Scientific journal

Fundamental research

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

Одним из основных показателей безо­пасности сложных систем является риск от эксплуатации

или

где q_i(t) € Q - вероятность исходного события (отказа, аварии, катастрофы); c_i(t) € С - последствия (ущерб) от исходного события; t € T - время эксплуатации системы; i = 1...n - число исходных событий.

Известно, что определение значений вероятностей q_i(t) возможно различными способами: статистическими, параметрическими, имитационными, экспертными и др. Естественно, что каждый из этих методов обладает различными преимуществами и недостатками. В работах [1-3] показано, что наиболее предпочтительными для систем длительного использования, с точки зрения информативности, являются параметрические методы прогнозирования характеристик на- дежности.

где Y_iпред - предельное значение комплексного параметра работоспособности системы, после которого может наступить отказ (авария, катастрофа) (рис. 1).

Для определения значений Y(X, T) может быть использован хорошо разработанный аппарат многофакторного регрессионного анализа

или

 (5)

где b - вектор коэффициентов регрессии;
k - число факторов; ξ(t) - ошибка от отбрасывания членов уравнения малозначащими величинами факторов.

При всех преимуществах параметрических методов определения характеристик надежности сложных систем этим методам присущ один очень существенный недостаток: субъективизм, назначения предельных значений параметров работоспособности Y_iпред в момент времени t_k (см. рис. 1).

Математический аппарат теории катастроф, а именно, два направления качественной теории дифференциальных уравнений: теории особенностей дифференцируемых отображений X. Уитни и теории бифуркаций динамических систем А. Пуанкаре, А.М. Ляпунова и А.А. Андронова [4] позволяет устранить указанный недостаток параметрических методов.

Описание метода. В процессе эксплуатации системы в материалах элементов под воздействием внутренних и внешних факторов происходят необратимые физико-химические процессы, приводящие к деградации конструкционных материалов. Это, в свою очередь, приводит к накоплению потенциальной энергии потери работоспособности конструкционных материалов. В момент, когда потенциальная энергия необратимых деградационных процессов достигает максимума, происходит отказ объекта (элемента, блока конструкции или системы в целом). Таким образом, если удастся зафиксировать каким-то образом момент максимального значения потенциальной энергии E, то можно определить момент перехода объекта (элемента, системы) из работоспособного состояния в неработоспособное, именуемое далее как «катастрофа» (прыжок, скачок). Геометрически это показано на рис. 2. Точка P характеризует поведение объекта в точке, где равновесие меняется с устойчивого (локальный минимум энергии) на неустойчивое (локальный максимум).

Рис. 2. Прыжок катастрофы: а - возрастающий; б - убывающий характер параметра Y(X, T)

Математические модели катастроф вытекают из теории Тома о классификации элементарных катастроф [4]. При этом используется метод Зимана, в котором главным объектом изучения служит форма функции вблизи данной точки на многообразии катастроф. Рассмотрим основные структуры, относящиеся к катастрофам.

Рассмотрим семейство функций

где Z - некоторое многообразие, которое обычно является Rⁿ; C - другое многообразие (R^r).

В теории катастроф пространство Rⁿ носит название пространства состояний, пространство R^r - пространство управления, число r - размерность деформации. Здесь под деформацией понимаются варьируемые переменные.

В математическом контексте (а иногда и в приложениях) R^r называется пространством деформации, а его точки (или их координаты) - параметрами деформации. Очень важно, что происходит с функциями вблизи начала координат, ибо это отражается на поведении функций на всем пространстве Rⁿ·R^r.

Подмножество Rⁿ·R^r, определенное уравнением

, (7)

называется многообразием катастроф, где E_c(z) = E(z, c) - множество всех критических точек потенциалов E_c из семейства E.

Отображением катастрофы χ называется ограничение на М естественной проекции

π:Rⁿ·R^r → R^r; (8)

π(x, c) = c.

Особым множеством Z называется подмножество в M, состоящее из особых точек отображения χ - точек, где ранг производ­ной  меньше, чем r.

Образ особого множества χ(Z) c C носит название бифуркационного множества B. В теории катастроф показано, подсчитав , что Z есть множество точек (z, c) c M, в которых E_c(z) имеет вырожденную критическую точку. Таким образом, B представляет собой место, где меняется число и природа критических точек и такое изменение может произойти лишь при переходе через вырожденную критическую точку.

Следует указать, что в большинстве приложений теории катастроф наиболее важным является именно бифуркационное множество, так как оно лежит в пространстве управления, и следовательно, «наблюдаемо», ибо все скачки происходят на нем. Но в зависимости от того, какое конкретное приложение рассматривается, анализируется больше или меньше геометрических характеристик катастрофы.

Рассмотрим один из наиболее простых видов катастрофы - катастрофу сборки (рис. 3).

Бифуркационное множество катастрофы сборки - это множество точек

(9)

Для заданной пары параметров уравнения (a, b) критические точки функции энергии

Находят из уравнения

 (11)

Дроби в коэффициентах подбираются так, чтобы уравнения (9) и (11) получались простейшего вида. Кубическое уравнение по x имеет самое большое три и самое меньшее один вещественные корни. Природа корней зависит от значений a и b, а именно от дискриминанта  уравнения (11). Хорошо известно, что если D < 0, имеется три различных вещественных корня, а если D > 0, то один вещественный и пара взаимно-сопряженных комплексных корней. При D = 0 имеются три вещественных корня, но некоторые из них совпадают между собой: если D = 0 и a ≠ 0 или b ≠ 0, то совпадают два корня, а если D = 0 и a = b = 0, то совпадают все три корня. Геометрически это означает, что природа корней, а значит и равновесие системы, зависит от положения точки (a, b) по отношению к кривой, определенной в координатах a,b уравнением

 (12)

Разделим плоскость ab (рис. 3) на пять подмножеств: заштрихованную область I - от слова internal - «внутри» кривой; область E - от слова external - «вне кривой»; две ветви B₁ и B₂ кривой от слова bifurcation (бифуркация) и начало P. Точки (a, b), лежащие в области I, характеризуются уравнением , а точки, лежащие в области Е, условием . Поэтому,
если точка (a, b) лежит в области Е, то имеется один вещественный корень; если точка (a, b) лежит в области I, то имеются три различных вещественных корня; если точка (a, b) лежит на кривых B₁ и B₂, то имеются три вещественных корня, но два из них совпадают между собой; для В₁ совпадение происходит с наименьшим корнем, а для В₂ с наибольшим; если точка (a, b) совпадает с P = (0, 0), т.е. a = b = 0, то имеются три совпадающих вещественных корня и все они равны 0. Один минимум, если (a, b) Є E; два минимума и один максимум, если (a, b) Є I; один минимум и одну точку перегиба для (a, b) Є В₁ или В₂ и один минимум для (a, b) = Р.

С точки зрения динамики минимумы E_ab отвечают устойчивым равновесиям, а максимумы и перегибы - неустойчивым. Следовательно, если пара управляющих переменных (a, b) системы лежит в области E, то имеется единственное положение устойчивого равновесия, а если в области I, то два устойчивых положения и одно неустойчивое.

Исследование положений равновесия само по себе не может сказать, где будут происходить прыжки, так как они в принципе возможны в любой точке (a, b), над которой лежат два или больше положений равновесия. Поэтому Р. Том предложил принцип, который соответствует эксперименту, и назвал его принципом (максимального) промедления: система делает прыжок лишь тогда, когда у нее не остается другого выбора. Однако при этом необходимо учитывать следующий факт: физическая система может делать соответствующие прыжки настолько быстро, что позволяет пренебречь затрачиваемым на это временем. И, следовательно, при этом для быстрых изменений управляющих параметров принцип промедления нарушается, т.е. для каждой конкретной системы в зависимости от действия возмущающих факторов возможны различные моменты нарушения состояния равновесия, которые могут привести к катастрофе.

Рассмотренный тип катастрофы сборки является простейшим видом катастроф. В зависимости от количества и сложности критических точек поверхности многообразия катастроф существенно усложняется и также затрудняется анализ уравнений энергии Е. Иллюстрацией этого служит катастрофа ласточкина хвоста, бабочки, эллиптической, гиперболической и параболической омбилик.

1. На первом шаге определяется состав внешних и внутренних факторов, влияющих на изменение состояния системы.
2. Выбирается комплексный показатель изменения состояния системы в пространстве факторов во времени, который может служить характеристикой потенциальной энергии системы.
3. Третий шаг - сбор статистических данных о состоянии системы в процессе эксперимента или эксплуатации.
4. На основании собранных статистических данных об изменении состояния системы под воздействием нагрузок вычисляется функция комплексного показателя системы в пространстве факторов.
5. Исходя из опыта эксплуатации системы выбирается тип катастрофы и ее математическая модель.
6. Вычисляются корни уравнения катастрофы и определяются области устойчивого и неустойчивого состояния системы.
7. Зная изменение состояние системы в области многообразия катастрофы, вычисляются значения вероятности попадания системы в область неустойчивости, т.е. вероятность катастрофы.

• Увайсов С.У., д.т.н., профессор, профессор кафедры РТУиС Московского института электроники и математики, г. Москва;
• Инютин С.А., д.т.н., профессор, профессор кафедры информатики и вычислительной техники Сургутского государственного университета, г. Сургут.

Работа поступила в редакцию 23.11.2011.