиксированном объеме инвестиционного фонда.
Постановка задачи
Инвестиционный фонд банка составляет с рублей. Банку необходимо распределить в течении n месяцев денежные средства инвестиционного фонда между имеющимися m инвестиционными проектами таким образом, чтобы полученная в конце прибыль была максимальна.
Под инвестициями будем понимать способ помещения банком капитала, который должен обеспечить ему положительную величину прибыли в заданный момент времени [4].
Согласно условиям банка, периодичность инвестирования им i-го проекта составляет ki (i = 1, 2, ..., m), величина прибыли, которую он ожидает получить от реализации i-го проекта, составляет δi (i = 1, 2, ..., m) (в процентах), индекс риска i-го инвестиционного проекта составляет si (i = 1, 2, ..., m).
В течение каждого месяца средний индекс риска получения убытков от реализации рассматриваемых проектов sср на момент v (v = 1, 2, ..., n) не должен превышать l, т.е. sср ≤ l, кроме того в начале каждого v-го (v = 1, 2, ..., n) месяца средняя продолжительность инвестирования проектов не должна превышать r месяцев. Подразумевается, что вложение всех денежных средств инвестиционного фонда в рассматриваемые проекты осуществляется в начале первого месяца. На следующих этапах денежные средства из процесса инвестирования не изымаются, а инвестируются повторно с учетом полученной прибыли. Предполагается, что все инвестиционные проекты будут реализованы в течение заданного отрезка времени.
Цель работы - построить математическую модель, позволяющую максимизировать прибыль банка, которую он ожидает получить к концу n-го месяца за счет инвестирования всех рассматриваемых инвестиционных проектов, если инвестиционный фонд банка составляет фиксированную сумму денег (с рублей).
Математическая модель максимизации прибыли, получаемой банком за счет реализации инвестиционных проектов
Обозначим через k1, k2, k3, ..., kv, ..., km - все возможные делители числа n, km = n, (k1 < k2 < k3 < kv < ... < km), где ki совпадает с периодом инвестирования банком i-го (i = 1, 2, ..., m) проекта, т. к. вложенные в проекты денежные средства инвестиционного фонда должны вернуться к концу n-го месяца, (i = 1, 2, ..., m-2) - заключительный момент инвестирования i-го (i = 2, 3, ..., m-1) проекта.
Все данные о рассматриваемых инвестиционных проектах представлены в табл. 1.
Таблица 1
Данные об инвестиционных проектах, реализуемых банком в течение n месяцев
|
Инвестиционные проекты |
Периодичность инвестированияпроекта (мес.) |
Моменты инвестирования проекта |
Процент прибыли |
Индекс риска |
|
1 |
1 |
1, 2, 3,..., n |
δ1 |
s1 |
|
2 |
k2 |
где L1 < n, n - L1 < k2 |
?δ2 |
s2 |
|
3 |
k2 |
где L2 < n, n - L2 < k3 |
|
s3 |
|
... |
... |
... |
... |
... |
|
v |
kv |
где Lv-1 < n, n - L v-1 < k v, |
δv |
sv |
|
... |
... |
... |
... |
... |
|
m |
n |
1 |
δm |
sm |
Обозначим через Xα(i) - объем инвестирования в момент α (α = 1, 2, ..., n) в инвестиционный проект i (i = 1, 2, ..., m). В соответствии с табл. 1 для каждого i-го проекта переменная Xα(i) в каждый момент α будет иметь вид:
для 1-го проекта:
для 2-го проекта:
для 3-го проекта:
(1)
..............................................................................
для v-го проекта:
............................................................................
для m-го проекта:
X1(m),
где n, 
, 
, 
, ..., 
- число различных объемов инвестирования в v-м месяце (v = 1, 2, ..., n).
Индексы Li (i = 1, 2, ..., (m - 2)) в выражениях (1) представляют собой заключительные (последние) моменты инвестирования проектов.
Условие максимизации объема денежных средств, вложенных банком в рассматриваемые проекты, будет иметь вид:
(2)
Укажем ограничения, которым должны удовлетворять объемы инвестирования Xα(i) (,α = 1, 2, ..., n, i = 1, 2, ..., m ). Согласно постановке задачи (см. п. 1), банк имеет с рублей для вложения в инвестиционные проекты. Согласно этому условию в первый месяц объем всех денежных средств инвестируемый в возможные инвестиционные проекты должен быть равен с руб.:
(3)
Поскольку объемы денежных средств, вложенные в v-м месяце, вместе с прибылью не будут изыматься банком из процесса инвестирования, а будут снова вложены в v + 1 месяце, то соотношения, отражающие динамику вложения и отдачи денежных средств начиная со второго месяца, будут иметь вид:
- объемы вложений на конец второго месяца;
.........................................................
(4)
- объемы вложений на конец v-го месяца;
..................................................................
- объемы вложений на конец n - 1-го месяца;
где 
- означает суммирование по тем j (j = 1, 2, ..., m), для которых kj является делителем v, т.е. суммироваться будут только те объемы вложений, которые уже вернулись банку с учетом указанной прибыли на текущий момент времени.
Последнее соотношение не приводится только для n - 1 месяца, т.к. вложения, согласно постановке задачи, не будут осуществляться в (n + 1)-м месяце.
Согласно формуле для вычисления индекса среднего риска для первого периода времени индекс среднего риска, не превышающий величины l, удовлетворяет неравенству [5]:
для второго периода -
..........................................................
для периода v (v ≠ 1), -
(5)
.........................................................
для периода n -
?
где 
- означает суммирование по тем j (j = 1, 2, ..., m), для которых kj < v и kj является делителем (v - 1),
- означает суммирование по тем j (j = 1, 2, ..., m), для которых kj < v и kj не является делителем (v - 1), ψ - индекс, совпадающий с индексом слагаемого из предыдущего соотношения для (v - 1)-го периода, которое зависит от того же j-го (j = 1, 2, ..., m) инвестиционного проекта, т.е. суммироваться будут только те объемы вложений, которые уже вернулись банку с учетом указанной прибыли на текущий момент времени.
Из соотношений (5) следует:
.......................................................
(6)
........................................................
Согласно формуле для вычисления средней продолжительности инвестирования, средняя продолжительность инвестирования в течение первого месяца, учитывая, что она не должна превосходить r, имеет вид [5]:
второго месяца -
..................................................................................
месяца v (v ≠ 1), -
(7)
...................................................................................
месяца n -
где 
- означает суммирование по тем j (j = 1, 2, ..., m), для которых kj < v и kj является делителем (v - 1), 
- означает суммирование по тем j (j = 1, 2, ..., m), для которых kj < v и kj не является делителем (v - 1), ψ - индекс, совпадающий с индексом слагаемого из предыдущего соотношения для (v - 1)-го периода, которое зависит от того же j-го (j = 1, 2, ..., m) инвестиционного проекта, т.е. суммироваться будут только те объемы вложений, которые уже вернулись банку с учетом указанной прибыли на текущий момент времени.
Из неравенств (7) следует:
............................................................ (8)
............................................................
Очевидно, что:
X1(1) ≥ 0, X2(1) ≥ 0, X3(1) ≥ 0, ..., Xv(1) ≥ 0, ..., Xn(1) ≥ 0;
...,
..., 
..., 
..., 
(9)
................................................
...,
...,
................................................
X1 (m)≥0
где индексы Li (i = 1, ..., (m - 2)) - это заключительные моменты инвестирования проектов.
Соотношения (2), (3), (4), (6), (8), (9) представляют собой математическую модель максимизации прибыли, получаемой банком за счет реализации инвестиционных проектов.
Пример
Необходимо максимизировать денежные средства инвестиционного фонда банка размером в 500 000 рублей к концу 6-го месяца. Банк остановился на 4-х инвестиционных проектах предприятий.
Периодичность финансирования имеющихся инвестиционных проектов составляет 1, 2, 3 и 6 месяцев. Процент прибыли по проектам составляет соответственно 1,5; 3,5; 6; 11. Индексы рисков для каждого инвестиционного проекта составляют соответственно 1, 4, 9, 7.
При имеющихся инвестиционных проектах и размере инвестиционного фонда необходимо разработать модель, максимизирующую сумму денег, которую банк получит по окончании инвестирования проектов, учитывая, что в течение каждого месяца средний индекс риска проектов не превышает 6, и в начале каждого месяца средняя продолжительность погашения инвестиционных средств в проекты не превышает 2,5 месяцев [1].
Оптимальное решение, найденное с помощью разработанной программы в среде MatLab [2], имеет вид:
F = 866443.
X1(A1) = 178571, X2(A1) = 465165, X3(A1) = 0, X4(A1) = 0, X5(A1) = 0,
X1(A2) = 0, X3(A2) = 472143, X5(A2) = 488668, X1(A3) = 285714, 302857, X1(A4) = 35714.
Общий доход банка от реализации инвестиционных проектов составил 866443 рублей, общая прибыль составила 366 446 рублей.
Рецензенты:
-
Усатиков С.В., д.ф.-м.н., доцент, профессор кафедры общей математики ГОУ ВПО «Кубанский государственный технологический университет», г. Краснодар;
-
Дударев Ю.И., д.т.н., профессор, ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар.
Работа поступила в редакцию 16.01.2012.