Классические функциональные уравнения Коши [1] f(x+y)=f(x)+f(y), f(x+y)=f(x)×f(y), f(x×y)=f(x)+f(y), f(x×y)=f(x)×f(y), имеющие непрерывные решения соответственно k×x, exp(k×x), k×lnx, xk, связывают основные смежные (в смысле распределительного закона) арифметические операции сложения + и умножения × . В [2] указаны примыкающие к ним: «снизу» - операция 
y=ln(expx+expy), «сверху» - операция 
Все эти операции являются звеньями «естественной цепи арифметических операций» 
[3], в которой 
так что 
Их связывает класс функциональных уравнений типа Коши (название указывает на связь различных арифметических операций)
где m,n - целые числа. Решения некоторых уравнений (с малыми индексами) таковы:
|
m |
n |
Решение |
m |
n |
Решение |
|
-1 |
-2 |
ln(ln(k×expx)) |
+1 |
-2 |
ln(ln(k×lnx)) |
|
-1 |
-1 |
ln(k×expx)=lnk+x |
+1 |
-1 |
ln(k×lnx) |
|
-1 |
0 |
k×expx |
+1 |
0 |
k×lnx |
|
-1 |
+1 |
exp(k×expx) |
+1 |
+1 |
exp(k×lnx)=xk |
|
-1 |
+2 |
exp(exp(k×expx)) |
+1 |
+2 |
exp(exp(k×lnx)) |
|
0 |
-2 |
ln(ln(k×x)) |
+2 |
-2 |
ln(ln(k×ln(lnx))) |
|
0 |
-1 |
ln(k×x) |
+2 |
-1 |
ln(k×ln(lnx)) |
|
0 |
0 |
k×x |
+2 |
0 |
k×ln(lnx)=ln(lnx)k |
|
0 |
+1 |
exp(k×x) |
+2 |
+1 |
(lnx)k |
|
0 |
+2 |
exp(exp(k×x)) |
+2 |
+2 |
exp((lnx)k) |
Наблюдающиеся здесь закономерности справедливы в общем случае.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- Нечепуренко М.И. Итерации вещественных функций и функциональные уравнения. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 1997.- 228 c.
- Арнольд И.В. Теоретическая арифметика. - М.: ГУПИ, 1938. - 480 с.
- Carroll M. The Natural Chain of Binary Arithmetic Operations and Generalized Derivatives [arXiv.org/math.HO/0112050]