Рассмотрим эксперимент по определению зависимости конечных перемещений точек упругого стержня от аэродинамических сил. К одному из концов стержня жестко прикреплена пластинка. Широко используемая в строительной механике и в курсах сопротивления материалов линейная теория упругого изгиба стержней, которая базируется на предположении о малости перемещений при деформации, дает линейную зависимость прогиба от внешних сил. Однако в случае больших перемещений при деформации линейная теория не позволяет адекватно физической задаче определять искомые зависимости. В технике встречаются конструкции, в которых стержень или тонкая полоска сильно изгибаются при работе материала в пределах упругости. Наряду с рассматриваемой задачей примерами таких конструкций могут служить различного рода плоские или ленточные пружины, механические датчики нелинейных зависимостей. В связи с этим весьма актуальной является задача определения зависимости больших перемещений при деформации стержня от внешних сил.
Цель работы: решив уравнение равновесия конструкции, установить зависимость между аэродинамическими силами и углом поворота пластинки (текущим углом атаки αТ), и тем самым, построить математическую модель эксперимента в аэродинамической трубе.
Постановка задачи (рис. 1). Рассмотрим задачу об изгибе потоком воздуха упругого однородного стержня, жестко защемленного нижним концом, к верхнему концу которого жестко прикреплена абсолютно твердая пластинка. Предполагается, что поток воздействует только на пластинку, изгиб стержня происходит в одной плоскости. Силу воздействия потока 
на пластинку представим в виде суммы двух векторов:
,
где 
- сила сопротивления, 
- подъемная сила, 
, 
. Для аэродинамических сил возьмем зависимости:
, 
,
где ρ - плотность воздуха; α - угол атаки, 
, 
- единичный вектор, лежащий в плоскости пластинки. Функции s(α), p(α) - коэффициенты аэродинамических сил, зависят от формы и размеров пластинки и определяются экспериментально [5]. К стержню кроме силы приложен момент:
где d(α) - расстояние от центра давления до точки крепления пластинки и стержня. Тогда уравнение равновесия Кирхгофа представленной системы примет вид:
(1)
?
Рис. 1. Постановка задачи
Исследование равновесия тела на упругом стержне в потоке воздуха. Понизим порядок уравнения равновесия и выразим интеграл l(θ).
(2)
(3)
где C - постоянная, определяемая начальными условиями.
Потребуем, чтобы точка перегиба совпадала с точкой крепления O. Это будет разделяющий случай между различными выпуклостями стержня. Тогда при l = 0, кроме условия θ = ψ, появляется еще одно граничное условие 
. Из (2) следует
(4)
Преобразуем l в выражении (3), одновременно сделав замену
?
(5)
Запишем дискриминант выражения, стоящего в квадратных скобках (5), и подставим вместо C его значение (4):
Рассмотрим ситуацию, когда D обращается в нуль. Это будет, если
Условие V > 0 означает, либо, p(αT) > 0 и ctgψ < 0, либо p(αT) < 0 и ctgψ > 0. Могут возникнуть следующие случаи:
1. Если 0 < αT < 90°, то p(αT) > 0. Следовательно 90° < ψ < 180°;
2. Если 90 < αT < 180°, то p(αT) < 0. Следовательно 0° < ψ < 90°;
3. Если αT = 90°, 180°, то p(αT) = 0. Следовательно ψ = 0,180°.
Выразив cos θ и sin θ через tg (θ/2) и подставив в выражении (5), получим интеграл, который при D = 0 примет вид:
(6)
Вычислив интеграл, входящий в формулу (6), получим зависимость l(θ):
где 
Полученный интеграл - расходящийся интеграл, следовательно, случай, когда точка перегиба будет находиться в точке крепления O возникнуть не может.
Гамильтонов подход. Для преобразования уравнения (1) к системе двух уравнений Гамильтона поступим формально: выберем обобщенную координату θ (в качестве θ возьмем угол θ(l) наклона касательной оси стержня к оси 
), укажем сопряженной координате импульс pθ и приведем соответствующую такому выбору функцию Гамильтона. Получим систему двух уравнений Гамильтона с соответствующей функцией H в виде
(7)
(8)
Канонической заменой θ + δ, pζ = pθ из системы (7) получим:
(9)
где 
А функция Гамильтона (8) в канонических переменных будет иметь вид:
Система (9) допускает тривиальное решение ζ = 0, pζ = 0. Решение, отличное от тривиального, найдем методом нормальных форм. Получим нормализованную функцию Гамильтона, перейдем в ней к комплексно сопряженным каноническим переменным 
, 
причем необходимо учесть валентность такого преобразования 
. Здесь 
- новая функция Гамильтона, которая в переменных p и q имеет вид:
(10)
При отсутствии соответствующих резонансов в системе (9), функцию Гамильтона (10) каноническим преобразованием приведем к нормальной форме [1, 2]. В качестве канонического выберем преобразование Биркгофа с соответствующей порождающей функцией
Специальным выбором коэффициентов порождающей функции приводим функцию Гамильтона (10) к нормальному виду в переменных u и v
(11)
Система дифференциальных уравнений с функцией Гамильтона (11) допускает общий интеграл r = uv = const, что дает возможность представить ее точное решение в явном виде
где 
В результате получаем зависимость 
и 
от дуговой координаты l:
?
?
Откуда находим решение поставленной задачи:
Для определения постоянных интегрирования a и b воспользуемся граничными условиями, перепишем граничные условия в новых переменных и .
где 
Заменив уравнения системы для и приближенными и воспользовавшись граничными условиями, будем иметь нелинейную систему уравнений для нахождения a и b.
Обратное преобразование Биркгофа. Построенное решение задачи зависит от постоянных интегрирования a и b, и при подстановке граничных значений дает систему нелинейных алгебраических уравнений. Однако, когда известны значения исходных переменных при l = 0, нет необходимости решать нелинейную систему. Явный вид a и b можно получить, используя обратное преобразование Биркгофа [2, 4]:
Возвращаясь к исходным переменным, получим систему для нахождения неизвестных постоянных, где и вычисляются при l = 0:
В том случае, когда и не заданы одновременно в одной точке, необходимо решать нелинейную систему. Ее предлагается решать методом последовательных приближений [4]. Как показали вычисления в этом случае, каждый шаг итерации уточняет значение искомого угла на один знак после запятой.
Представление решения в виде отрезка ряда по скорости. Запишем уравнение равновесия (1) относительно изменения угла наклона касательной к оси стержня ν = θ - ψ
(12)
Граничные условия в задаче будут:
при l = 0: ν = 0;
при 
(13)
Предположим, что решение задачи (12), (13) представимо в виде степенного ряда по V:
(14)
Найдем зависимость угла атаки от скорости набегающего потока:
αT = α0 + νk.
Заменим уравнение (12) приближенным, и, подставив в (14), после группировки коэффициентов со степенями V получим уравнение:
,
где коэффициенты qj:
(15)
?
?
Граничные условия к полученным дифференциальным уравнениям (15) примут вид
при l = 0: μn = 0, n = 1, 2, 3; пр и l = L: 
(16)
Имея дифференциальные уравнения второго порядка (15) и два граничных условия (16) на каждое из уравнений, можем найти коэффициенты μn ряда (14). Таким образом, найдена приближенная зависимость угла атаки от скорости набегающего потока:
.
Стоит отметить, что поток воздуха оказывает стабилизирующее воздействие на пластинку, если с ростом скорости потока угол атаки уменьшается [3, 4].
Заключение
После проведения необходимых вычислений было произведено сравнение решений θ = θ(l), полученных разными методами. Все представленные графические зависимости θ = θ(l) были получены при следующих параметрах стержня, пластинки и потока: ρ = 1,293 кг/м3; ψ = 45°; α0 = 30°; L = 0,3 м; d = 0,05 м. Пластинка рассматривалась абсолютно твердая прямоугольной формы, с размерами 0,1×0,3 м (большая сторона расположена вдоль потока). Стержень стальной, длиной L = 0,3 м, с прямоугольным сечением 0,006×0,003 м, меньшее из ребер сечения направлено по потоку.
На рис. 2 приведены графики решений θ = θ(l), полученные при указанных скоростях набегающего потока. На графиках пунктирной линией указано решение, полученное с помощью гамильтонова подхода, сплошной линией - в виде отрезка ряда по скорости набегающего потока. Для выяснения, какой из приближенных методов адекватнее описывает поведение построенной модели, было проведено численное решение методом rkf45 (Рунге-Кутта-Фельберга 4-5 порядка). Оно обозначено на рисунках линией «точка-тире». Из рис. 2 видно, что при малых скоростях потока (до 40-50 м/с), расхождение решения, полученного с помощью гамильтонова подхода и численного решения методом rkf45, достаточно мало (порядка 0,5-1,0 градуса).
а. V = 50 м/с
?
б. V = 70 м/с
?
в. V = 100 м/с
?
Рис. 2. Сравнение решений θ = θ(l), полученных разными методами
С ростом же скорости потока решения сильнее отклоняться друг от друга и при скорости V = 90...100 м/с разница решения θ(L) (на верхнем конце стержня) достигает уже 5-6 градусов. Это расхождение можно объяснить недостаточным количеством членов в разложении функции Гамильтона. На рисунках также продемонстрировано сильное расхождение, как при малых скоростях, так и при больших, решений, полученных с помощью отрезка ряда по скорости набегающего потока, с решениями гамильтоновым и численным методом. Это расхождение происходит из-за специфики самого метода «разложения в ряд по скорости», который при росте скорости очень быстро отклоняется от «истинного» решения. Из всего вышесказанного следует, что гамильтонов подход дает достаточно близкое к «истинному» решение, но при математическом моделировании заставляет каждое решение получать с помощью последовательных итераций, что не всегда удобно для реализации. Второй подход, через представление решения в виде отрезка ряда по скорости, дает аналитические формулы для всех решений, однако его применение целесообразно лишь при малых скоростях потока.
Данная статья написана при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту № 1.1885.2011, тема: «Математическое моделирование статики и динамики гибридных механических систем и идентификация их параметров», научный руководитель - Илюхин Александр Алексеевич.
Рецензент -
Капустян С.Г., д.т.н., начальник отдела многопроцессорных информационно-управляющих систем, НИИ МВС имени академика А.В. Каляева, г. Таганрог.
Работа поступила в редакцию 19.03.2012.