1. Матрица жесткости объёмного конечного элемента. В настоящее время в расчетах оболочек вращения при осесимметричном нагружении широкое распространение получил метод конечных элементов в трехмерной постановке [1, 2, 3, 4]. В данной работе этот подход адаптирован для получения матрицы жесткости конечного элемента оболочки вращения при осесимметричной нагрузке. Для расчета осесимметрично нагруженной оболочки вращения используется кольцевой объемный конечный элемент, поперечным сечением которого является четырёхугольник с узлами i, j, k, l [1].
Используемая в настоящей работе матрица жесткости конечного элемента формируется на основе равенства работ внешних и внутренних сил при осесимметричном нагружении [2]
(1)
где 
- вектор узловых неизвестных в криволинейной системе координат s, ζ;
?
??
[K] - матрица жесткости элемента в глобальной системе координат; {f} - вектор узловых нагрузок элемента в глобальной системе координат.
2. Геометрия в зоне пересечения осесимметрично нагруженных оболочек вращения из однородного материала. Рассматриваются две осесимметрично нагруженные оболочки вращения в координатах xoz и x′o′z′ (рис. 1). Связь между ортами этих систем считается известной
(2)
?
Рис. 1. Сочлененные оболочки вращения в декартовых системах координат xoz и x′o′z′
На основании (2) определяется соотношение между векторами локальных базисов в граничной точке сочлененных оболочек
(3)
где 
В узлах на границе пересечения оболочек узловые неизвестные одной оболочки (элемент I) принимаются за основные (см. рис. 1), узловые неизвестные примыкающей оболочки (элемент II) должны быть выражены через узловые неизвестные основной оболочки. В дальнейшем величины, относящиеся к примыкающей оболочке, будут отмечаться штрихами.
Для конечных элементов примыкающих к границе сочленения оболочек выполняются перенумерации неизвестных и рассматриваются следующие векторы узловых неизвестных для основной и примыкающей оболочек
(4)
(5)
где 
Соотношения между компонентами векторов (4) и (5) определяются с использованием следующих условий:
1. Векторы перемещений в точке, расположенной на границе пересечения двух оболочек, равны
откуда с учётом (3) получается
(6)
Зависимости между производными компонент вектора перемещений для двух оболочек на линии пересечения можно получить, используя выражения производной вектора по направлению
, (7)
где 
Используя выражение (7), можно записать соотношения:
(8)
(9)
Производные векторов перемещений определяются выражениями:
(10)
В соотношениях (10) использовано выражение производных векторов узловой точки в виде
(11)
где 
Равенство (8) с использованием (10) запишется в виде
откуда получается:
?
(12)
Используя выражение (10), можно выразить из (12) производные компонент вектора перемещений 
примыкающей оболочки через узловые неизвестные основной оболочки
?
(13)
Равенство (9) с использованием (10) получит вид
?
(14)
Используя выражение (10), можно выразить из (14) производные компонент вектора перемещений 
примыкающей оболочки через узловые неизвестные основной оболочки
?
(15)
На основании выражений (6), (13), (15) зависимость между векторами (4) и (5) запишется матричным выражением
(16)
С использованием (16) формируется матрица преобразования [Т] для матрицы жесткости и вектора узловых нагрузок примыкающих конечных элементов осесимметрично нагруженных оболочек вращения
(17)
3. Геометрия в зоне пересечения осесимметрично нагруженных оболочек вращения из разнородных материалов. При сопряжении осесимметрично нагруженных оболочек вращения из разнородных материалов положение плоскости раздела считается заданной (рис. 2). В узловой точке, расположенной на границе плоскости раздела, определяются углы α, β между локальными базисами узловых точек сопрягаемых оболочек и единичными векторами 
(нормальным и касательным к граничной плоскости оболочек).
Рис. 2. Конечные элементы сопрягаемых оболочек вращения
В граничной узловой точке рассматриваются следующие векторы узловых перемещений
(18)
(19)
(20)
(21)
Матричные соотношения между векторами (18), (20) и (19), (21) определяются по методике, описанной в пункте 2, и представляются выражениями:
(22)
(23)
Соотношения между векторами (18), (20) определяются с использованием следующих условий.
1. Условие о равенстве векторов перемещений в граничной точке в различных системах координат приводит к соотношениям
(24)
2. Равенство производных компонент вектора перемещения вдоль оси τ дает выражения
(25)
3. Условия равенства касательных напряжений в плоскости раздела материалов
приводит к выражению
(26)
При получении выражения (26) использован закон Гука в матричном виде [5]
(27)
где
4. Равенство нормальных напряжений в системе координат ρ, τ 
приводит к соотношению
откуда получается
(28)
где E, E′ - модули упругости материалов; ν, ν′ - коэффициенты Пуассона.
На основании выражений(24), (25), (26) и (28) зависимость между векторами (18) и (20) запишется в матричном виде
(29)
С учетом выражений (29), (22) и (23) можно получить матричное соотношение между векторами (18) и (20) сопрягаемых криволинейных пластин из разнородных материалов
(30)
С использованием (30) формируется матрица преобразования [Т] для матрицы жесткости и вектора узловых нагрузок граничного конечного элемента примыкающей пластины
(31)
Пример. Определялось напряженнo-деформированное состояние цилиндра со сферическим днищем, находящегося под внутренним давлением интенсивности q (рис. 3). Представлены два варианта расчета: 1 - цилиндр и сферическая оболочка из однородного материала; 2 ? цилиндр и сферическая оболочка из разнородных материалов.
?
Рис. 3. Цилиндр со сферическим днищем под внутренним давлением интенсивности q
Были приняты следующие исходные данные:
1 вариант - l1 = 0,1 м, l2 = 0,05 м, l3 = 0,04 м, q = 8 Н, h = 0,0005 м, b = 0,05 м, E = 2•103 МПа, v = 0,3;
2 вариант - l1 = 0,1 м, l2 = 0,05 м, l3 = 0,04 м, q = 8 Н, h = 0,0005 м, b = 0,05 м, E = 2•105 МПа, v = 0,3, E′ = 2•106 МПа, v′ = 0,25
Сходимость вычислительного процесса была достаточной при разбиении конструкции на 5 элементов по толщине, на 40 по длине цилиндра и 25 по длине дуги круговой оболочки.
Для повышения точности выполнения условий равновесия рассчитываемая конструкция разбивалась на 11 конечных элементов по толщине и на 100 элементов по длине цилиндра и на 75 по дуге круговой оболочки.
По полученным результатам построены эпюры нормальных напряжений σхх в сечении 1-1 (см. рис. 3): для 1-го варианта (рис. 4а), для 2-го варианта (рис. 4б)
Рис. 4а. Эпюра нормальных напряжений σхх в сечении 1-1 цилиндра со сферическим днищем из однородного материала
Рис. 4б. Эпюра нормальных напряжений σхх в сечении 1-1 цилиндра со сферическим днищем из разнородных материалов
Для 1-го варианта - условие равновесия по силам 
выполняется с погрешностью δ = 0,6%; для 2-го варианта - условие равновесия по силам выполняется с погрешностью δ = 0,7%.
На основе анализа результатов выполненных примеров расчета можно сделать вывод о корректности алгоритма определения напряженно-деформированного состояния в зонах сочленения оболочек вращения на основе разработанного конечного элемента [1].
Рецензенты:
-
Голованов В.К., д.т.н., ст. н.с. кафедры «Начертательная геометрия и компьютерная графика» ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный технический университет», г. Волгоград;
-
Беликов Г.И., д.т.н., профессор кафедры «Сопротивление материалов» ФООГУ Волгоградского архитектурного университета, г. Волгоград.
Работа поступила в редакцию 09.04.2012.