Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

Mathematical modeling of an optimum organization portfolio of securities

Benevolenskiy S.B. 1 Kuznetsov M.S. 1
1 Moscow state aviation technological university, Moscow
This article describes developed by authors method for calculating the optimum organization portfolio of securities. The method is based on the proposed mathematical model of investment portfolio. Researches of mathematical modeling of an optimum organization portfolio of securities have been conducted and the algorithm for solving the problem of forming the optimal portfolio organizations with the account of following restrictions has been developed: given ROA, restrictions on the maximum and minimum sizes of investments into separate actives and minimum sizes of securities lots. Calculations of real market indicators for the ten companies have been made. These calculations are accompanied by economic conclusions. Graphical illustrations have been given. Based on the analysis can be given practical advices about a portfolio of securities formulation.
portfolio optimization
ROA
quadratic programming
1. Pervozvanskij A.A., Pervozvanskaya T.N. Finansovyj rynok: raschet i risk (Financial market: calculation and risk). Moscow: Infra-M, 1994.
2. Spivak S.I., Sayapova E.V., Axtyamov R.E. Sistemy upravleniya i informacionnye texnologii, 2007, no.28, pp. 28–52.
3. Yasin E.G. Scenarii razvitiya Rossii na dolgosrochnuyu perspektivu (Long-term zcenarios of Russia’s development). Moscow: Fond «Liberalnaya missiya», 2011.
4. Brealey R.A., Myers S.C. Principy korporativnyx finansov (Principles of corporate finance). Moscow: Olimp-business, 1997.
5. Holt R.N., Barnes S. B. Capital budgeting. Moscow: Delo LTD, 1994.

В условиях современной рыночной экономики одной из важнейших областей хозяйственной деятельности любой организации является инвестиционное планирование [4, 5].

В настоящее время проблема выбора оптимального сбалансированного портфеля становится особенно актуальной в связи с расширением инвестиционной активности банковского сектора, появлением паевых инвестиционных фондов, негосударственных пенсионных фондов и развитием экономики в целом [3].

В качестве прототипа была выбрана математическая модель с дополнительными ограничениями. Описанная модель позволяет сформировать инвестиционный портфель с ограничениями сверху, когда доля активов в общей структуре может составлять не более заданной величины [2]. Теория оптимального портфеля позволяет сформировать инвестиционный пакет финансовых активов, риск которого минимален по сравнению со всеми другими возможными портфелями, составленными из этих же активов. В качестве меры риска портфеля рассматривается стандартное отклонение (или дисперсия), характеризующее вероятность отклонения доходности портфеля от ожидаемого значения. Любой портфель характеризуется двумя параметрами: ожидаемой эффективностью и риском.

Известно, что закономерность нахождения оптимальной структуры портфеля имеет следующий вид [1]:

?

при ограничениях:

где Vp - вариация эффективности портфеля; Vij - ковариации эффективностей ценных бумаг i-го и j-го вида; mj - математическое ожидание эффективности ценной бумаги j-го вида; mр - заданная эффективность портфеля; xj - доля капитала, вложенного в ценные бумаги j-го вида.

Условие неотрицательности переменных в данной постановке задачи является необходимым. Если xj > 0, это означает рекомендацию вложить долю xj наличного капитала в ценные бумаги вида j. Если xj < 0, то это означает рекомендацию взять в долг ценные бумаги этого вида в количестве - xj.

Оценочная стоимость акций (облигаций, векселей) одного хозяйственного общества может составлять не более δj процентов стоимости активов.

В описанной модели не учитываются ограничения снизу, когда доля актива должна быть не менее заданной величины. Ограничения снизу выполняют две функции: могут быть наложены как условие на минимальную безрисковую часть актива и в то же время как условие минимальной цены лота того или иного актива.

Цель работы заключается в модификации описанной методики с помощью ввода дополнительных ограничений на минимальные значения долей активов в портфеле. Установление минимальной цены лота для каждого актива повышает точность математической модели, и, одновременно, разрешает использование модели при малых объемах инвестиционного портфеля, то есть в тех случаях, когда получаемые рекомендуемые доли активов меньше или равны минимально возможному объему покупки (неделимой цене лота).

Исходная задача представляет собой проблему квадратичного программирования, для решения которой разработаны специальные численные методы. Для проведения вычислительного эксперимента случайным образом было отобрано 10 видов ценных бумаг - акций и облигаций, которые котируются на российской фондовой бирже (табл. 1). Первичная обработка данных сводится к нахождению статистических характеристик портфеля - математического ожидания и среднего квадратического отклонения эффективности ценной бумаги и корреляционной матрицы между ними (табл. 2 и 3).

Таблица 1

Отобранные акции и облигации для вычислительного эксперимента

x1

Акции обыкновенные Открытого акционерного общества «Газпром»

x6

Облигации Открытого акционерного общества «АвтоВАЗ»

x2

Акции обыкновенные Открытого акционерного общества «Нефтяная компания «ЛУКОИ?Л»»

x7

Облигации Закрытого акционерного общества «Банк Русский Стандарт»

x3

Акции обыкновенные Открытого акционерного общества «Новолипецкии? металлургическии? комбинат»

x8

Облигации Открытого акционерного общества «Газпром»

x4

Акции обыкновенные Открытого акционерного общества «Горно-металлургическая компания «Норильскии? никель»»

x9

Облигации Открытого акционерного общества энергетики и электрификации «Ленэнерго»

x5

Акции обыкновенные России?ского открытого акционерного общества энергетики и электрификации «ЕЭС России»

x10

Облигации Открытого акционерного общества «Нефтяная компания «ЛУКОЙЛ»»

Таблица 2

Среднее значение (mj) и стандартное отклонение (σj) доходности активов (в%)

 

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

mj

175,53

97,56

62,88

75,15

114,73

7,7

8,55

6,99

8,87

6,93

σj

65,51

48,93

19,66

25,47

22,76

0,46

0,29

0,22

0,61

0,12

Минимальное возможное значение риска для рассматриваемого экспериментального портфеля составляет 10% при отсутствии пороговых ограничений при условии, что доля каждой ценной бумаги не может быть более 35% (табл. 4). При малой эффективности в портфель включаются наиболее эффективные облигации в максимальных долях (пороговое ограничение 35%). Например, при заданной эффективности в 10% облигации составляют 98% всего портфеля инвестора.

Преобладающая доля облигаций в портфеле объясняется тем, что облигации традиционно считаются менее рисковым активом, чем акции. Акции корпораций являются не только менее надежными, но и более доходными ценными бумагами. Поэтому невысокая требуемая доходность обеспечивается в основном за счет облигаций, почти без добавления акций, при этом достигается минимизация риска.

С увеличением эффективности постепенно понижается доля облигаций в портфеле, и возрастает доля акций. Для максимальной эффективности (65%) следует вложить капитал в акции, которые обладают высокой доходностью, и в облигации с низким риском - x3, x4, x5, x7, x9.

Таблица 3

Ковариационная матрица доходностей ценных бумаг

 

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x1

4291,560

2628,432

888,669

1017,809

596,403

-15,067

-1,900

8,936

11,589

2,909

x2

2628,432

2394,145

480,982

286,637

412,049

-6,752

-0,284

4,952

7,163

0,705

x3

888,669

480,982

386,516

220,326

120,815

-3,075

0,627

2,076

4,317

0,731

x4

1017,809

286,637

220,326

648,721

214,488

-3,515

-0,665

2,409

1,709

1,650

x5

596,403

412,049

120,815

214,488

518,018

-1,675

1,914

2,203

1,250

0,956

x6

-15,067

-7,878

-3,075

-3,515

-1,675

0,212

0,023

-0,018

-0,011

0,004

x7

-1,900

-0,284

0,627

-0,665

1,914

0,023

0,084

0,014

0,007

0,006

x8

8,936

4,952

2,076

2,409

2,203

-0,018

0,014

0,048

0,034

0,019

x9

11,589

7,163

4,317

1,709

1,250

0,000

0,007

0,034

0,372

0,014

x10

2,909

0,705

0,731

1,650

0,956

0,004

0,006

0,019

0,014

0,014

Таблица 4 Результаты решения задачи оптимального портфеля

#

mp

Vp

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

1

10%

0,19

0,00%

0,00%

0,28%

0,37%

1,13%

35,00%

35,00%

0,00%

28,19%

0,00%

2

15%

1,92

0,00%

0,00%

1,93%

0,76%

4,82%

35,00%

35,00%

0,00%

22,49%

0,00%

3

20%

5,68

0,00%

0,00%

3,44%

1,11%

8,54%

35,00%

27,86%

0,00%

24,06%

0,00%

4

30%

19,32

0,00%

0,00%

6,40%

1,79%

15,98%

35,00%

6,41%

0,00%

34,43%

0,00%

5

50%

71,04

0,00%

0,00%

12,68%

3,21%

30,76%

35,00%

0,00%

0,00%

18,35%

0,00%

6

65%

136,20

0,00%

0,00%

23,47%

9,74%

35,00%

0,00%

16,03%

0,00%

15,76%

0,00%

Процесс перераспределения капитала между акциями и облигациями показан на рис. 1 и 2.

 

Рис. 1. Распределение акций в портфеле Рис. 2. Распределение облигаций в портфеле

Далее рассмотрим поведение каждого актива в отдельности. Отобранные для вычислительного эксперимента акции компаний обладают разными уровнями риска и доходности. При увеличении эффективности портфеля акции x5, x3 и x4 увеличиваются, при этом доля бумаги x5 достигает ограничения в 35%. В то же время бумаги x1 и x2 вообще не учавствуют в формировании инвестиционного портфеля. Это объясняется тем, что бумаги x1 и x2 обладают малым уровнем доходности и при этом являются более рисковыми, чем x5, x3 и x4.

Отобранные для эксперимента облигации ведут себя схожим образом. Облигация x4 обладает хорошей доходностью и при этом минимальным риском. Поэтому в инвестиционном портфеле ее доля максимальна до порога 50% эффективности. Для достижения прибыли более 50% бумаги x4 замещаются акциями и компенсируются активом x7.

Облигация x9 обладает средними характеристиками «доходность-риск», поэтому выполняет балансирующую роль в инвестиционном портфеле, позволяя достигать требуемого уровня эффективности. Облигации x8 и x10 не участвуют в формировании портфеля из-за низких характеристик доходности по отношению
к риску.

Полученные доли ценных бумаг в инвестиционном портфеле соответствуют классическим распределениям активов при рыночной стратегии минимизации рисков. Таким образом, полученные значения распределения долей могут быть использованы для формирования реального инвестиционного портфеля организации с действующими ограничениями.

Рецензенты:

  • Галушкин А.И., д.т.н., профессор, начальник лаборатории «Интеллектуальные информационные системы» ФГНУ «Центр информационных технологий и систем органов исполнительной власти», г. Москва;
  • Сидоренко С.В., д.э.н., начальник Отдела по интеграции науки и образования РАН, г. Москва.

Работа поступила в редакцию 01.03.2012.