Scientific journal

Fundamental research

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

Ранее исследованное аналитическое решение линеаризованной задачи в такой постановке свидетельствует о существенной нестационарности истечения газа из пористой среды из-за сопротивления «скелета». Полученные результаты расчета линеаризованной задачи об истечении газа из пористой двухкомпонентной среды при нагрузках протяженного характера позволяют контролировать корректность и точность численного анализа более сложных нелинейных задач этого класса и являются первым шагом алгоритма расчета исследуемой проблемы. Следующим шагом алгоритма в рамках развиваемого подхода является математическое моделирование нелинейной задачи о внешнем воздействии на пористую среду, состоящую из твердого «скелета».

Волновая конфигурация среды имеет вид, показанный на рисунке 1.

При математическом моделировании (величина термина функции U(x,t) - перемещение сечения газа) этого физического процесса и исследовании кинетики и динамики истечения газа из пористой двухкомпонентной среды, вызванного внешним источником воздействия при неполной информативности условий на поверхности объекта воздействия, возникает необходимость адекватного учета ряда особенностей этого процесса:

Рис.1. Волновая конфигурация

1.   неполноты набора необходимых данных (из необходимых 8 данных в двух областях):

а)    в области 1 - только одно граничное условие на поверхности  поршня U_t(0,t) = V₀ (означает совпадение скорости частицы газа со скоростью поршня, когда частица находится на поршне); второе граничное условие (деформация частиц газа, находящихся на поршне) U_x(0,t) не задано.

б)    в области пористости 1 - заданы только два начальных условия U_x(x,0) =U_t ( x,0)

2.  наличия неизвестной подвижной границы l(t) которая разделяет области пористости «чистого» газа, на которой неизвестные функции

U1(l(t),t) = φ ₁(t) - со стороны области 1

U2(l(t),t) = φ2(t) - со стороны области 2

должны определяться в процессе расчета на каждом расчетном шаге с обеих сторон подвижной границы, а затем «стыковаться», исходя из условий, полученных (глава 5) на границе областей как условия на скачке:

3. разрыва скорости частиц газа в области пористости в начальный момент процесса, что может приводить к появлению центрированных волн в области пористости вблизи начала координат.

4. возмущения среды в областях 1 и 2 распространяются вдоль соответствующих характеристик, поэтому расчеты в них должны вестись методом характеристик последовательными шагами, обеспечивающими самосогласованное нахождение, как характеристик, так и параметров среды в соответствующих областях.

Математическая модель движения газа в области 1 имеет вид:

x>l(t), t>0

где давление определяется из уравнения состояния газа в этой области:

а плотность законом сохранения массы

учет которых после ряда преобразований приводит к следующему уравнению для U (x,t) в области 1

a0 - скорость звука в невозмущенном газе; при одном заданном граничном условии:

U_x(0,t) = V₀; второе граничное условие, определяющее деформацию частиц газа на поршне

U_x(0,t) - неизвестная функция, которая определяется на каждом расчетном шаге.

Течение газа в скелете (область 2) моделируется уравнением Х.А. Рахматуллина, соответствующим законом сохранения массы и уравнением состояния газа в пористой среде.

где ρ ⁰, ρ, P - истинная, приведенная плотности и давление газа, соответственно f₀ -пористость скелета среды, ρ ₀⁰, ρ ₀, P₀ - соответствующие значения ρ ⁰, ρ, P при начальных (нормальных) условиях, к - коэффициент взаимодействия газа со скелетом.

Из приведенной системы для области 2 после ряда преобразований получено следующее уравнение для функции U(x, t)

или сокращенно

где - скорость звука в двухкомпонентной среде.

Член - kU₁, выражает взаимодействие частиц газа с частицами скелета, которое моделируется силой Стокса, связанной с относительной скоростью газа, когда характерное число Рейнольдса обтекания частицы скелета невелико (Re ≤1).

Начальные условия модели:

U _x =U_t =0         при    

Поскольку передний фронт возмущения в двухкомпонентной пористой среде распространяется со скоростью звука в ней, то начальные условия U_x = U_t = 0 переносятся на характеристику

что позволяет начать численный расчет с точек, лежащих на ней.

Следуя указанному подходу нами установлено, что в плоскости x,t существует два характеристических направления, имеющих один и тот же вид для областей 1 и 2,

вдоль которых выполняются условия:

для области 1   dU_t = ±a(U_x)dU_x    (6)

для области 2

Установлено также, что начало координат является особой точкой, а именно точкой пересечения характеристик и точкой разрыва величин U_x,U_t Приближение к нему вдоль оси Ох, дает

U_x = U_t = 0

а вдоль оси Ot соответственно

Эти соотношения свидетельствуют о том, что в окрестности начала координат в области пористой двухкомпонентной среды возникают центрированные волны Римана, граница (тангенс угла наклона граничного луча с осью Ot которых определяется по формуле

На начальном этапе алгоритма расчета определены характеристики (волны Римана), исходящие из начала координат в области пористости и задан "шаг" ∆L расчетной схемы по углу

где N - число "шагов".

Шаг по углу в окрестности начала координат, в области 2, где возникают центрированные волны, подобран на основе численного эксперимента.

Из (8) - (10) определены соответствующие этим "шагам" значения U_x,U_t вблизи начала координат (при подходе к началу координат по лучам).

Схема этого этапа численного расчета представлена на рисунке 2.

Рис. 2

Используя найденные на начальном этапе параметры среды в области центрированных волн, осуществляется переход к следующему этапу алгоритма расчета в области пористости 2. Волны разряжения распространяются со скоростью звука в двухкомпонентной среде по характеристикам. Область возмущения ограничена фронтом звуковой волны, на которой параметры среды соответствуют параметрам невозмущенной среды и принимаются за начальные на следующем пространственно-временном шаге. Значения параметров на слоях (т  =   1,2,3,...)  в точках  (m,0)  известны (начальные значения на     ). Задается шаг ∆t на оси времени и проводится прямая, параллельная оси Ох до пересечения с  . Получается узел (1,0), из которого проводится положительная характеристика  с угловым  коэффициентом , выраженным через параметры газа в точке (1,0), до пересечения с лучом ∆L (первого "шага") из начала координат 0. Далее определяется узел (1,1) и т.д. вплоть до (1, N). Алгоритм расчетов представлен по схеме, показанной на рисунке 3.

Рис. 3

В соответствии с отмеченной особенностью границы l(t) математическое моделирование условий на границе раздела областей (со слоя т = 2) производится как на ударной волне, то есть на основе соотношений:

После определения параметров U_x,U_t,x,t в узле (т,п) пористой среды, выражается плотность и давление газа в нем по формулам

которые дополняются уравнениями состояния газа для пористой области и области «чистого» газа среды

условием для скорости частиц газа на поршне

V₁=V₀

и условием, выражающим скорость частиц газа в области пористости (так называемым интегралом Римана),

последнее выражение позволяет провести расчеты на начальном этапе без недостающих классических начально-граничных условий, где нижний индекс 2 или 1 означает соответствующий параметр в искомой точке границы l(t) при подходе слева (со стороны области 2 - пористая среда) или справа (со стороны области 1 - чистого "газа").

Пользуясь этими уравнениями в каждой граничной точке l(t) слоя т устанавливается связь параметров V₁,V₂,ρ₁⁰,ρ₂⁰,P₁,P₂ на границе раздела двухкомпонентной пористой среды и чистого "газа".

Затем из граничной точки (m, n) со стороны области I проводятся две характеристики до пересечения с осью Ot и записываются условия вдоль этих характеристик, согласно формулам (5), (6), в виде разностных уравнений

(где верхний индекс означает подход к граничной точке (m,n) со стороны области I -чистого "газа".

Из этих соотношений находятся деформация частиц газа, время в искомых точках (т, n +1); (т, n + 2) на оси времени, (т.е. на поршне). По соответствующим формулам находятся и другие характеристики (Р, р, а) процесса движения газа в области "чистого" газа 1.

По разработанной методике и схеме произведен численный расчет на ЭВМ параметров истечения газа в среде кварц -воздух.

Необходимым условием его устойчивости, как и для разностных схем уравнений газовой динамики, является условие Куранта на шаг интегрирования по времени ∆t,

где а - местная скорость звука, ∆x.∆t -размеры ячейки в области расчета.

В исследованной начально-граничной задаче, моделирующей внешнее воздействие на объект (пористая двухкомпонентная среда), при недостаточной информативности об этом действии установлено положение границы l(t) раздела пористой среды и газа, определяющей расход газа.

Некоторые результаты численного расчета в виде графиков распределения представлены на рисунках 4-7.

Существенно новые результаты, являющиеся следствием развитого в работе алгоритма математического моделирования сводятся к следующему: в той части среды, которая является пористой, в окрестности начала координат возникают центрированные волны Римана, а истечение газа из двухкомпонентной пористой среды, является значительно нестационарным из-за сопротивления течению газа со стороны скелета.

Новой является также программно-алгоритмическая разработка задачи, которая приложима к решению типовых задач, моделирующих процессы переноса в многофазных, многокомпонентных средах при неполной информации о внешнем воздействии на нее.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М., Наука, 1987. т.1, 464 с.
2. Рахматулин Х.А. Газовая и волновая динамика. М., МГУ, 1983.
3. Рахматулин Х.А., Кубанова А.К. Волновое движение трехкомпонентной среды под действием нагрузки, бегущей по плоской границе. Вестник МГУ, сер.1 Математика, механика, 1983, №4, 100-106 с.
4. Министерство обороны РФ. Центральный физико-технический институт. Физика ядерного взрыва. М., Наука, 1997. т. 1, 528 с.
5. Кубанова А.К., Сагомонян Е.А. Об истечении газа из пористой среды. Вестник Московского университета, сер. 1, Математика, механика, 2004, №4, с. 62-64
6. Кубанова А.К. Математическое моделирование волны в двухфазной среде. Вестник Самарской государственной экономической академии, 2002, №1, с. 279-287